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CCX^I. — Seetton droite du eylindre eireonserit

à an elllpnoide*

(Avril 1884.)

étant réquation de Fellipsoïde; soient ^ g^ h, les cosinus direetifs

de Taxe OL du cylindre. L'équation de cette surface est, comme

on sait,

p« — mQ = 0, (2)

en posant :

fx qy hz ac' v' ^* a' 6* r a' 6 c

ur 6* c'

D'un autre côté, le plan de la section droite est représenté par

fx -^ gy -*- hz = 0. (4)

Par conséquent, les carrés des demi-axes de cette courbe sont le maximum et le minimum de

les variables x^ j/, z satisfaisant aux conditions (2) et (4).

La règle ordinaire donne

xdx ■+- ydy -♦- zdz = 0, (6)

fdx -f- gdy -f- hdz = 0, (7)

Vf — mx , Pûf — mv , P^ — mz .

-i-^— dx-4- ^^, ^ rfy-i. -5— dz = 0. (g)

Par la méihode de Bezout, on déduit, des trois dernières

équations :

Vf—mx ^ \

Pûf — my ^ .

y^ig^fc ^ ^^ ^ = 0, ) (9)

PA — mz z -^ xh -*- fi = . ,

Si maintenant on multiplie par x, y, z^ et qu'on ajoute les produits, on obtient, à cause des relations (3), (4) :

ou, par réquation (2) :

fj^m = 11». (40)

De même, en multipliant par Ug^h:

AH- A«[Pw — mP] = 0, ou

Ainsi, les équations (9) peuvent être remplacées par :

(u' — a»)x = PA*/; (u« — 6')y = PAcgf, (tt« — c«)z = Pa^A. (12)

Il résulte, de celle-ci, Téquation demandée :

IL Suite. — Menons, par le centre de l'ellipsoïde, un plan perpendiculaire à la droite dont les cosinus directifs seraient /', g', h'. Les carrés des demi-axes de la section vérifient l'égalité

^ TT— :i=0. (14)

due à Sedley Taylor (*).

Ces deux équations auront les mêmes racines, si

af hg' ch! ' On conclut, de ces proportions :

La droite OL', dont les cosinus directifs sont f\ g\ h'j est donc déterminée ; et, en conséquence :

IIL Théorèmes. — 1° Toute section d'un ellipsoïde, par un plan diamétral, est égale à la section droite d'un certain cylindre, circonscrit à l'ellipsoïde.

2® Réciproquement : Tout ellipsoïde, inscrit à un cylindre, admet une section diamétrale égale à la section droite du cylindre.

3® 5t deux ellipsoïdes, concentriques, sont inscrits à un même cylindre, une section diamétrale de l'un est égale à une section diamétrale de J autre.

4* Réciproquement : Si deux ellipsoïdes concentriques n'ad^ mettent pas de sections diamétrales égales, ils ne sont pas inscriptibles à un même cylindre.