XCVI. — Iiig;nes de courbure d'une surface gaucbe

(Février 1864.)

I. AxMB étant la directrice, soit MP une génératrice quelconque. •T, N Désignons par a, b, c les coor-

données de M ; par /, m, n les cosinus directifs de cette droite; par V la distance MP. II est clair que

y = b -*- mv.

2 ^ c -f nv.

Dans ces formules, a, 6, c, /, m, n sont des fonctions, connues, d'une certaine variable u (*).

Comme dans le Mémoire cité, nous représenterons, par des accents, les dérivées relatives à w, et nous emploierons les abréviations suivantes :

yia, \y =yi,ny' - mz')\

^[mn — nm')u', N = ^[^^d' — inz')x",

y [uni' — mn')l", Q='S{nm' — mii')a" — y(n»i" — mn" a', y^{nb' — mc')a".

II. Il existe, entre les quantités N, P, Q, R, une relation simple (**) analogue à

D' = A -+- 2Bi? -+- Cu^— U'C**)

{') Recherches sur les surfaces gauches, p. 5.

(**) En 1865, je ne l'avais point remarquée. (Mai 1885.)

('**) Recherches sur les surfaces gauches, pp. 6 et 67.

D'après les valeurs (I), il est clair que :

x' = ((' -4- /'r, ij' = h' -h viv, z = r' -+-«'r, x"=a"-t-/"r, »y" = ^' -+- m"r. r" = c"-+-n"y.

Doue

\^nij' — inz')x" = ln{h' -t- m'v) — w{c' -+- /j'i-)l («" -♦- l"v)

■* = ^{nb' — tue') -+- («m' — inn')v^ [a" ■+- l"v; puis

N = ^(»^' — mc')(i" -+- v^{>ih' — inc')(" -h vyiinn' — mn')a"