XIII. Suite — Soient, s'il est possible

On tire, de ces équations :

"==^(""'— ^"'-*-^"')' fc=-(6'"— a'"-+-c'"), c=-(a'"+6"'+c"'); (15)

^ Jbi ji

puis

La relation (7) devient donc

Dans les développements de

(a' + 6' + cr, {b' -^ c' — a')", (c'-^a' — b'Y,

tous les termes, sauf ± a'", ±6'", dzo", sont divisibles par n (**). Ainsi

a'" — 6'" -+- c'" = ClK{n);

ou, par l'égalité (14) :

u -+- 6 — (; = ClKin).

(') On va voir qu'il n'existe pas.

(**) En effet,

■ = [ÏÏi (n),

il a,^ftn — a — p sont différents de n.

\IV. Théorème I\.

P = H,x" »-»- II,J "*»/-+- - -+- II,»/'-*. )

2° y.cs coi'/Jicients sunl duitni-s par la formule

H, = 1 [(:..,„ rb I],

le sifjne -+- répomlanl au cas où p r.s^ i)iipair.

5° /-e pobinôme P esf divisible par x^ -»- \y -+- y- (*).

I " « t'tanl premier, impair, la première partie esl évidente.

2° Pour établir la deuxième, il siilTit d'observer que

nxy *ô° Enlînjsi l'on fait !/ = zx, l'équation P = 0 entraine celle-ci :

laquelle esl vérifiée par

Ht, , 27r

z = cos - — -àzV — \ sm — ' 5 5

comme on le reconnait aisément. En outre, chacune de ees expressions est racine de l'équation dérivée :

(z -t- î)-' — z"-' = 0, quand n a la forme 6fji 4- 1 (**).

(•) Et même par (j» -+- .r.y -+- .v*j*, si « = ^(«)-»-l (Caiciiv. .lournal de Liouville, t. V, p. 213).

(**) Ce procédé, plus simple que celui de Cauchy, est dû, je pense, à M. Slern.