VI. Séries logarithmiques. — Pour abréger, représentons par
Ao -f- AiX -*- Ajx' -*- •••,
la série contenue dans le premier membre de (G), et par
B„ -♦- B,(l — x) -♦- B,(1 — x)» -4- ..• -*- Bp.,(i — x)"-',
le second membre.
Nous aurons
Aq -♦- AiX -+- Ajx* -♦- Ajx' -H •••
= Bo(i —x)'^ -^ B,(i — x)'^' -+- ... -h B-.,(i - x)-» -♦- ^^^ ;
puis, par intégration,
AqX -*- - Aix' -f- - Ajx" H =s • — i
^ — i-l- . — 1 1+...^ J:!?! i 1 — Bp.iJ^ll— x);
ou
'^ ^ p-lL(l-a:)'-' J p-2L(l-«r' J ,
.^ — LJ 1 — AoX-f- - A4X' -♦- - A,x' -♦- -A^x'h — •
i Li — X J L 2 5 4 J
Voici donc une infinité dHnfinités (*) de développements du logarithme népérien de (1 — x).
VIL Application. — Soient n = 1, p = 2, auquel cas :
Ao = 2, A4 = 3, A, = 4, As=5, A4=6, ...; Bo = Bi = l.
(*) Les coefficients A,, A,, ..., B^, B,, ... sont fonctions de n et de p.
( 253 ) La relation (D) se réduit à
ce qui ne diffère, qu'en apparence, de la formule connue ("),
CCILCTIII. — Extraits d'une lettre k M. Hermtte.
(16 mai 1880.)
... Je suis prédestiné, semble-t-il, à découvrir des théorèmes connus. Sans la chercher, je viens de trouver une démonstration, simple, du beau théorème que vous avez donné dans le Journal de Borchart :
p étant un nombre premier, impair.
(Vous vous rappelez, peut-être, que je n'ai pas saisi votre démonstration ; mais peu importe).
Depuis que j'ai démontré le théorème de Staudt, je m'évertue à en tirer des conséquences : vous allez voir que votre théorème en est une.
Du temps que..., j'ai donné cette relation :
2C^4. t B, H- 2»C*,+,. i B3 -H ... H- 2*-*C^+,, 4 Bu-i = n {Comptes rendus, t. LIV). Etait-elle nouvelle? Peu importe encore. Considérons, dans le premier membre, les Nombres de Ber-
(*) Le second membre égale
ou
noulli admettant la fraction ^ (Passez*moi cette locution abréyiative). Ce sont :
Ces quantités admettent, comme coefficients respectifs :
Ainsi, dans le premier membre, la somme des fractions ayant p pour dénominateur est
N étant un nombre entier.
Le second membre est entier. Or, les fractions -, —, —, ... ne peuvent se réduire entre elles; donc chacune est réductible à un nombre entier. Autrement dit :
OU, en négligeant des multiples de p (d*après le théorème de Fermât) :
Notez que c*est seulement après être arrivé à ce résultat, que j'ai songé à votre théorème 1 ...
• — Sur une applteation du théorème de Baye09 telte par liaplaee {*).
(Août 1888.)
1. Dans son Mémoire, le jeune et savant Professeur à TEcoIe Militaire (**), énonce ainsi le théorème, sans nommer Bayes :
Principe. — Si un événement peut être produit par un nombre n de causes différentes, les probabilités de ces causes prises de Vévénement (sic) sont entre elles comme les probabilités de V événement prises de ces causes, et la probabilité de l'eûcistence de chacune d'elles est égale à la probabilité de V événement prise de cette cause, divisée par la somme de toutes les probabilités de Vévénement prises de chacune de ces causes.
Il en fait l'application au problème suivant :
Si une urne renferme une infinité de billets blancs et noirs (sic) dans un rapport inconnu, et que l'on en tire p -4- q billets dont p soient blancs et q soient noirs ; on demande la probabilité qu'en tirant un nouveau billet de cette urne, Usera blanc.
Au moyen d'une méthode bien connue aujourd'hui, Fillustre Auteur trouve que « la probabilité entière de tirer un billet blanc de l'urne » est
Ici, les réflexions et les questions ise présentent en foule. Comment Laplace n'a-t-il pas été frappé de la simplicité de ce résultat? Comment ne s'est-il pas aperçu que son calcul, fort simple dans le cas d'une infinité de billets, deviendrait prolixe et
(*) Mémoires de V Académie des Sciences — Savants étrangers, 4774-. (*") En i77i, Laplace, qui avait vingt-cinq ans, signait : de la Place.
fastidieux si Ton supposait le nombre des billets égal à dix mille, par exemple? Gomment ne s*est-il pas demandé si la formule (1) ne subsisterait pas dans le cas d*un nombre quelconque de billets, supérieur à p -+- g? etc., etc. (*).
H. Quoi qu^il en soit, nous rappellerons, ici, la solution du problème général suivant :
Une urne A contenait, primitivement, s boules. On en a tiré, au hasard, m boules blanches, m' boules non blanches. Quelle est la probabilité d'extraire, de l'urne modifiée, une nouvelle boule blanche (**)?
Après la sortie des m-hm' boules, l'urne renferme s — m — w' boules, de diverses couleurs, en proportion inconnue. L'événement attendu est la sortie d*une boule blanche, de Turne modifiée.
La probabilité P, de cet événement, ne sera pas altérée, si les causes dont il dépend subissent des modifications inconnues (***).
Nous pouvons donc mettre à part, sans les ^regarder, 1 boule, 2 boules, 3 boules, ..., et même (s — m— w' — 1) boules : P n'aura pas changé.
Mais alors l'urne A est remplacée par une urne auxiliaire ou fictive B, contenant, primitivement, m-f-m'-hl boules, et d'où il est sorti m boules blanches, m' boules non blanches.
(*) On pourrait faire, aussi, beaucoup de remarques sur la rédaction. Le futur admirable écrivain s'énonce ainsi : « la probabilité de tirer un billet blanc de Vume en vertu du rapport x. » — ^ Si l'on intègre
z] dz 9 :
A'-'-r'ïh'-V')
comme si Ton intégrait une intégrale ! Etc., etc.
(**) Problèmes et théorèmes de Probabilités; Mémoires de l'Académie de Belgique, 1884, p. 7.
(***) Journal de Liouvitle, t. VI (184 i), p. 78; Un nouveau Principe de probabilités; etc.
( 257 ) On ne peut faire, sur la composition de B, que (/etix hypothèses:
m blanches,
m' -H 1 non blanches;
iw -H i blanches, m' non blanches.
Les probabilités de ces hypothèses sont proportionnelles aux
nombres
(m -H i)»i ...2 tn\ni' — 1)... 1;
ou, plus simplement, proportionnelles à
Ainsi, 171, QT) étant ces probabilités :
Wf = — ^.— — — ^— — j ^j = ■ *
m -f- fw'-t- 2 m -I- m -♦- 2
Mais, évidemment : la première hypothèse est incompatible avec l'événement attendu; la seconde le rend nécessaire.
En conséquence, la probabilité cherchée, P, est égale à la prohabilité m^ de cette seconde hypothèse. Autrement dit :
et ce résultat s^accorde avec la formule (1).
ni. Remarque. — Si Ton a tiré, de l'urne A, m boules blanches, m' boules noires, m" boules rouges, etc.; les probabilités d'extraire, à un nouveau tirage, une boule blanche, ou une boule noire, ou une boule rouge, etc, sont :
wi -♦- m -+- m -*-•••-♦-« k étant le nombre des couleurs (*).
{*) Ce mot est pris dans son acception tuuelle.
IV. Dans son Mémoire, Laplace donne une démonstration du théorème de Jacques Bernoulli, absolument inacceptable. Du reste, les diverses démonstrations de ce beau théorème, que je connais, pèchent toutes en quelque point : sauf, peut-être, celle que m'a communiquée, autrefois, M. Mangon, Lieutenant d'Artillerie. Malheureusement, elle n*a pas été imprimée.
P. S. Une discontinuité. — Soil une urne A, contenant b boules blanches et n boules noires. On les répartit y sans les voir ni les toucher, entre k urnes auxiliaires, B , C, D, ... H. Cela posé, la probabilité d'extraire une boule blanche, soit de B, soit de C, etc., égale g-r:^, excepté si k surpasse b-f-n.
Spa, 30 août 1888.
Fm des Mélanges mathématiques.
