CHAPITRE QUATRIÈME

ANALYSE DE QUELQUES CAS PARTICULIERS DES OSCILLATIONS d'un FIL FLEXIBLE.

56. Dans la section troisième du chapitre n nous ayons résolu complètement le problème des oscillations d'une chaîne pesante homogène j et Téquation différentielle de ce problème se déduit de la seconde des équations (loo) en y supposant /(jc) = cons t. ; ce qui est en efTet le cas d'une densité uniforme. Mais pour ôter toute espèce de doute sur la nature des séries auxquelles nous avons été conduits, il faudrait résoudre une équation numérique de degré infini ; ce qui offre encore de trop grandes difficultés à surmonter. Il paraîtrait, au premier abord, que ce cas est le plus facile de tous ceux qu'on pourrait se proposer sur ce problème, et qu'en faisant /(ar)= à quelque fonction de X, les équations (lOo) devraient présenter de plus grandes difficultés à vaincre pour arriver à une intégrale complète. Le contraire a lieu cependant ; et nous allons voir qu'en supposant f{x) proportionnelle à of*, on peut assigner une infinité de valeurs à l'exposant n pour lesquelles l'intégration des équations difTérentielles devient plus facile que lorsque 72=0.

103 SUR LE MOUVEMEWT

Gomme les équations (loo) sont tout-à-fait semblables, nous nous contenterons d'en considérer une seule; et nous choisirons la seconde, parce que c'est de celle-ci que nous nous sommes déjà occupés dans le cas de rhomogénéitë de la chaîne. Faisons donc /*( a?) = A a;", étant h une constante quelconque, et nous aurons

(ioi)....^=g-(|+^^g).

La supposition de ti = o nous ferait retomber sur l'équation (8a); mais en faisant 71 = 7 dans l'équation (loi) on aura une équation bien plus facile à traiter, comme nous allons le prouver dans la section suivante.