L'équation intégrée par Lagrange est celle-ci

dx^ xdx '

mais si nous faisons, dans l'équation (i3ia), ^=j7 n? et si

nous considérons X comme une fonction de z, elle se changera dans la suivante

qui rentre facilement dans celle de Lagrange, et qui doit, par conséquent, être susceptible des mêmes transformations. Posons, pour abréger, 2/i-+-i==p, sin.zV^=5, et prenons

^ ds d's ' d^s

a, p, 7, e sont des fonctions inconnues de la variable z qu'il

s'agit de déterminer. Substituons, pour cela, cette valeur de X dans l'équation (i33), après avoir mis/> à la place de a«+i,

et nous obtiendrons

laa SUR LE MOUVEMENT

('pdcL . <f'a\ dz\ z dz zdz dz*J dz^\z dz zdz IPJ

d^s^m dy pdt d'% dz^^z dz zdz dz

Cette dernière équation aéra satisfaite en faisant

d'à pdoL d*& pd^ . da pa

dz* zdz ^dz* zdz dz z '

<f7 iirfjf Jp pp

* I * *■ n -I fi <*ti* "

et ces dernières équations nous fourniront les yakurs des fonctions a, p, «f, etc., propres à rendre l'expression de X, cidessus, une intégrale particulière de l'équation (i32).

Il n'est pas difficile de trouver maintenant qu'en prenant

les dernières équations différentielles seront satisfaites, et que par conséquent il sera toujours possible de calculer tous les termes de la valeur de X, ou de l'intégrale particulière de l'équation (iSa).

DU FIL FLEXIBLE. i25

70. Nous pouvons donc regarder les quantités a, p, 7, etc., comme déterminées à Paide des formules (i34)9 ^^ ^^ supposer, en conséquence, des fonctions connues dans la série qui exprime la valeur de X; et si l'on met sia.z^lb à la place de ^^ on verra qu'en faisant

(i35)...X=asin.zv/î+pit^cos.zv/f — ^k^sin.zv^ — tk*oos.z^+ etc.,

a, p, 7, 6, etc., ayant les valeurs données parles formules (i34)> 1 équation (i33j sera satisfaite.

Mais nous aurions pu aussi bien prendre ^=cos. ;s v^ ; et ^ alors nous aurions trouvé que

X=acos.zV^ — pit*sin.zv^ — 7^'cos.zW^iH-8^'sin.zv^+etc..

est aussi une intégrale particulière de l'équation (i33). Cependant, hors les cas ohp est négatif ou < i, comme cette dernière valeur de X devient infinie lorsque z=o; on ne peut prendre une telle valeur à cause que les ordonnées du fil doivent toujours être infiniment petites.

Nous substituerons donc seulement la valeur de X donnée par la formule (i35) et nous aurons

ia4 SUR LE MOUVEMENT

^=aa8in. zy'i 008. <W'gvt + Jasin.z^^itsin.fw^

— a t k^ COS. z^J: COS. ti^gi — btk*cos.z^ism.t^gJk + etc :

ou bien

y=-[ a {sin.(z+t\^g)i^'k'Sm.(z—t\^g)v^) + i ( oo8.(z— t \^g) \/l—coa.{z+t Vg) i/^]

— ft*' (8in.(z— / \^g) \^h-mï.{z+ty/g) \^l)^

'-bk'(co8.{z—t \/~g) Kï— co8.(z +< ^g)^) ] ^[— a^^(co8.(z +/ w^) »^ + C08,(Z— if •g) i^) -»-iF(8in.(z— i»/^ »/^— 8b.(z+< w^^) vie)]

etc

Maintenant il est visible que la quantité qui multiplie -, dans

DD FIL FÏ.EXIBLE. i25

cette dernière expression de y, est la dérivée première du

coefficient de - , et que celles qui multiplient les autres termes

^, -, etc., sont les dérivées seconde, troisième, etc., de la même 2 2 ' ^ . . a

quantité qui multiplie--

Faisons, pour abréger, «-*-i*^g=p^?z — <*^g'=— ^,etnous pourrons mettre la dernière valeur de y sous cette forme

y =-[a ( sin. u + sin. fv ) 4- & ( cos. w — cos. u )]

P r /dsm. u dsin. (p\ , /rfcos. <u dcos. u\l au ^ du dw / \ dw du J\

yV /ûPsin.w xfsin.rpx ,/ûPcos.«^ cPcos.wm

■^-À.<-d^-^'d;iryK-d;^--iûr)\

tV fcPsïn.u éPsin.«^\ ,/cPco8.«/ cPcos-iAl

etc.

71. Cette expression dey n'est encore qu'une intégrale particulière de l'équation (loi); mais si nous donnons successivement à l'indéterminée k toutes les valeurs qui peuvent rendre la fonction X nulle lorsque x=/, et si nous changeons continuellement les valeurs des constantes arbitraires a et b; la somme de toutes ces intégrales particulières sera aussi une intégrale de l'équation (loi). Alors la valeur de y contiendra une infinité de termes tels que«sin.i^+a'8in.^^'-Hrt"sin.i/"+etc.,

à l'infini ; et si nous remplaçons cette somme par une fonction arbitraire de u, que nous désignerons par <p(£/) ; que Ton dénote, ea outre, par if{u) la somme des termes hcos.u+h' cqs.iC -h6"cos.;/'+etc., à Finfini-, on verra que l'intégrale générale de l'équation (loi) sera exprimée par la fgrmule

y=?[ç(^/)+çM+ ^iw)-if{u)-\-^\ [ç {u)+<i{w)-\- ^\w)-\'{un

etc.

On peut simplifier cette dernière expression de y en substituant des nouvelles fonctions arbitraires x(£/), r(w) à la place de <f{u) — i( {a) , <p {w) 4- 4» {w) J et il viendra

-h 7[V'(a)+r(w;]-i-e[V''(tt)+ r(w)] -h etc.

Il est important d'observer que, pour faire usage de cette dernière valeur de y, il faudra substituer à la place des lettres 1^ et w les binômes z-^t^g et z — t^g^ et à la place des lettres a, p, 7, etc., leurs valeurs déterminées par les formules (i34)t

en se rappelant que nous avons fait p = ian-M; ^==77 ^x,

d'où z == a v/(7i+l")jc. Il est superflu d'ajouter que les accens désignent les dérivées successives des fonctions auxquelles ils sont unis , et que la détermination des fonctions X et f dépend de l'état initial du fil ou de la chaîne pesante.

72. Pour faire iine application de la formule (i36), commençons par supposer p= 2, ce qui donne n=-, ou bien l'équation différentielle (i 02). On trouve alors que Téquation (i33), est satisfaite en prenant X=-= — • ;d'oii Ton déduita=-

p=o, 7=0, e = o, etc. Partant Téquation (126) se réduira seulement à

où il ne reste plus qu'à déterminer les fonctions X et T.

Soient jK=/(^) ^* ^ = ^ (^) ^^^ valeurs initiales des ordonnées et des vitesses des différens points du fil ; on devra trouver

d'où l'on déduit

>( »^^)+f( w^)=a l'^^a:); é?X( »/5ar>-rfit ^"6^»)= p= Y{x)dx,

ou bien

6 /- >( y^^x)—([ y^x)=-^ jF{x) dx. Partant

y( v^ëivy= \^^f{a;)+ -^fF{x)da; ,r(v^6'x)= ^^xAx)—^Fix)dx.

Changeons x en x±^ ^ — ^, et nous trouverons

En substituant ces valeurs dans Fexpression de y, on pourra écrire F (z),/(z) au lieu ^^ F(J),yd),et Ton aura plus simplement

!-( V. ga^i w^yT( l/6i— Z l/^)

+/F( «^B^+f v^)djc—/F{ v'^x—t \^g) dx] ;

mais id Ton suppose y=f(^\/^x)y'^===i^F{y^) lorsque /=o,

en attribuant, d'ailleurs, des valeurs quelconques arbitraires aux fonctions / et F.

La valeur de y que nous avons trouvée à la fin de Fart. 6 1 coïnciderait facilement avec la formule (i37) en déterminant convenablement les fonctions arbitraires dans la première. Mais il faut avouer que ces sortes d'intégrales, exprimées par des fonctions arbitraires, quoique très-simples, et pouvant servir à la discussion des valeurs successives des ordonnées et des vitesses de chaque point, au moyen de constructions géométriques, sont loin de se prêter facilement aux calculs numériques ; et c'est pour cette raison que les intégrales que nous avons déduites, dans les différentes sections précédentes, de la sommation d'une infinité d'intégrales particulières, doivent être préférées, lorsqu'il s'agit de calculer les valeurs des fonctions dont la recherche constitue le problème qu'on s'est proposé.