AQ ~ AP

et, par la propriété de la bissectrice,

ÂP

Donc

AiM -+- AP TQ(AM -+- AP)= AQ.MPf*),

(*) J'ignore si une solution de ce problème a été publiée. (**) Autrement dit :

AD étaril une bissectrice du triangle ABC; soient CC, DD' deux droites parallèles, limitées au côté AB. On a

DD' ce ÂD'~ AC -+- AC

ou encore, 0 étant l'angle des axes :

y' \/x' H- 2x?/ cos ù -\- y"^ = yx' — xtj'. Si l'on élève au carré, cette équation devient

y'"{y -+- 2x cos 6] = yx"^ — 2x'*/'x. (5)

Des équations (1), (2), on déduit yx'^ — 2y' . xx' = (2iUî/' -*• nxj'^)y — ''2my'{y -h y') — ^nyy'^,

3/x'* — 2xx'î/' = — (^2hi -f- ny)y'^.

D'après légalité (5), le premier membre équivaut à y'\y + 2xcosG). L'équation du lieu est donc, après suppression de ?/'2,

(1 ■+- n)y ■+- 2x cos 0 -t- 2m = 0. (4)

Elle représente une droite.

Addition. — (Mai 1885.) ' •

On simplifie les calculs précédents si l'on prend, pour axes, la tangente et la normale en A.

ar', y' étant les coordonnées du point T :

Aï/'' -+- Bî/' -+- x"^ -4- D?/' = 0 f). (5)

L'équation de la tangente Mi\, polaire de T, est, par la règle connue :

{"Iky -+- Bx -+- D)^' -+- {By + 2x)x' -h D*/ = 0. (6)

(*) Notp LU. Cette Note renferme une faute de signe : à partir de l'équation (2), oh doit lire + D au lieu de — D.

Soit

et, par conséquent,

L'élimination (le y' (ioiirie

I)A- Df/

\k* H- HA -+- 1 (2.\y -+- Hj; -k- l)/c -+- By -+- 2x'

puis

(A y -+- Bx -4- D) k' -t- iix . /; — y ^ 0. (8)

D'uillenrs, par la formule (7) :

— k'ij — 2Ax -+- 3/ = 0.

Si l'on ajoute, on obtient donc, comme équation de la droite A, lieu du point iM :

(A— 1)^ -4- Bx -t- I) = 0. (9)

Cette équation prouve que la droite A a une liaison remarquable avec le point de Frégier (*).

En eflet, le point de Frégier a pour coordonnées :

L'équation de la polaire de ce point est donc