X-— i=.(x — i)'Q-»-R', (iO

en supposant

R' = C^.^.x"-* - C«,^, . C^^^+Lix"-* H- ... -H (- i)p-*C«,,^,- 1.

f ) Je Pai trouvée en appliquant la formule de Poisson (Note LXVIII).

On sait que, m étant premier,

c,„,.«>;, =bi = jnL(»o (*).

Gonséquemment :

Si l'exposant m esl premier, le reste R', de la division de x" — 1 par (x — 1 y, a tous ses termes divisibles par m (**).

VI. Division arithmétique. — Dans l'égalité (10), remplaçons X par un nombre entier a, tel que, à partir de a: = a, on

ait constamment

ou

(X— !)''--[€„,,. ,(x--ir'-hC^,,,,(x—iy'-»-^...-4-C.„.,(x-i)]>0;

ou, après suppression du facteur x — 1 = z :

Il est clair que les valeurs de Q et de R, répondant o x = a, seront le quotient et le reste obtenus en divisant le nombre entier a"* — 1 par le nombre entier (a — 1 y. En conséquence :

Si a est un nombre entier suffisamment grand, et que m soit premier, le reste r, de la division de aT — I par (a — 1)^, est divisible par m.