CHAPITRE PREMIEB

DE LJl VIBRiiTION DES CORDES ÉLASTIQUES ET FLEXIBLES.

I. (Quoiqu'on puisse facilement déduire des formules générales de la dynamique , les équations différentielles du mouvement oscillatoire d'une corde élastique flexible , chargée en difEerens points d'un nombre quelconque de petits poids, nous donnerons cependant l'équation fondamentale de la théorie des cordes vibrantes, en nous appuyant seulement sur des considérations simples et élémentaires. Nous avons cru que cela devenait important dans un mémoire où il s'agit d'exposer clairement les principes d'une méthode générale d'intégrer les équations de ce genre. Mais, comme il est toujours utile de ramener les questions au plus petit nombre possible de principes, nous déduirons la même équation et les autres, dont nous nous servirons , des formules qui dérivent immédiatement du principe des vitesses virtuelles, ou, plus simplement encore, des principes les plus connus de la dynamique.

iu SUR L£ MOUVEMENT

2. Supposons une corde d'une longueur AB=:/^ élastique, sans masse, Dêxtble, ef fî^emienC attachée par ses deux bouts A et B. Que Ton imagine cette corde j' qui est d'abord tendue en ligne droite par une force constante, transformée en un polygone plan dont les angles soient tous trës-peu éloignés de la droite AB. Que Ton place, au sommet de chaque angle mobile du polygone, une masse A m très-petite et la même popr tous les angles dont le nombre seraz=/i — i. Que du sommet quel*conque mi d'un angle du polygone on abaisse une perpendiculaire nupi sur la droite AB; et soit fait Api=Xiymipi=yi; il est clair que

A/?x, Ap2, A/73.. ... Api— I, Apiy kpi^i kpn--i

seront les abscisses des sommets des angles mobiles du poly* gone , et que leurs ordonnées seront successivement

Faisons maintenant, pour plus de simplicité, Xi — Xi^ ^==L^x; et supposons que le polygone soit tel que ^x soit une quantité

constante , et par conséquent égale à -.

Le. polygone étant disposé de la manière dont nous venons de parler , supposons qu'on imprime à chaque masse A m une vitesse initiale quelconque dans, le sens des ordonnées. Il s'agit de déterminer toutes les circonstances du mouvement de la corde ainsi chajcgée de .tous ces petits poids, et animée, dans tous ces points ) de mouvemena iaatan1;anés arbitraires. Quoique L'analyse que nous allons entreprendre ait, pour objet le seul cas d'un polygone plan, ou verra, dans la suite, qu'elle s'applique

DO FIL FLEXIBLE. n

directement au cas d'un polygone gauche, pourvu qu'alors on considère séparément les mouvemens des projections orthogonales de chaque corps A m.

3. toutes les circonstances précédentes étant les mêmes , mais seulement si le nombre des masses A/ti de vient infini , et si j^U i/U^ chaque masse est remplacée par l'élément d'une corde élastique ,

'iJ^ d'une épaisseur finie, il est clair que notre système se chan*

géra dans une espèce de monocorde. Ainsi, le s^\x\ passage du ' fini à l'infini suffira pour nous faire connaître les formules nécessaires pour la théorie des vibrations des cordes de musique. D'ailleurs, ces passages' étant d'un usage fréquent dans l'application des mathématiques à la physique, nous en établirons les principes , et nous en ferons l'application au problème actuel. Mais, pour mieux éclairer notre marche, nous traiterons ensuite le même problème directement, en partant de l'équation différentielle même. L'accord des résultats et leur analogie avec le fameux problème de Poscillation d'une, chaîne pesante , seront très-propres à jeter un nouveau jour sur des questions aussi délicates et dont la solution tient aux derniers progrès de Panalyse mathématique. '

SECTION PREMIÈHE.

uirudyse du motwemànt de vibration d^an» corde élastique chargée d^un nombre fini de petits poids,

4 Considérons, après un temps quelconque t, trois masses consécutives A m placées aux sommets mi-.,, m,-, mi + i du poly-, gone formé par la corde vibrante en cet instant du mouvement.

Soit Fi la force motrice qui anime le corps A m placé en mi; et 8,' Tangle du polygone dont nu est le sommet^ il est clair qu'en nommant P le poids qui tend la corde AB, on aura F,==Psîn.e,-j car on sait que la force élastique est proportion, nelle au sinus de l'angle formé par deux élémens consécutifs de la substance. Donc, si l'on nomme ^ le coefficient de la gravité, on aura la force accélératrice de la masse A m exprimée par

^ — sin. cî. Mais, d'un autre côté , on sait que cette force est expri-

mée par — ^; par conséquent, le mouvement du corps placé en m\ sera déterminé par l'équation

(0---j^+A sm.e,=o.

^ ^ al* Ai»

On aura ensuite autant d'équations , semblables à la précé* dente, qu'il y aura de corps mobiles, et qui serviront à déterminer les mouvemens de chacun d'eux. Il faut maintenant exprimer sin. cî en fonction des coordonnées des corps mo* biles. Pour cela observons que , puisque nous avons fait ei = angl. mi ^tmimin- ij si nous faisons, pour plus de simplicité, ti=:ajïglL.mi^imipiyt'i=pimimi+ t^ nous aurons d'abord ei=eV-f- s";, et en outre tang. «'.=— — ^T. — » *^^g- «"' =

Ax

— ; d'où nous déduirons successivement

HX „ J7~J^i+.i

DU FIL FLEXIBLE. i5

Soit fait, en général , d'après la notation des différences, Ay,= yr^ 1 — .Tr, et l'on obtiendra aisément

,\ ' /' «V • Ax(Arf-i — ^rO

(a)....8in.(6.-i- « .O^sin. e.= ^^^. ^^ ^/.Vax' + Ar'. Z

D'après Thypothèse du mouvement de la corde, on aura Ay, infiniment petit par rapport à Ax, et Ton pourra négliger , dans le second membre de l'équation ci-dessus, les carrés Ay'i,

Aj*£x; ainsi Ton aura plus simplement sin.e,= "^

Substituons cette valeur dans l'équation (i) et nous aurons

Posons c== ^ , et développons le second membre de l'équation (3), en donnant à l'indice i tontes ses valeurs successives ; nous obtiendrons le système d'équations

-^=c(y, —y. H- ay.)

■^^c(y.H-x— ay.-+-^.0

ayant soin d'observer que , par la nature du système, on doit toujours avoir y o = o, y « = o.