DES OSCILLATIONS D UN FIL FLEXIBLE DONT UN DES BOUTS E^T SUPPOSÉ FIXE
^7. On a vu dans le chapitre précédent que, pour trouver rintégrale complète de l'équation différentielle du mouvement d'une corde élastique , nous avons déterminé d'abord une valeur particulière de cette intégrale dams laquelle il entrait des constantes arbitraires et des quantités indéterminées, que les conditions particulières du système seules faisaient connaître. Ensuite nous avons pris la somme de toutes les intégrales particulières possibles, et nous avons déterminé les constantes arbitraires par la condition qu'en faisant /=:o dans cette somme , la valeur qui en résultait , dût satisfaire à l'état initial qui est supposé connu et arbitraire. C'est encore à Lagrange que nous devons cette méthode ingénieuse d'intégrer les équations différentielles partielles linéaires; et il l'a déduite, lui-même, en généralisant le procédé de D'Alembert. Mais il se présentait toujours de très-grandes difficultés à vaincre pour la détermination des constantes arbitraires; et c'est en ramenant cette détermination à V intégration définie de fonctions explicites d'une seule variable que M. Fourier compléta cette théorie. Cependant ce n'est que lorsque la somme des intégrales particulières forme
DU FIL FLEXIBLE. 5i
un développement de fonctions trigonométriques que le théorème de M. Fourier peut s'appliquer directement , et il paraît que dans tous les autres cas il faut avoir recours à des artifi. ces analytiques particuliers. La question la plus difficile qu'ait résolue M. Fourier dans son excellente Théorie de la chaleur est celle dans laquelle il détermine le mouvement de la chaleur dans un corps cylindrique. En parlant de cette solution M. Fourier ajoute , ( Voyez Théorie de la chaleur , pag. 583 ) : Dans d^ autres recherches y la détermination des coefficiens ( les constantes arbitraires dont nous avons parlé ) exigerait des procédés de calcul que nous ne connaissons point encore. Nous pensons que le procédé que nous avons' employé dans le chapitre précédent pour déterminer ces coefficiens , étant indépendant de la forme explicite des fonctions qui doivent se trouver sous le signe d'intégration , et être telles que cette intégrale définie s'évanouisse, en général, à l'exception d'un seul cas , il doit réussir , en général , toutes les fois que Pintégration par parties donne des termes nuls hors du signe d'intégration. Notre procédé suppose que Ton connaisse seulement l'équation différentielle déterminée qui doit donner, pour intégrale, une certaine fonction de la variable, et que cette fonction , pour certaines valeurs déterminées de la variable , reçoive des va-
leurs connues. C'est ainsi , qu'en partant de l'équation j|—j-=— >t X
qui doit faire connaître la fonction X, avec cette condition que l'on ait X=o lorsque icss.o, ou bien «?=:/, nous avons démontré, qu'en détenninant une »utre fonction z de la varia-
ble X, de manière qu'elle puisse satisfaire à ^équation ;t-7 =
ri* ax
-^^'z, et à la coqdition z^=^o lorsque x=^o ou bien 0?=/, on
5a SUR LE MOUVEMENT
a , en général, /Xzrfa:=o. Il est bon de remarquer que ce
procédé s'applique également aux équations aux différences finies ; car nous avons prouvé , dans la section première du chapitre précédent, qu'ayant une fonction X^ donnée par Té-
k quation A'X^i= — -X^, et telle que Xo = X„ = o; en prenant une autre fonction z^ donnée par l'équation A*z^— 1 = X^, et telle que Zo = jz, = o, l'intégrale S X^z^ était, en gé-
néral , égale à zéro. Nous ajouterons encore que notre démonstration ne suppose pas que l'on connaisse d'avance ni la forme de la fonction z , ni la nature de la fonction a: \ et qu'ainsi elle pourra s'appliquer quand même l'intégrale de l'équation différentielle ne serait point connue. On en verra un exemple dans le problème des oscillations d'une chaîne pesante.
â8. Supposons maintenant qu'un fil AB, dont la longueur / est partagée en un nombre n de parties égales , soit suspendu par son extrémité A à un point fixe et que son autre extrémité B tombe à l'origine des axes des coordonnées rectangles xftly. Prenons l'axe des x dirigé de bas en haut dans le sens de la verticale, et Taxe des y horizontal. Supposons en outre le fil A B parfaitement délié , et sans pesanteur j mais chargé d'autant de petits poids A m égaux entre eux et placée aux points de division du fil , de sorte que le nombre des corps mobiles A m soit =». Si l'on vient à déranger très-peu la figure verticale du fil A B en imprimant, en même t^mps , à chaque petit poids A m une vitesse horizontale arbitraire, le fil fera des oscillations très-petites en affectant continuellement des formes dif-
fërentes. Il s'agît de résoudre le problème par lequel on demande de déterminer toutes les circonstances du mouvement du fil. Il est clair qu'en faisant 7z = ooon passera facilement de ce problème à celui des oscillations d'une chaîne pesante.
