I. Si, dans l'expression

(„ ^i/«^-=ri )"(„ i/^iTi)"

2 1/ a* — 1 on fait /< = 1 , n = "2, n = 5, ..., on est conduit à supposer que :

(„ ^ v/^;rzri )" - (g - v/7^:~i r j

Pour essayer de démontrer cette relation remarquable, faisons « = 0059. Elle devient

(ces cp -+- 1/ — I siii 9) — (cos (p — \^ — I sin (p)

2 [/ — 1 sin 9

= (2 cos (p)"-' — C,. 2,, (2 cos cp)"-^ -f- C,, .5,2(2 cos cp)»-" ,

(*) Mémoire sur ccrliiinex décompositions en carrés, p. 60. (**) Traité élémentaire des séries, p. 102.

sin cp

(2coscp)"-' — (;„2,,(i>coscp)"-'+C„,,2(2<'Osq3)"-'* (I)

Or, cette formule est connue (*). La relation (A) est donc vérifiée.

II. Une identité. — Si Ton développe, par la formule du binôme, chacune des quantités (a -+- Va- — 1)", (a — I/o- — 1)", on trouve, comme expression du premier membre de (A) :

C„.,«"-' + (;„,na»-^(a^- 1) H- C,„,a"~^(o^— 1)'^+ ...

Conséquemment ;

Si, par exemple, n =■ 9, a = 1^2 :

9 . 16 H- 84 . 8 -H 1 2() . 4 -4- 56 . 2 H- 1 = 4 096 — 7 . al2 -+- 15 . 64 — 10 . 8 -4- 1 ,

m. Généralisation. — Si, dans l'égalité (A), on remplace a par ^1/ — 1, on obtient cette transformée :

= {2a)"-' + C„.,i{±t)"-''h- + (;„r„2(2a)"-V -4- ••• En même temps, l'identité (5) devient

= (2a)"-' -4- C,.2.,(2«/-V>2 -4- C„3,.(2a)"-«6^ -4- ... {*) Nouvelle Correspondance nuic/iéniultque, t. NI, p. 104.

Cillt'-ci doniu' une ri'Iaiiini assez simple entre des nombres ronihinnloires; sa\oir :

\\ . Aiilrcs dcrelopiicmenls. — Soit

(n-k-\ liû^y -^ (a — l^(r + 6*)* = A«"-+-Hfl'' V>--+- Ca" -»/>',- ... (5) On voit diihord (en supposiinl 6 = 0), que A =2""'. En second lieu, si Ton prend les dérivées relatives i\ b, on a

2 l/â'^TÂ^

= t2Ba" * -H iC(i"-'/r -+- (il)»" ''6» -f •• D'après (B), le développement du premier membre est

«[(:2«)-*-^ C„3.,(2a)-'/r -h C, ,.,(2ti)"-'>6* h- ••.]. Par conséquent :

n ( (li)

pui>i

et, en particulier