V. Suile. — SoienI, pour abréger

Il est clair que :

(a -4- V a^ + //)" = P l/'a^TT^ + Q, (a — l/a^ H- 6'^)" = — P l/a^ h- 6^ -f- Q.

Par exemple :

(l -+- l/^y = 16!) 1/2 -.- 259, (l — l/^y -= — 169 \/2 VI. Remarques. — 1° ( ^''')" = Q^ — p2(fr^ + 6'^).

Donc, si n cs^ /m?>, Q'^ est. la somme de trois carrés; el, si n es/ impair, P^ es/ /e quotient d'une somme de deux carrés par une somme de deux carrés.

2" On a, identiquemeut :

2 [{a + Vu' -+- h')" -:- (« — Va' + 6^)"] l a^ + 6^

= (a ^ i/^^T^w/O"^' - (« - 1 vn?)"^'

Par conséquent :

Si n est pair (supérieiu" à "2), et que a, b soient des nombres entiers, la quantité

est une somme de quatre carrés, dont deux sont égaux entre eux (**).

Par exemple,

(2-t-l/Î5)V(— 2H-l/T5)'' = 2(2«-t-i5.2M5+15.2*.d5*+'15^) -- 51 042 = 15fV- H- 75' + 7o' -»- 561

(*) Vérification facile.

(**) Mémoire sur certaines décompositions en carrés, p 30.

C'ClklI. — Niir «iiirlfiiK'*» r(»riiiiiloM «le I'oInnou.

{Décembre 1883) (*).

I. Dans l;i deuxième partie de son célèhrc Mémoire sur les inléf/rales définies (**), Poisson adoplr, comme point de départ,

la formule

p'' -»- 2 CCS

^.=, [(2/ - 1 )r — 9]* -+- /r " --,^, [(2i 1 )7r -+- 0]* + ;)* , conséquence immédiate de celle autre formule, due à Euler

e'' -+- 2 cos 0 ■+- ('"''

2(1 ■+- cos e)

Mais Vétabiisseinenl de celle-ci est un peu long. Au contraire, il est très facile de démontrer directouent, ou plutôt de vérifier, la formule (1).

D'abord, si Ton change /) en />l^ — 1, elle devient

1 sin p

2pcosp-f-cosy -^1 ([(2/— 1)77— â]-— //- [(2i — t)7r-He]'— p' On a :

(*) Fragment d'une leçon à l'Université de Liège.

(*") Journal de l'École poli/technique, ii<^ Cahier, pp. 2!>5, 296.

(***) Introduction à l'Analyse, t. I, p. 120.

donc la somme des deux fractions est

(2t — 1 JTT — (Ô -H p) (2< — 1 ) 7r -+- (0 -4- p) i 1

p (2i— l)V- — (ô — pf

/J (2? — I fn' — (5 + p)^

Soient, pour abréger :