II. Le développement (5) est faux. En effet, la série a pour

somme,

1 — 2acosx

1 — âacosx -t-x*' lorsque a est compris entre — 1 et -^- 1 (exclusivement) (*). III. La relation (5) est fausse; car, pour a; = 0, elle devient

2 5 ou

2f (i - a) = 4^(1 - fl).

ly. On peut, ainsi quMl suit, rectifier le calcul de Poisson.

1 cosx

du a — cosx 2 a

da i — 2acosx -4- a' a 2 1

i cosx -+- — -

1® Si a surpasse 1, on a, par le paragraphe II : i cosx

= i -«--cosx + --cos2x -l--rC0S3x + •••, .

1 cosx -4- —

ou

(fa

= 2 — h --cosx -4- — cos2x -♦-•••> (6)

La a* a' J

puis

Il — G = 2 ^a cosx — — cos2x — — cos3x • (7)

I a ^a oa I

(*) Traité élémentaire des séries, p. 77.

Pour déterminer ia constante G, faisons a= i {*); nous aurons

u « 4^(1 — 2C0SX -^ 1)= 24^(2sin ix), ^^(2s\nix) — C = — 2[cosa; -*- icosSx -f- icosSx -+- •••];

donc (**) C = 0.

La formule (7) se réduit à

^a cosx tcos2x — --rCosSx — •• .

Il en résulte, pour a > 1 :

2» Soita<l.

De

1 — acosx