SECTION DEUXIÈME
Intégration de V équation (101) lorsque 71=7.
6a. Si la densité du fil flexible est donnée par cette équation
dm=ihx* dx, étant h une constante quelconque, les oscillations du fil seront déterminées par l'intégration complète de réquation
, . dy rdy . 2 d*y\ (lia).... 5^=43^ + 50: ^-^J.
DU FIL FLEXIBLE. m
Faisons toujours
a, è, X et ^ ayant la même signification que dans la section précédente. Substituons cette valeur dey dans Téquation (iia) et nous aurons, pour déterminer X,
On pourra, maintenant, s'assurer aisément qu'en prenant X = — I — rT==- — ^ COS. ^^Tohx , l'équation (i i4) est satisfaite; et l'on pourra ainsi regarder cette valeur deX comme une intégrale particulière de cette équation.
Pour avoir toutes les valeurs possibles de k, observons que, lorsque x = /, on doit avoir X = o. Partant
sin. v^ioit/ — ï^^^cos. v^io>t/= o,
ou bien tang. \^TôFl= v^iokl. Faisons, pour abréger, yTôFl= e ; et nous aurons, pour déterminer 8, l'équation transcendante
(ii5)...9 = tang.O.
63. Soit 71Ç — e, le plus petit arc dont la longueur égale celle de sa tangente, il est clair qu'il y aura encore une infinité d'autres arcs qui seront chacun de même longueur que leurs tangentes respectives ; et quje ces arcs seront wocessivement 5 7 9 f
lia
SDR LE MOUVEMENT
Il n'est pas moins évident que les arcs e,, £.> «3> «4? etc., formeront une série qui convergera rapidement vers zéro, sans pouvoir cependant jamais atteindfe cette limite. Notre objet n'est pas de donner ici des méthodes expéditives pour calculer tous ces arcs «,, e., 83 à l'infini; nous observerons que l'équation (11 5) a été traitée par Euler; et l'on pourra lire aussi ce que M. Fourier en a dit dans sa Théorie de la chaleur. Il nous sufBt de faire remarquer qu'il doit exister une infinité de valeurs réelles pour qui seront toutes racinesderéquation(ii5), et que ces valeurs seront, de plus en plus, grandes. Chaque valeur positive de nous donnera une valeur pour v/Jy puis-
que nous avons, en général, ^^=--^==.. Ainsi la résolution de
l'équation (11 5) nous fournira un moyen facile pour calculer toutes les valeurs de k, et si nous dénotons par ^,, ^,, itj...^,... les valeurs correspondantes aux arcs e», e,, e3...e,...; il est clair que la série des valeurs de k sera divergente. Cette conclusion, analogue à celle que nous avons déduite de notre démonstration à l'article 43, peut servir de confirmation à notre raisonnement de l'article cité.
64. Prenons pour i la valeur générale Jt, i et nous pourrons mettre la fonction X, qui satisfait à l'équation (11 4)? ^us la forme suivante
(i i6).,X=^^ — T^\ ^^^' ^^^Toi.x -^ y/iokfX COS. ^ i ok,x l=ç(i/it^).
En substituant f (v^Ii^) à la place de X dans la formule (11 3), et en changeant a et é dans les nouvelles constantes a,, h,j on trouvera
DU FIL FLEXIBLE. ii3
( ï 1 7)... / = a, ç ( v/^) COS. if v^g^, + 5, ç ( v/*^) sin. ^ v/g^,.
Cette valeur de y n'exprime encore qu'une intégrale particulière de l'équation (112), et ne deviendrait l'intégrale complète que dans l'hypothèse particulière où l'état initial du fil serait exprimé par les équations Y = A <p ( V'^'X^j et V =B ç ( \/T[x)y A et B étant deux constantes.
En général, pour passer de l'intégrale particuUère (117) à l'intégrale complète, il faut prendre la somme
y==2[^ï,9(v^'Tiï)cos.<v/'g^,+i,ç(v/^)sin.<v/gvfr]
depuis v=i\ jusqu'à p=oo, et déterminer les constantes a,,hf de manière à avoir identiquement
(118)... Y=û.9(v^T»-+-a.?(v^îIi)+a3ç(i/>Fr5)
+a,9(v/^)+ à Imfini.
+ 63»^g^3?(^^)-...+ *rV^g*r(^^iM)+.... à l'infini.
65. Multiplions les deux membres de l'équation (118) par une fonction inconnue ^dx de la variable jc^ et intégrons entre les limites a et <û; le terme général du second membre sera
exprimé par a,f^ 9 dx^ en nommant simplement 9 la fonction
fié SUR LE MOUVEMENT
La fonction 9 est telle qu'on doit avoir ^,ip= — -^ — 5*5^' en Tertu de l'équation (114); on aura par conséquent
(I ao)...— kfii<^dx=Jif ^dx+ \Jx 4. ^.dx-
En intégrant par parties les termes du second membre de cette équation, on trouve
/+S^='l'9~/p ^rf«;/^'l'^!«fc -+?+4+â-4i]
substituons dans l'équation (lâo), et nous aurons
Si nous prenons la fonction ^ telle que Ton ait
on pourra réunir en un seul terme les quantités qui se trouvent sous le signe d'intégration, et la dernière équation deviendra
DU FIL FLEXIBLE. ii5
Nous ayons maintenant l'équation (lai) pour la détermina-
tion de la fonction i|/. Mais en faisant ^=x^ay a étant une nouvelle fonction de x inconnue^ on trouve que réquation(i2i) se change en
et comme cette dernière équation est la même que l'équation (ii4), il est clair que Ton peut prendre <j=ç( w^ï>ii)j d'où Ton
tire <j;=x'ç(v/ifc^a;).
Substituons cette valeur dans l'équation (lâi^) ; mettons, pour
abréger, 9 à la place de ^, et prenons l'intégrale du premier
membre entre les limites a et a» ; nous aurons, après les réductions,
Faisons d'abord a=0) et nous aurons seulement
ii6 SUR LE MOUVEMENT
mais en prenant l'autre limite «=/, et en supposant que k^ représente une racine quelconque de Téquation (ii5), on aura <p(v/>Çi)=o, ç(w'^)=oj par conséquent le second memibre de l'équation (i24) se réduira à zéro. Partant
L'équation (ia5) est vraie autant que k^ est différent de k/, mais en faisant k^=^k, on voit que le premier membre de l'équation (ia5) doit se réduire à 7; et l'on devra déterminer sa valeur par les méthodes connues.
