A-+- 2(AB'— BA') = 9P

Chaque terme de AB' a la forme x*g'*^**; (x imp.y y pair) chaque terme de BA' a la forme j/V*"*^**- Gonséquemment, notre égalité (13) se réduit à

^xY + S^f x« — y')?**-^»* = qV\ (i 4)

D'après celle-ci : dans le développement de qP', chaque exposant est, ou un carré, ou la somme de deux carrés (*).

(*) Cette propriété, évidente à rinspectîon de Tégalité (13), résulte aussi de la formule

gP» = g(l — 3g* -^ 5g" - 7g" -♦- 9g*» )•. (11)

En effet, dans la parenthèse, chaque exposant a la forme 2n(n+l). Donc, tout terme du premier membre contient une puissance de g marquée

par

Or, si Ton multiplie et qu'on divise par 2, ce trinôme devient

Notons, en passant, que : le quadruple de la somme de deux nombres triangulaires , augmenté de 1, égale une somme de deux carrés (ou égale un carré). Par exemple,