SECTION PREMIÈRE
Intégration complète de Féquation (10 1) lorsque 71=7.
57. Supposons qu'un fil flexible, dont la masse, censée variable et donnée par cette équation dm=:hx^dx, soit suspendu par mie de ses extrémités ( celle où la masse est plus grande ) à un point fixe. L'équation différentielle du mouvement de ce fil, ou plan flexible, sera, d'après ce qu'on a vu dans FarticJe précédent,
(ioa)....^=^(g+|xg).
DU FIL FLEXIBLE. io3
Il s'agit d'intégrer cette équation de manière à satisfaire à toutes les conditions du problème. Pour cela nous ferons d'abord
(io3)....y=aXcos.tV'^glb + bXsin.ty'gi,
aetb étant deux constantes arbitraires, ^ un nombre indéterminé, et X une fonction inconnue de la seule variable x. La substitution de cette valeur de y dans l'équation différentielle, nous fournira, pour la détermination de X, l'équation suivante du second ordre
/ /\ # V . ^X . 2 rf*X (io4)....-tX+^+3a:=o.
On verra plus loin une méthode générale pour l'intégration des équations plus générales que l'équation (io4). Qu'il nous
sufBse, pour le moment, de savoir que la valeur X=: ^°' „ ^
satis&it à l'équation (io4)^ comme il est trës-aisé de s'en convaincre ^.posteriori. Ainsi nons regarderons cette fonction X comme étant donnée ; et la condition de l'immobilité de l'extrémité de la chaîne qui correspond à jc=/, nous fera connaître les valeurs de *, puisque nous devons avoir X=o lorsque x=l II faut donc que l'on ait sin.ï/6F/=o; d'où l'on déduit
VJ:=r—^^ en prenant pour v un nombre entier quelconque.
Substituons maintenant.,ces valeurs dans la formule (io3), en changeant les constantes a et 6 en a,v^l et b,v^l\ et nous trouverons
io4 SUR LE MOUVEMENT
( I o5)...y=>-^ sin. "^{^Vj) cos. v (^ tc ty ^j
+ -^sin. v(i.v/f) sin. v(ic«v/|/).
dr 58. Faisons, comme nous Pavons déjà pratiqué, y =Y,^=V,
lorsque i=o; et donnons successivement à v toutes ses valeurs; Féquation (io5) nous fournira les deux suivantes
{io&)...Y='-y=.\a, sin. i (« v t^+û. sin. a (« v 7)
+ ^Z38in.3rwv -^y.^+^rSiiLv^içY/ -^J-h.... j,
7Ç\/ JS- y— y— "^
^ +3ft38in.3^wV fY-^+vtrôin-v^irV/ 0+.... j-
Ces équations nous feront connaître les coefficiens indéterminés qui entrent dans leurs seconds membres. Et pour cela , multiplions d'abord les deux membres de Téquation (io6) par
dxsMk.^CKYjS^ |A étant un nombre entier quelconque, et
io5
intégrons ensuite entre les limites o et /. Le terme général da second membre sera exprimé par
a, I sin. H-f^V/ ^ j sin. ^C'^ k 7y~7='*
Mais on a, en général,
sin.jji(wY/7) ®^°-^ (:^yi)~ i[cos. (,t— VIÇV7) — cos, (|^ + vwV^f) ] ;
par conséquent
fsm ,.( VO^i»'^ ('^^7)^^= nn.( p. — V t:\/ jJ sin. ^p. + vir\/ jj
Nous déduirons tout de suite, de cette dernière formule,
/ain.,(V^)»i- ('■v/î);^=o./>i»--<'Vl);^^ . V 7 • V 7
De là il est facile de conclure que l'équation (106) doit nous
io6 SUR LE MOUVEMENT
fournir la relation suivante iZ,/=/ Y rfxsin^v ^^v/^) 9 for-
mule de laquelle on déduirait sans peine, les valeurs des coefficiens a,^ a,y a^ à llnfini.
En opérant de la même manière sur l'équation (107), on parviendra à cette autre formule
qui servira à la détermination des coefficiens i„ ft. , hi à
l'infini.
59. Substituons maintenant dans l'équation (io5) les valeurs que nous venons 4e trouver pour a^ et &; et prenant ensuite la somme du second membre depuis v=i jusqu'à v=od, on pourra indiquer le résultat de la manière suivante
(io8)....y vT^^
/ •--i-;^?=^2-sin.vriçV yjsin.vr^ Iv dxwa.yèCtty j\.
DifFérencions par rapport à t seulement, et nous aurons
icy^S — >f SIX}. ^iÇi^ Y ^\m.^{Tçt Y fi^J
2sin.^\i^Yjjœs.^\ictY
Ces dernières formules ont une analogie frappante avec les formules (4o) et (4i) qui se rapportent aux vibrations d'une corde élastique tendue et fixée à ses deux extrémités. En les comparant aux équations (76) et (77) on verra que ces dernières sont beaucoup mmns simples ; et qu'ainsi les oscillations d'un fil flexible et uniformément pesant dépendent de formules plus compliquées que Les oscillations d'un fil qui ne serait pas également épais dans toute sa longueur. Les formules ci-dessus peuvent se rapporter aux oscillations d'un petit plan flexible uniformément épais d'une longueur ==/ mais d'une largeur variable. Pour déterminer le contour du plan flexible qui est supposé osciller dans notre problème, on imaginera l'axe de ce plan passant par l'origine et par le point de suspension ; et l'on déterminera sa largeur variable en observant qu'elle doit être proportionnelle à \/x.
60. Pour faire une application des formules (îo8) et (109), nous supposerons que l'état initial soit déterminé par les conditions Y= o, et V=A, depuis ac=o jusqu'à ar=co, et que pour tous les autres points on ait V=o. Il est clair qu'on aura
io8 SUR LE MOUVEMENT
/vrf xsin. v(xv/f ) =kjdxs\n. v (x\/f ) ;
et, en intégrant, on tronvera
/rf««z..,(.v/=)=,^[±™.<Vf)-v'f<»»..(Vî)];
d*oà l'on tire
i./rfx,i„.,(Vî)=^'[>.> ('Vl)
Sabstitnons d'abord cette valeor dans l'équation (loS); noas aurons
iF»
2^cos.v (xV^)sin.v (xv/f)sin.v(xi v/^}
Les séries qu'on obtiendrait en donnant successirement à v toutes ses valeurs, depuis i jusqu'à l'infini, seraient nécessairement convergentes ; et, en se bornant aux premiers termes du développement, on aurait des valeurs suffisamment exactes, n ne sera pas difficile de trouver que l'équation (109) doit devenir
(lli).,.^=^^^^p=2^'s^^^
