Soit 7W=v^^, et /i=w^,; l'équation (124) nous donnera

/^ ( ^^) ç ( ^Jix)x'dx=

Jl m' — n' J"

Différencions le numérateur et le dénominateur du second membre de cette dernière équation par rapport à m, et faisons m=n après les différencia lions j nous aurons

—\n<f"( V^J^ »/»— ç( »/^i*)9'( V^yfii»)— /I99"( y^J^i^) »/«] ;

I O/ZL j

Mais, lorsque co=/, on a <f(v^^)=o. Partant

Observons que

©( v^^ )= \ \ 5îBi i2^ COS. »^ioif^| ;

puis, en difTérenciant les deux membres de cette équation, et en faisant a?=/ après la difFérenciation, on trouvera, après avoir effectué les calculs et les réductions,

En substituant cette valeur dans l'équation (126) il viendra

£n rapprochant cette équation de la formule (ia5) on en conclut, qu'en multipliant les deux membres de Téquation (ii8)

n8 SDR LE MOUVEMENT

par la fonction ^='<p(^^>t.a7)e/ar, et en intégrant ensuite entre les limites o et /, tous les termes du second membre, à l'exception de celui qui est multiplié par ^ï,, disparaîtront; et que, par conséquent, l'on doit avoir

On trouvera de même

67. Les deux formules (128) et (1129) nous fournissent un moyen pour calculer successivement toutes les valeurs des coefficiens qui doivent entrer dans l'intégrale complète de l'équation Ci 112)*, et l'on pourra représenter cette intégrale par

( 1 3o). ..y =^- \in '.V-'i:/ [^^ \^T^)(XiS.t\^^,Jix~*dxif ( y/J^)

Ea différenciant cette dernière équation par rapport à t, on aura tout de suite

Pour faire usage des formules (i3o) et (i3i) on observera que le signe 2 se rapporte aux valeurs de v ; et qu'il faut donner à cet indice toutes les valeurs, en nombres entiers, depuis I jusqu'à l'infini. Les fonctions Y et V expriment les ordonnées et les vitesses d'un point quelconque du fil lorsque ^=0 ; et ces fonctions sont supposées tout-à-fait arbitraires. Les intégrales définies doivent être prises entre les limites indiquées o et l, étant / la longueur du fil. La fonction f ( v^x) exprime Tintégrale de l'équation (ii4)> et Ton doit prendre, d'après la formule (116),

Enfin i, est une racine de l'équation transcendante

tang. y^TôtJ

en prenant les racines *,, ^,, ^3, etc., d'après l'ordre de leur grandeur , en commençant par la plus petite de toutes.

Nous pourrions maintenant appliquer facilement nos formules (i3o) et (i3i) à divers cas particuliers, et juger si les

développemens de leurs seconds membres deviemient convergens, au quel cas on pourrait avoir une solution approchée en se bornant aux premières valeurs de l'indice v. Mais comme nous avons déjà fait plusieurs applications semblables, nous nous dispenserons d'en faire des nouvelles qui, du reste, après tout ce que nous avons dit dans les chapitres précédens, ne peuvent présenter aucune difficulté.

SECTION TROISIÈME

Intégration de P équation ( î o i)pour des valeurs quelconques de n.

68. Nous allons maintenant nous occuper de l'intégration de l'équation

qui se rapporte aux oscillations d'un fil flexible dont la densité variable est exprimée par l'équation dm^=har dx, étant dm la densité d'un élément quelconque du fil, et h une constante. Lorsque 72=0 le fil devient homogène et Ton retombe sur l'équation (82) que nous avons intégrée dans le chapitre deuxième. Nous avons examiné, dans les deux sections qui précèdent, les cas où 72=7 ^t ^=7; ^t ^ows avons vu que l'intégration pouvait s'achever rigoureusement et de manière à embrasser tous les états arbitraires du fil au commencement du mouvement. Actuellement ;

Soit fait, comme précédemment,

y=aXcos,iV/^+èXsin.ii/gyf;

et substituons dans Féquation (loi)j nous aurons

dX. X rf*X

^ ' dx n+idx^

Pour intégrer cette équation nous ferons usage d'une méthode que Lagrange a employée, le premier , dans le tome II des Mélanges de Turin.