DE CORPS

49. On trouve à la page 871 du tome premier de la Mécanique analytique, les équations rigoureuses du mouvement d'un système quelconque linéaire de corps. Mais comme ces équations ont été déduites du principe général des vitesses virtuelles après avoir fait subir plusieurs transformations à la formule fondamentale, nous croyons qu'il ne sera pas indiffèrent de démontrer directement les mêmes équations; ce qu'on peut faire, d'ailleurs, d'une manière extrêmement simple. Imaginons

un nombre quelconque de masses Am,, A/n., A/tIj Am.

disposées^ les unes par rapport aux autres, sur une ligne courbe quelconque, dont tous les points seront rapportés à trois axes rectangles x, y, z, en prenant Taxe des a: vertical et de bas en haut. Considérons deux masses consécutives Anii^t et A/n* dont la distance sera représentée par A5,-x après un temps quelconque *. Les forces accélératrices qui animent la masse A/7î^, après le temps t, étant décomposées en trois forces dirigées selon les axes des coordonnées, nommons X, la résultante

de oes forces qui est censée tendre à diminuer les abscisses x, Yi celle qui tend à diminuer les ordonnées y, et de même Z, celle qui agit en sens contraire des z.

En outre, soit (p,i la force qui tend, après le même temps/;, à transporter la masse A/n<x vers la masse Am,, ou bien Faction de ^rrii sur A/n^— ^ ; il est clair que l'action de ^m^^^ sur Ami sera égale et contraire à <p<i. Par la même raison ep,- étant Faction de A/Hf sur la masse consécutive Am^+i, ç, sera la force qui tendra à transporter la masse Am< vers la masse' A/w^+x. Ainsi, après le temps t, la masse A/w^, placée entre les masses Arrii^^ et A/7Zi+i sera sollicitée vers Ami i par une force ç/-.i et vers A/n,-^x par la force ç^. Chacune de ces forces étant décomposée

dans le sens des coordonnées, il est clair que <p . , r— ^* sera la

composante de ^— ^ selon Faxe des x, composante qui tendra

à diminuer cette abscisse; et que ç^-^ sera la composante

de <fi dans le sens des a: et qui tendra à Faugmenter. Ainsi la masse AnZi sera sollicitée, en sens contraire des a?, par une

force égale à <p,.j

AXi

ASi

5o. Cela posé, il est facile de voir qu'après le temps t la masse A/n^ sera sollicitée, en sens contraire des x, par une force accélératrice égale à

Xi^

Anu

^Xi\

àSiJ'

sa SUR LE MOUVEMENT

en sens contraire des y par une force accélératrice égale à et en sens contraire des z par une force accélératrice égale à

Le premier terme de chacune des trois dernières expressions est dû aux forces sollicitantes, ou forces motrices, et l'autre partie est due aux forces intérieures , dépendantes de la liaison ou des attractions réciproques des corps du système. Or on sait que les forces accélératrices sont équivalentes à la différentielle seconde de l'espace divisée par le carré de la différentielle du temps, et prise avec le signe négatif, lorsque ces forces tendent à diminuer l'espace que le corps décrirait en s^éloignant de l'origine. Par conséquent on aura , pour déterminer le mouvement du corps Am^ dans le sens àt x, l'équation

dt

qu'on peut mettre sous la forme plus simple

-^'Am.4-X,Am,- A (?,..|^^)=o.

On trouvera de même

^A».+2,Am,.(9,,^;)=„.

DU FIL FLEXIBLE. gS

Ces équations rentrent parfaitement dans celles que Lagrange a données, dans l'ouvrage cité au commencement de ce chapitre, en les déduisant du principe général des vitesses virtuelles. Cependant nous croyons que notre démonstration peut être préférée comme étant beaucoup plus simple et élémentaire.

5i. Dans l'état actuel de nos connaissances mathématiques on est bien loin encore de pouvoir résoudre, en général, les équations (94); ^t l'on peut affirmer qu'il s'écoulera bien des années encore avant qu'on ait découvert des moyens pour les attaquer , même en les restreignant de beaucoup. I^e seul cas qu'il soit possible d'intégrer^ dans toute la généralité, par l'analyse moderne est celui des oscillations du système autour de sa position d'équilibre. Encore arrive-t-il, comme nous l'avons vu -dans le chapitre précédent, que la solution reste incomplète dans quelques cas , quoique l'intégration soit possible dans tous. A plus forte raison doit-on trouver Jes difficultés énormes lorsqu'on veut résoudre le problème Jes -mouvemens quelconques. Mais pourquoi chercher à résoudre un problème aussi difficile tandis qu'il reste encore des obstacles à vaincre dans les hypothèses qui conduisent aux équations différentielles les plus simples? On ne peut marcher dans les sciences que progressivement et en s'élevant du plus facile au plus difficile, en passant par les degrés intermédiaires. Or, avant d'entreprendre la solution du problème des oscillations finies d'une chaînette, il nous semble qu'ail est indispensable de discuter, à fond, celui des oscillations très-petites; car si dans l'analysé de ce problème on rencontre des difficultés du premier ordre dont la solution exige l'emploi des transformations les plus compliquées, on doit penser qu'il ne sera guère possible d'^n venir à bout dans l'autre problème.

Si, malheureusement, le problème des oscillations finies d'^un fil flexible excède encore de beaucoup les forces actuelles de l'analyse algébrique, toujours doit-on se consoler, d'un autre côté, en réfléchissant que l'explication des phénomènes les plus intéressans de la physique, tels que l'acoustique, l'optique, et l'expansion de la chaleur, dépend de la résolution d'équations qui ne sont pas plus difficiles que celles des mouvemens trèspetits d'une chaîne pesante. On peut donc contribuer plus efficacement à l'avancement des sciences exactes, en perfectionnant la théorie de ces petits mouvemens, que si Ton parvenait, par un heureux hasard peut-être, à la solution de quelques cas très-particuliers des oscillations finies. C'est pour cette raison que nous reviendrons, dans le chapitre suivant, à l'analyse de quelques problèmes particuliers sur les oscillations d'un système linéaire flexible. Nous nous occuperons, dans celui-ci, de la démonstration des équations différentielles qui nous ont servi dans les chapitres précédens, et delà recherche d'autres équations dont l'analyse sera donnée plus loin.

52. Pour se former une idée nette des équations (94) îl faut observer que le ^indique des différentielles prises uniquement en faisant varier la seule variable t^ tandis que le A marque les différences des quantités qui se rapportent aux divers corps du système considérés après un temps quelconque. En outre les quantités X^, Y^, Z^, peuvent être des fonctions du temps et des coordonnées des divers corps du système, et l'on aura toujours A^,= ^^Ajc<"-f-Aj^» + A^'». Dans plusieurs circonstances on aura Ç;=/( A ^J,/* dénotant une fonction quelconque qui sera, le plus souvent, inconnue.

Considérons le cas où toutes les forces accélératrices se réduisent à la gravité g. On aura alors Xi=g, Y<=o, Z<==o-, et les équations (94) deviendront

dt

et ces équations auront toujours lieu pour le mouvement d'un système linéaire quelconque de corps pesans qui ne seraient point soumis à Faction d'autres forces accélératrices.

Si le nombre des corps devient infini, la masse de chacun devenant infiniment petite, et si, en même temps, les distances mutuelles de ces corps deviennent infiniment petites , on fera Ami=:dm, àSf=ds, et en supprimant l'indice i dans les équa* tions (95), on aura

il? +8)dm-'^(y£)ds=o,^^dm—^

ds ds

dz\

-jjÀrn — V ds) dsz=20.

ds

9fi SUR LE MOUVEMENT

Les équations qu'on vient d'écrire se rapportent au mouvement quelconque d'un fil pesant quelconque, et renferment^ par conséquent celles du mouvement d'un fil homogène et flexible suspendu par une de ses extrémités, et libre dans toute sa longueur.

53. Supposons maintenant que des masses, en nombre quelconque, soient attachées à un fil flexible, élastique ou non, dont nous ferons abstraction du poids. Supposons de plus que, lorsque /=o, le fil soit placé sur l'axe des x dirigé de bas en haut, et que, dans cette situation du fil, son extrémité inférieure tombe à l'origine, et que tous les corps soient également éloignés les uns des. autres d''une quantité h. Il est clair que dans la position d'équilibre du fil on devra toujours trouver y,.=o-, Zi=Oy Xi=^ii et ^Si==h, en nommant l( l'abscisse du corps Am,. lorsque t=o.

Cela posé^ si l'on écarte tant soit peu le fil de sa position verticale en le forçant de faire de trè^^tites oscillations au-* tour de l'axe des j?, et si l'on nommé Ç< + :vy, y^, z^ les coor» données du corps ArrUy et A + (a^ sa distance au corps Ami+„ après un temps quelconque t, les quantités a:,, y,., z^ et w^ auront nécessairement des valeurs très-petites, et l'on pourra prendre, s&ns erreur sensible,

en faisant pour abréger,

De la il est facile de conclure

en négligeant les puissances supérieures de ùh-i. Et, en faisant les substitutions dans les équations (96), on trouvera

^^Am,+ff Am,-A[(g^-+ ^^-' ^ ^'-'^-' )(A^.+A^-O]=o

d'jr,

dt

observons que aÇ,-,= A, et qu'en vertu de l'équilibre du fil, lorsque i=o, on doit aussi avoir ^a/7ï<=aF^,î et Ton trouvera que les trois dernières équations se réduiront aux suivantes, en négligeant les infiniment petits des ordres supérieurs ;

d'^i . . /^F.:-. Aa?... . F^.— .Prfi.,

dt

-àrrii — A

dy^

dr

^mi-'^ii

d*Zi ^ /F.. , \

98 SOR tE MOUVEMENT

54. Nous allons déduire successiyement des formules (97) les équations différentielles des cordes vibrantes et celles des oscillations d'un fil ou chaîne pesans. Et d'abord si le fil est supposé élastique et tant soit peu extensible, on aura ^s.=h + iù.; et comme nous supposons que les vibrations sont infiniment peu étendues ^ on pourra faire à tous les instans du mouvement ^s.= h+^x,j ce qui nous donnera to^,=A^,,. D'ailleurs comme on a^A7w,=F,,, on trouvera aF,,=o, si Ton fait abstraction des poids infiniment petits des corps, relativement a celui quîrtend la corde et qui est constant.

On aura donc F,^.= const. =^P', en nommant P le poids qui tend la corde. On aura en outre F^,=^ F, F désignant une constante inconnue mais différente de P ; et les équations (97) nous donneront

La seconde de ces dernières équations est parfaitement semblable à réquation (3) de la section première; et Ton voit, en même temps, que les autres équations s'intégreront de même, et que la considération des mouvemens de la corde dans le sens des trois axes, n'exige pas des transformations différentes de celles que nous avons employées pour la résolution d'une seule de ces équations.

Nous supposons maintenant que le fil soit suspendu contre

l'axe des x par son extrémité supérieure seulement, et qu'il soit inextensible; on aura alors A ,y,=A quelle que soit la valeur de t; partant w;.= o; et en outre F,«,=g'SAm/, l'intégrale étant prise depuis ê=o jusqu'à i. Les équations (97) nous fourniront dans ce cas

7 Am. — |A^Ax.,SAm,)=o,

^' ATO/— 'lA^Ay^.S ATO.) =0,

d^Zi dt

r A 7^,— f A (az,-. s Am,)=0'

Ces équations sont toutes trois parfaitement semblables en«tre elles,; ce qui nous démontre que lés oscillations des différens points d'une chaîne homogène ou non, décomposées selon les directious des trois axes rectangles, sont parfaitement semblables entre elles. Si nous supposons que toutes les masses ùjrii soient égales entre elles, on aura évidemment S A 7n,=(/ — i)^miy et la seconde des équations (99) coïncidera avec l'équation (55).

55. En passant du nombre de corps fini au nombre infini, les équations (99) se changeront dans les . équations différentielles du mouvement d'une chaîne pesante, homogène ou non, qui oscille autour de l'axe des x. Pour cela nous ferons remarquer qu'on doit avoir h=dx, et ^m,=f{x)dx, en désignant par la lettre /la fonction quelconque qui dépend de la relation qui doit exister entre la densité des différens points de la chaîne et la variable x. Après cela il est facile de voir que les équations (99) doivent donner

lOO

(foo)....

dyc

dt

rAx)dx-gd(^Jf{x)dx)^o, \Rx)dx—gd{£jf{x)dœ^=o ;

drz dt

où il faut observer que les. difTérenciations indiquées doivent être effectuées en regardant dx comme constant. La loi la plus simple qu'on puisse supposer entre la densité de la chaîne et la variable x, c'est qu'elle soit proportionnelle à cette variable. Alors on ayi(a:) = const,, et la seconde des équations (loo) se

d*Y ^dv d^v\

changera en -, -; —g ( ^ + x ^ J = o qui n'est autre chose

que l'équation (82). Nous pouvons donc être assurés que toutes les équations différentielles dont nous avons fait usage dans les deux chapitres précédens, sont non-seulement vraies, mais aussi qu'elles se déduisent toutes des mêmes équations ^4) ^î sont beaucoup plus générales.

DU FIL FLEXIBLE. loi

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