IX. Généralisation. — Posons
de manière que (f(x) et vp(«) soient le quotient et le reste de F(x) divisé par f(x) (*). Ordinairement, si l'on remplace x par un nombre entier a, la division de F(a) par f(a) ne donne pas 9(0) pour quotient, et i^(a) pour reste. En effet, dans cette opération, le reste est inférieur au diviseur. Ainsi, nous devons avoir*
fia) > ^(a).
Ce n'est pas tout. Afin que ^(a) puisse représenter le reste, pour une infinité de valeurs de a, nous admettrons que le coefficient du premier terme de ^(\) est positif (**).
Ces conventions étant admises, nous pouvons énoncer le théorème suivant :
Soit a un nombre entier, supérieur aux racines des éqtiations
Si l'on divise F(a) par f(a), le quotient entier sera (p(a), et le reste, ^{^(a) (***).
(*) On suppose, bien entendu, que F(x) et f(x) sont des polynômes entiers, à coefficients entiers.
{**) La même hypothèse est étendue aux coe£Scients des termes initiaux de F (or) et de f{x).
{*'*) Je pense que cette proposition, presque évidente, est nouvelle.
X. Exemple : Si Ton prend F(x) = x' -*- 2x* — X* -♦- x' -*- a; -^ 1, f{x) = x' -4- x'*— x -^ 2,
on trouve
(p(x) = x' -♦- X — 1 , ^[/(x) = x' — 2x -4- 3 ; puis
En effet : 1** pour x = 1 :
5 = 5 X i H- 2; 2« Pour X = 3 :
39i==35x il -^6;
3** Pour x = ^0:
ii9iii=1092X 109-^83; etc.
XL Autre exemple :
F(x) = X"* — i, f{x) = X''— \ ; puis
cp(x) = x"*"'' -♦- x"'"*'' -*- ••• -t- X*"', ip(x) = X*' — i ; m' désignant le reste de la division de m par p.
II est clair que a:=2. Ainsi, en particulier : Si Von divise 3" — 1 par 3* — 1, te quotient est 3^ -h 3?, et le reste, 3^ — 1.
CCIiimi* — Sar an théorème de H. Mannbeliii (^).
(Juillet 1887.)
I. Lemme I. — Soient deux quadrilatères inscriptibles ABGD, ABEP ayant un côté commun AB, et dont les diagonales coïncident (en direction) : les derniers cotés CD, EF sont parallèles.
Il suffit de démontrer que les angles AEP, AGD sont égaux. Or, si Ton trace les circonférences ABEF, ABGD, on a
AEF = ABF = ABD, ACD = ABD.
II. Lemme IL — Soietit deux quadrilatères inscriptibles ABCD, ABGH ayant un côté commun AB, et dont les côtés AD, AH, BC, B6 coïncident deux à deux (en direction) : les derniers côtés CD, GH, sont parallèles.
En effet, chacun des angles BGD, B6H est le supplément de BAD.
III. Lemme III. — Soient deux qiuidrilatères inscriptibles ABEP, ABGH ayant un côté commun AB , et tels, qv£ les
(*) Journal de MathémcUiques élémentaires; Question 254. La présente Note a pour objet la généralisation de ce joli théorème.
côtés AFy BE de Vuriy coïncident (en direction) avec les diagonales AG, BH de l'autre : les derniers côtés EF, GH sont parallèles.
Même démonstration.
IV. Leume IV^ (Réciproque du Lemme I). — Soient deux quadrilatères ABCD, ABEF ayant un côté commun AB, dont les diagonales coïncident (en direction), et dont les derniers côtés CD, EF sont parallèles : ces quadriratères sont, simultanément, inscriptibles ou non inscriptibles.
Si ABCD est inscriptible, les angles DCA, DBA sont égaux. Mais, à cause des parallèles, DCA = FEA. Donc DBE = FEA, et le quadrilatère AFEB est inscriptible.
V. Lemme V {Réciproque du Lemme II). — Soient deux quadrilatères ABCD, ABGH ayant un côté commun AB, dont les côtés AD, AH, BC, BG coïncident deux à deux (en direction), et dont les derniers côtés CD, GH sont parallèles : ces quadrilatères sont, simultanément, inscriptibles ou non inscriptibles.
En effet, les angles correspondants BCD, BGH, sont égaux.
VL Théorème I. — Soient deux quadrilatères inscriptibles ABCD, ABEF ayant un côté commun AB, et dont les diagonales coïncident (en direction). 5i l'on prolonge les côtés BE, AF jusqu'à ce qu'ils rencontrent, en H, G, les côtés AD, BC ; la droite GH sera parallèle à CD, EF et le quadrilatère ABGH sera inscriptible (*).
Si HG n'est point parallèle à EF, soit HG' celte parallèle (**) : ABG'H est inscriptible. Menons AG', qui rencontre en F' la droite EF : BEF'A sera inscriptible. Mais, par hypothèse, BEFA est inscriptible; donc F' coïncide avec F.
VII. Remarque. — Dans l'hexagone DFECGH : 1° fes côtés DF, GC, et la diagonale HE, concourent en B; 2" les côtés CE,
(*) Le théorème de M. Mannheim est un cas particulier de celui-ci. (**) Non tracée sur la figure.
HD, et la diagonale GF, concourent en k; Z"" les cotés EF, GH sont parallèles à la diagonale CD.
Ce résultat est d'accord avec le théorème connu (*).
VIII. Théorème II. — Un quadrilatère inscriptible, ABGD, étant donnéy on en déduit deux autres, ABËF, ABGH, tels que ADH, AEC, BCG, AFG, BFD, BEH soient six lignes droites. Cela posé :
1** Si l'un de ceux-ci est inscriptible, l'autre l'est aussi, et les côtés CD, EFy GH sont parallèles;
2» Si l'un des côtés EF, GH est parallèle à CD, l'autre l'est aussi, et ABEF, ABGH sont inscriplibles.
Addition. — (Septembre 1887.)
IX. Théorème III. — cd, u', co" étant trois circonférences décrites sur une corde commune AB ; on trace, successivement, les
dV: \ '>^7\'
doubles cordes BCG, CEA, BEH, HDA, G FA, lesquelles déter-
(*) Tome II, page 281. Ce théorème est fort ancien; car on le trouve dans les Collections mathématiques^ de Pappus. Voir, par exemple, les Propriétés projectives, de Pônceict, t. J, pp. 86, 87 (seconde édition).
minent les sommets C, 6, E, H, D, F d'un hexagone. Cela posé : i^ Le dernier sommet, F, est situé sur la double corde BD; 2® les côtés GH, EF sont parallèles à la diagonale CD (*).
X. Remarque. — Si les diagonales CD, EH, FG se coupent en un même point, l'hexagone, appartenant à trois circonférences, est circonscrit à une conique (**).
CCIiHHLII. — Sur un théorème d'Abel i*""").
(Lettre à H. de Saint-Germain.)
« Hier, 1*"^ mai, votre aimable lettre m est parvenue : agréez-en » tous mes remerciements.
» La veille, j'avais reçu la Note annoncée, tirée du dernier » numéro des Nouvelles Annales. Quand il a paru, j'étais à » Y Hospice Dubois, gravement malade. Aussi, la livraison est-elle » restée non coupée.
» il n'en est pas de même pour Vextrait : bien que ma tête » soit encore un peu faible {"), je me suis hâté de la lire (en » partie) ; et je viens vous communiquer quelques remarques, » suggérées par cette lecture.
» De lequation
(*) Ce théorème, qui nous semble curieux, résume les propriétés précédentes. C'est pourquoi nous en supprimons la démonstration directe, D^aillcurs, au moyen d'une projection conique, on pourrait le généraliser encore.
Ç") Théorème de Brianchon. (***) Complément à la Note LXVII.
(") « Elle Test encore trop pour que je puisse étudier voire démon- » stration, bien compliquée ».
C) a Je pense que vous avez, sous les yeux, ma Note sur un théorj^me » d'Abel ».
( \U ) » on ne peut, dites-vous, conclure
» 6 étant la valeur extrême de x. Pourquoi ?
» Contestez-vous que la limite de la somme de deux quantités est égale à la somme des limites de celles-ci?
> Lorsque, de
» on déduit
» ou
. F(x)=/-(x)-h(p(x), limF(x) = limf(x) -*- /im(p(jr), . F(6)=./-(6) + (p(6).
» il est sous-entendu que ?(«), par exemple, varie d'une » manière continue, de x < 6 à aç = 6. Si, pour x = 6, 9(x) est » discontinue, il n'y a plus, ni démonstration, ni théorème.
» Si je ne me trompe, ceci arrive pour l'exemple choisi par » vous, exemple qui ne me semble pas topique.
Ifl.
» En effet, x étant inférieur à Tunité, on peut, dans le » ^développement de ^(1 -i- x), grouper arbitrairement les » termes, et écrire, par exemple,
. P(i-HX) = > H •
^ ^ ièi l^n — 5 An — \ 2n J
» Mais, lorsque x=l, ce groupement arbitraire n'est plus » permis (Th. de Dirichlet). Aussi, au lieu de trouver
{ ^55 ) » obtenez-vous :
» Que résulte-t-il de là, sauf erreur? C'est que la quantité
'"^ ' " \i 3 "2 Un
- 3 4n — 1 2»/ ' » e«^ discontinue pour x = 1 (**).
» Vous avez donc, me sembie-t-il, appliqué mon (?) théorème » au cas formellement exclus; et, trouvant un résultat inadmissible » (ce qui devait arriver), vous en avez conclu que le théorème » e^^ faux. Est-ce bien raisonné? Je m'en rapporte à vous.
» Si vous pensez, mon cher Collègue, qu'un extrait de cette » lettre puisse intéresser les lecteurs des N. A., je vous prie de » la faire imprimer (avec vos répliques, bien entendu) (***). » Dans toute discussion, peu importe qui a tort ou qui a raison : » le principal est que la vérité se fasse jour » .
« Votre bien dévoué vieux Collègue,
* Liège, â mai 188K. »
(*) « N'ayant pas le temps de vérifier ce résultat, je m*en rapporte à » votre affirmation •.
{**) « X étant inférieur à i, elle est
» si orss 4, elle est
» Ergo.», ».
(***) M. de Saint-Germain m'a répondu dans les Nouvelles Annales. A son article, j'ai riposté par une lettre. Le procès est encore pendant. (Mai 4888.)
€jCMAJLJLm. — Remarques 0ar l'intéirrAl^
{Septembre 1887.)
I. Les valeurs de A ont été trouvées par Poisson (Journal de V École polytechnique f 17**"* Cahier, p. 617); mais ce grand Géomètre a commis, dans sa démonstration, une singulière inadvertance.
« Soit », dit Poisson,
«Il a Iog(l — 2acosa; -♦- a');
» d'où Ton tire
du
da \ — 2a cos x -^ of
» Pour fixer les idées, supposons a < 1 ; nous aurons, en série • convergente.
1 — ^acosx -H à
-=3 i + acosx -H a'cos2x -»- a'cosSx -♦- •••; (3)
et, par conséquent,
du
» --== cosx -♦- acos2x -4- a*cos5x -*- •••
da
• Intégrant par rapport à a, et observant que u est nul en » même temps que a, il vient
« c. « ^ » — u =s a cos X H cos 2x H — cos Sx -*- — ;
(*) Cette Note a été publiée, en partie, dans la Nouvelle Correspondance mathématique (t. I).
( «57) d où Ton conclut
udx = / log(1 — 2a CCS X -h a^dx =s 0.
