I. Préliminaires
i" u" — [ =^ JK. {nb). (i)
(') Seconde Note sur qnclqnus questions relatives aux fonctions elliptiques.
{") Voir, dans la ISote CLXIII, le théorème d'Eisenslein.
(***) Atli dcll' Accademia ponlificia de' Nuovi LÏHce» (20 janvier 1884j Rome).
(") Je suppose, une fois pour toutes, l'exposant n premier, cl supérieur à 3. (Voir lu IVote XL VII.)
(') Dans les deu.\ premiers paragraphes, le nombre a est premier.
( 388 ) D'après le second théorème de !M. de Jonquièrcs,
n étant premier, tous les coefTieients, dans le second membre, sont divisibles par n (*). Ainsi
a"- l=6Jîl {n)=:Cfn{7ib). (3)
n tie divise pas a (1). Donc, par le premier théorème de Fermât :
(„"-« I)„ = jTL(n).
Et comme
a"-l=JR(/0, (3)
on a régaliié (4).
5° Tout diviseur premier, de c — a, divise a — 1 .
On a
E étant un nombre entier. Suit p un nombre premier qui divise 6 + 1 — a. D'après un théorème connu, p divise 6; donc il divise
A° s -h h et c — a so)it premiers entre eux.
Soient, s'il est possible :
o H- 6 = JTC ip), c — a = DVi (/)).
A cause de c = 6 -h 1 , on aurait donc
-2a— 1= on ip).
On vient de voir que
a-1 =jrL (p).
Or, ces égalilés sont contradictoires ; car leurs premiers membres sont premiers entre eux (**).
(*) Propriété connue.
(*•) Si p divisait 2a— 1 et a — 1, il diviserait 2o — 1 — 2(a — 1) = 1.
5" 2a — 1 et 21) -+- 1 sont premiers e>ilre eux.
Les nombres a -f- 6, 6 -+- I — a n'ayoni aucun facteur commun, il en est de même pour leur somme 26 -h i et leur diiïérence 2« — 1 .
II. Incfinlifés. — \° Le iiunihrc prcniier, a, est coïfipris entre
\" ni)"-* el ^n{l) -+- l)""'.
Reprenons l'égalité
fl"=(6-+- 1 )" — /*". (2)
Le second membre, divisé par (6 -f- 1) — 0, devient
(6 -4- i)"-' -t- {h -t- ly-'b -f- ••• H- h"-'.
Ce quotient est compris entre nb"~' et n{b -+- 1)" '. Ainsi
n{b-^ I)"-' > a" > nl>"-'. (5)
D'après M. de Jon(|uiùres, b sur])asse a. Donc
6" > «" > /<//'-', puis
6" > nb"-*; etc.
5° Le nombre h, qui satisfait à l'égalité
est compris entre
\\l. Retnarqiies. — 1° Soit h un nombre entier ^ supérieur au nombre entier n. Entre ^ nb"~* et k n(b -i- 1)""*, il y a, tout nu plus, un nombre entier.
Supposons qu'il puisse y en avoir deux, a, et a^; de manière que, a, étant le plus grand, on ail :
ou
On conclut, de ces deux inégalités,
et, à plus forte raison :
Celle-ci est absurde; car le premier facteur est, au moins, égal à 1 ; et le second surpasse 1 (*).
2° Le nombre c est compris entre a ^- b e^ ^(a -i- b). Soit a le plus grand des nombres a, 6. Alors :
et, à plus forte raison,
la H- 6\"
ou
Addition. — (Octobre 1886.)
IV. Théorème I. — Si des nombres entiers a, b, c, premiers entre eux deux à deux, vérifient V équation
la somme a -h b ne peut être un nombre premier.
(*) A cause de
6 > n, fl, > \/%i6"-*.
( ">yi )
Soil, s'il est possil)lo, a -^- b ^ p. Le nornhro prcmipr p, divisant <•", doit diviser c. Ainsi c = pc.
LVqiiation (7) devioni, par IVlimiriatioii de b,
j," ' „yr-' -+- ■•• -+- - II" '/> = p"r'". (8)
Tous les termes, sauf «n"~'/j, sont divisibles par />-; dono
Cette relation exige que p divise a ou n. Mais p surpasse «; donc /} divise n; on, pliitôl, p = n. Conséqiien)ment,
Or, {a -+■ by surpasse a" -f- 0". Ainsi
//" > n"c'" ; conclusion absurde.
V. Théorème II. — Si la somme a -+- b esl divisible par n, elle est divisible par n"~*.
Pour fixer les idées, et abréger, prenons n = 5 ; et soit, s'il
esl possible,
puis, par conséquent,
^ ^ c = lic'. (10)
L'équation
OU
(5^)s 5(57)*fl + IO(of/)V — 10(yf/)V -+- 5(5g)«* = 5»c*. (II) est réductible à la forme
5'A7* -^ b'qa' = 5V", c'est-à-dire à celle-ci :
rt ne pouvant être divisible par 3 (*)» o" ^^'^ ^v^'*"
{*) A cause des relations (!)), (10)
( ?592 ) Par suite,
Cette équation exige que
Donc
H =oq ,
et enfin
VI. Théorème III. — Si la somme a -1- b es/ divisible par un nombre premier p, différent de n, e//e est divisible par p".
Prenons encore n == 5, et supposons
a -^ h = pq, hypothèse d'où résulte
c = pc'.
L'équation (1 1) est remplacée par
(pqf — nipqfa -f- \0[pqfa-— 10(/)f/)V -4- ^{pq)a' = fc\
laquelle peut être écrite ainsi :
kpq'^ -t- 570* = /c".
Opérant comme ci-dessus, on trouve :
q = pq\ q'-=pq", q"=pq"\ q"' = P'i" ; puis
VII. Théorème IV. — Si la somme a -i- h est divisible par une puissance de n, supérieure à vf~\ elle est divisible par n^""'.
Prenant encore n = 5, sup()Osons
a ^ h = 5Vy ; (*) On pourrait écrire, loul de suite,
mais nous croyons rendre la démonstration plus claire en divisant, successivement, par g.
et, par conséquent,
De I;i résulte, sous forme abrégée, l'équation
(Iclle-ci exige que Donc
c =bc , 7 = 5*7 .
\ III. Théorème V. — 5/ la somme a -i- b est divisible par une puissance du nombre premier p (différent de n), supérieure à p", elle est divisible par p'".
Métne démonstration.
IX. TiiKORÈME VI. — La sointno a -h b a la forme - P", ou la forme P", selon qu'elle est divisible ou non divisible par n.
Celte projtosition est un simple corollaire de celles qui précèdent.
X. Théorème \ II. — La di/Jérence e — a ne peut être un nombre premier autre que n {*).
Si, dans l'équation de Fermât, on change c en — c, elle devient
A cause de celte forme symétrique, employée par Legendre, toutes les propriétés relatives à la somme a -i- b subsistent pour a + c el b -+- c; c'est-à-dire, en reprenant la notation primitive, pour c — rt et c — 6. Le Théorème I, seul, peut faire exception.
En effet, si l'on suppose c — a-=p, et que l'on répète les raisonnements employés ci-dessus (IV), on lrouve/)=n,6 = «6';
puis
inégalilé évidente (**).
(*) Ue même; pour c — b.
[") On ne peut supposer t'= I ; ear cette liypotlièse donne
Ce cas d'exception étant mis de côté (*), nous pouvons nous contenter d'énoncer la proposition suivante.
XI. Théorème VIII. — Chacune des différences c — a, c — b a (a forme j^ P", ou la forme P".
XII. CoHOLLAiRE. — AncuH des nombres an- b, c — a, c — b n'est premier.
