bi sin.S (^J sin. 3 (^ v^a^-h etc.,à l'inf

On trouvera , par la différenciation de cette dernière équation, en considérant t seul variable,

(48)...u=— j x/^aa^sin. i^^^sin. i Q^ ^^

+ Y ^/a&.sin.ir^Jcos.iT^ v^aj

— 2-j\/a^,sin.2r-7-Jsin.ar-^ \/a\

+ 2-J \/ a ^. sin. 2 T-j-j COS. a T-j- \/a\+tic.

Si Ton fait maintenant ^=0 dans les deux dernières formules , on devra avoir identiquement

(49).../(:v)=a.sin. i (•~)>a.sin.2|(-^)

+ «3 sm. o ( -7- J + ^4 sm. 4 V,"7" J +" ^*^- > ^ rinfini.

(5o)....— p- F {%) = ft. sin. I (-y-) + a i. sin. 2 (J^j-)

-^ZhiSxn,^\ — \ + 4 ^^4 sin. 4 (-y-J + etc., à rinfini.

Il s'agit de déterminer les constantes qui entrent dans les seconds membres de ces deux équations.

Multiplions d'abord les deux nombres de l'équation (49) par

une fonction inconnue z^j^ de la variable x et intégrons entre les limites o et /; nous aurons

(5i)... fzf{oo)dx=LaSzdxs\sx. i (--7-)

a, fz dx sin. a f-j-}

Us fzdxsïu. 3 (jt) + ^*^-

Considérons seulement un terme quelconque

arfzdx sin. r (-y-)

du second membre de cette dernière équation , et posons, pour plusde8implicité,sin.r^-^) = ^, ce qui nous fournira l'équation

dx'~ t^^'

Partant, Oriz dx sin, '•(-7-) = arfzsdxi

r'i^ f j fd's . ds ^ dz fifz ,

en observant qu'on arriye à ce dernier résultat par l'intégration par parties. Nous déduirons de la dernière équation

si l'on prend la fonction inconnue z de sorte qu'elle satisfasse à l'équation ^ = — ^ z , et si l'on observe que les deux termes du second membre de cette dernière équation se rapportent aux deux limites de l'intégration. Mais lorsque jc == o ou bien =/, la fonction s est nulle ; ainsi l'on aura plus simplement

n*Tc»

Prenons la constante indéterminée ^=—77—, étant /ï un nombre entier quelconque ; et cette dernière équation deviendra

(5a)...."jK»--0/"<i«=(^ S)/-C4). ■'

en outre , la fonction z sera =sm.n (-y-y; ^t l'on aura 2=0 pour les limites de l'intégration j d'où il suit que l'on aura , en

général , /z 5 rfjc = o , si l'on prend les deux fonctions setz, telles

que s= sin. r C -t-\ ^ = sin. nf -y-y , étant retn deux nombres entiers quelconques. Ceci aura toujours lieu tant que nelr seront

deux nombres différens; mais lorsque n=:r yilyienira fzsdx=^.

Pour déterminer la véritable valeur de cette intégrale définie , je différencie les deux «lembres de Péquation (Sa) par rapport à n, sans faire varier la quantité qui est sous le signe /j car on doit opérer tout de même que si on différenciait le numérateur

et le dénominateur de la valeur de la fonction y jz^rf^c qui de-

vient 7 lorsque n = rj je fais n = r après la différenciation ; ce qui nous donne

27r' /• , fdzda\ /dzd8\ n\ da /^rJ^M

OU bien, en substituant et réduisant; fz$dx=:—

u^. Dans l'article précédent nous avons démontré cette proposition importante, savoir : que

/sin. n (jy) ^^' ^ Qt) ^^ = ^

tant que net r sont deux nombres entiers différens, et que

/8in.-r('y)=i.

On aurait pu démontrer ce théorème directement , en effectuant les intégrations indéfinies ; ce qui du reste est très-facile. Mais la manière dont nous sommes parvenus au même résultat peut s'appliquer avec autant de facilité à une foule d'autres fonctions qui jouissent de propriétés analogues ; et elle ne suppose point qu'on connaisse d'avance la fonction z que l'on prend pour multiplicateur. On doit donc considérer notre démonstration comme plus générale; et nous verrons dans le chapitre suivant qu'elle s'applique très-facilement à des fonctions bien différentes des lignes trigonom étriqués.

Cela posé, faisons zz=s\n.r\jY') ^^^^ l'équation (5i), et il viendra

Jf(x)8iD. rÇY) dxz=-ary

et de cette formule nous déduirons successivement

a,=jff(x)sin. i Çj^dx^a, = -

a^zzzj ff{x) sin. 3 Qj) dx , etc.

On trouvera de la même manière

6,= — j-7- X ^fF{œ)sïn.rQ^j dx,, d'où Ton déduira

/ - /f {x) sin. 3 r y^ dxy etc.

Comme la yariable x doit disparaître après les intégrations, on pourra la changer en une autre a , pour ne pas confondre les abscisses des divers points de la corde avec cette variable.

nS. Faisons les substitutions des valeurs des constantes arbitraires, que nous venons de déterminer, dans la formule (47) > et nous aurons l'expression de l'intégrale complète de l'équation (44) ^^ moyen de Téquation suivante

j=^sin. I (jj^ COS. I Çj v^ajl/{a)da.sin. i T^)

IW^a^'"'' ' (t) ^i^- ' (T'^^)/F(«)rf«sin. I Ç^)

j sin. u Qf\ COS. ^\T^ (i)jf{p)da sin. 2 Ty ^

^sin. a Q^) sin. 2 (j\^a')jF{»)dusm.:iQf^

j sin. 3 Ty j COS. 3 (7- v^ a\jJ\ix)doL sin. 3 Q^^

j^^,m.3 (V0»in.3 Qiva)ff(,)d,.m.5(^)

+ etc. , à Finfini.

On peut mettre cette dernière formule sous une forme plus simple en introduisant la caractéristique somma toire 2 j et Ton aura

(53)...y ==| 2 sin, v Qj) cos. v Çj \/a ^ff{<^ fi?« sin. v (^\

/ "*"^^^ ^^°- ' (y) ®^°- " (7Va)yF(«)rfa8in.v (y);

ensuite en différenciant,

(54)... u=— ^ v/ a 2 V sin. v (^) sin. v ( j i/ a) //(a)rfa8in. v ( j)

/ -h^2sin.vr^J COS. V Ty »/aj /F(a)da8in.v^^Y

II est très-aisé de voir que ces deux dernières formules coïncident parfaitement avec les formules (4o) et (4i) qui se rap» portent au même problème.

aô. D'Alembert qui a résolu, le premier, le problème des cordes vibrantes dans toute sa généralité , était parvenu à l'intégrale générale de l'équation (44) exprimée par deux fonctions arbitraires dont la nature se déterminait d'après l'état initial de la corde. Pour démontrer comment notre solution rentre dans celles que D'Alembert, Euler et Lagrange ont données, l'un à la suite de l'autre, nous remarquerons qu'on peut mettre l'équation (45) sous la forme suivante

j = -[sin.(5c + < v/a)y-hsin.(x — ii/'a)y1

— A COS. {x + t V^û) y — COS. {x — t Vdf-j\ ,

ou bien/= - j sin. {x -\- tVa)Y + sin. {x^t ^à)^-j\

- y r /sin. ({x+t x/a) y^ dx — /sin. ( {x—t Va) y) dxv

Donnons successivement à v toutes les valeurs dont elle est susceptible y et multiplions ensuite chaque résultat partiel par de nouvelles constantes arbitraires A', B', A", B", etc.; il est clair que la somme de tous les termes, à l'infini, pourra être remplacée par une fonction arbitraire. Ainsi nous aurons

y^=<f (x-^-t \/a)+(f(x—t \/a)-^'f\ {x-\-t \/d)dX'--f^ {x — t \/d) dx

9 et. ^ représentant deux fonctions arbitraires dont la nature dépend de Tétat initial de la corde. Pour déterminer ces fonctions, soit

lorsque tr=i o ; on aura visiblement

Partant l'intégrale complète de l'équation (44) sera !^y—f{x+t \/d)+f{x^t v^a)+/F (x+t \/d) dx—jT{x—t Vd)dx ;

ce qui rentre tout à fait dans ce que Lagrange a donné. (Voy. MisceU. Taur. loxxx. 2.)

5o SUR LE MOUVEMENT