II. Interprétation géométrique

— AB étant une ligne de courbure, ayant MS pour tangente; soit CD Tarète de rebroussement de la normalie dont MT est une génératrice. Les cosinus direttifs de JMT sont proportionnels à A, B, C (*). Si donc Ti\ est la binormale à CD, les cosinus direclifs de cette droite sont proportionnels à

MC—CdW, Cf/A — AdC, A(/B — BrfA.

L'équation (A) exprime que les droites MS, TN sont perpendiculaires l'une à l'autre. Et comme MS est perpendiculaire à MT, la tangente MS, à la ligne de courbure, est perpendiculaire au plan rectifiant MTN ; ou, ce qui est équivalent :

La tangente MS, à la ligne de courbure AB, est parallèle à la normale principale TI de la courbe CD, arèle de rebroussement de la normalie déterminée par AB (**).

(*) Formules (7).

(**) Le Calcul différentiel, de M. Bertrand, ne signale point cette propriété. Dans celui de Serret, on lit (p. 487, 1808) : « Ainsi, pour qu'une » courbe donnée, tracée sur une surface, soit ligne de courbure de cette >^ surface, il faut et il suffit que la tangente de la courbe en chaque point « soit parallèle à la droite qui fait avec les axes des angles dont les cosinus « sont proportionnels aux ditférentielles

)) dcosx', d cos i3\ dcos'x',

» «', (3', ?' étant les angles formés avec les axes par la normale à la sur- >' face, n L'Auteur ne semble point s'être aperçu que la droite en question est NL (Octobre 1880.)

III. J{riti(ir(fue. — /., u, v étant los cosinus dircitifs de iMT, ceux (ie Tl sont, comme on sait, prnportiorniels à dA, ilij, (h- Uoni* les proportions (5) ex[)riinent le p;ir:illrlisme des droites MS, TJ; et, réciproquement, ce p;uallélisnie donne lieu aux [)roportions(3).

I\'. Autre remorque. — Si A, B, C sonl des quantités proportioiniellesaux cosinus direclifs de MT, les cosinus direetil's de TM sont, connue nous l'avons supposé, proportionnels aux quantités

BriC — G/B, Cr/A— A(/C, ArfB — B//A;

mais les tosinua (Urevtifa de TI ne sont point proportionnels à dA, dB, dC.

1° La première proposition résulte des identités :

2 A(BrfC — C(/B) = 0, 2 'A -^ (/A)(B(/C — C(/B) = 0.

2° Nous avons trouvé, ci-dessus,

2 (VrfA — AdV)(Br/(: — O/B) = 0. (î))

D'ailleurs,

2 A(V(iA — ArfV) = 0.

Par conséquent, les cosinus direclifs de la normale principale Tl sont proportionnels aux quantités

Vf/A — A(/ V , Vf/B — BrfV , \dC — CdV.

CC\. — moiniiiatioii cl'iiuc série.

{Décembre 1885.) I. Soil

S = l -1 XH jr--i--.-H x"h (I)

On a

(/i-t-lj(//H-2)..(2«-t-l) r(2«-+-2) ^ ./

( 368 ) Donc

s= f lU Y (6 — syx" = r - — ^

L'intégrale indéfinie est

arc tg

(2B~i)Vx

V/4 — X Entre les limites 0 et 1, elle se réduit à

Conséquemment,

- arc tg y -- X '^4

arc tg \ /

Telle est la somme demandée.

II. Pour x==\ et 3c = 2, on obtient ces résultats particuliers^:

2^ ^273'^5.4.5^4.5.6.7"^5.6.7,8.9 III, Si l'on change x en 4x'-; la série (1) devient

et la formule (3) :

S == arc Ig