v'^ y {inn' — ni/i')l
Dans le deuxième terme du seeoud membre, le eoefïicienl de V est
{nb' — mc')l" -+- (/(' — iKt'jiii" -+- {>n<(' — ///j/i"
= — 2 («m" — mn-)(i'.
Si Ton eompare la valeur de N aux formules (4), ou a donc la lelation annoncée :
i\ = R -t- Qv + Pr'. (6)
III. Soient /, y, h les cosinus directifs de la normale PN à la surface S. On sait que (*)
nu' — mz' Iz' — nx' . nix' — lu'
D'un autre côté, les lignes de courbure qui se croisent en P sont représentées par les équations
dx du dz
df d(j dh
Parmi les diverses combinaisons de ces formules, je choisirai
celle-ci :
♦ • ^Idx ^x'dx
y^UIf Ix'df
(*) Becherchet sur les surfaces gauc/ies, p. 7.
La question se réduit à évaluer les quatre sommes indiquées.
1° y Idx = du y lu' -\- vdii y //' -+- rfu.
Le troisième terme est évidemment nul. Quant au deuxième, il représente le cosinus de l'angle TMP, si, comme on peut le supposer, la variable u est Varc AM. Admettons, en outre, que la directrice AMB soit une trajectoire orthogonale des génératrices : alors
u = 2/a' = o, y^ix'^^0, (10)
et
Sidx = dv. (n)
= du 2 («' -+- i'vf = (A -+- 2Bu ■*■ Cv') du ;
ou, à cause de U = 0 :
2x'rfx = DV?/. (42)
3" L'angle MPN étant droit, on a 2//"=0; et, par conséquent,
2ldf=-2ldl-=-du2fi''
fi = - {ny' — inz')r -= - [{)d,' — me') -+- [nm' — mn')v]l'.
Donc
puis
(*) Parce que
ï.lnm' — mn'jl' = 0.
( 9) A" 2 x'df= (i S fx' - (lu 2 />" — dv X fl'.
Dans le second inemljro, l;i première somme est nulle; la deuxième égale ^. Ainsi déjà :
\xdr=-iliiS Tx" — -dv.
Par la formule (3),
donc
2 x'df= [Nr/« -+- >!,/.• |. (15)
Rassemblant ces dilTérents résultats, j'obtiens, au lieu de
réquation (9) :
dv DV»
Mdu Nr/w -¥- Mdv
yidv- -t- ^dudv — MDV//' =- 0. (16)
Telle est Véquation différentielle des lignes de courbure de la surface gauche.
IV. Admettons que les génératrices, supposées orthogonales à la directrice AMB (III, 1°), soient les normales principales de cette courbe. Alors les cosinus /,wt,n sont proportionnels ha",b",c" (*).
De là résulte que
R=--y^{„l/ -mc')u" =0.
{") En effet, à cause de u = AM = s, les cosinus direclifs de la tangente MT sont a, b\ c ; les cosinus directifs de la tangente voisine sont
a' -+- a"dii , b' -+- b"du , c' ■+- c"du.
Donc les cosinus directifs de la binormale sont proportionnels aux binômes
b'c" — c'b", c'a"-a'c", a'b" — b'a"; etc.
Cela posé, considérons les deux lignes de courbure MC, MC qui se croisent en M. Pour ce point, v = 0; donc
L'équation (16) se réduit à
dv' — du' = 0.
Celle-ci exprime le théorème suivant, qui n'a peut-être pas été remarqué :
Les lignes de courbure de la surface gauche, lieu des normales principales d'une courbe C, rencontrent la directrice sous un angle de i^".
La réciproque est vraie :
Si les lignes de courbure d'une surface gauche coupent, sous un angle de 45°, une trajectoire orthogonale des génératrices, ces droites sont les normales principales de la courbe.
En effet, ± 1 étant les racines de l'équation (16) (**), on doit avoir R = 0, ou
D'ailleurs,
Or, ces équations sont vérifiées par
/ = ka", m = kb", n = kc".
Donc les cosinus directifs de MP sont proportionnels à
Addition. — {Mai 1885.)
