X. =:aAXi — Xa:=2ti^X

X3=:aAX.— X.==:(a'A' — i)X.

X4==aAX3— X. = (2'A' — a.aA)X,

X5 = aAX,— X3 = (a*A*— 3.a'A- + i)X.

, X^=±saÂX,— X4=(a'A^— 4.a'A' + 3.aA)X,

Si Pbn poussait plus loin ces développemens, on ne tarderait* pas à être assuré que les seconds membres des valeur^ successives de la fonction Xi , suivent la loi du développement des sinus multiples d'un arc quelconque dont X z serait le sinus et h le cosinus. Nommons a cet arc inconnu , et nous aurons par conséquent , h = cos.a, Xi = sin. a, Xa = sin^aa,.. X| = sin./a.

Il est même très-facile de s'assurer que la fonction X,=sîn.ia satisfait à Péquation (7), quel que soit a, pourvu que Ton suppose A=:C0S.a.

6. Nous voilà doncàrrivés à la connaissbnée de cette fonction X/ qui entre d^Qs la valeur deyr? mais nous devons encore rem^

i6 SUR LE MOUVEMENT

plir les deux conditions Xo=:oetX« = o,ce qui nous donnera , pour déterminer a, la condition sin.7ia=o. U j aura donc un nombre n — i de valeurs différentes pour a j et ces valeurs nous

les aurons en posant a= — ,7c dénotant la moitié de la circonférence et V un nombre entier quelconque moindre que n. Mais

nous avons posé âA = a } par conséquent nous obtien-

drons ^=2c(i — cos.a)=4c-8in.27a. On pourra donc prendre pour \/k un nombre quelconque compris dans la formule

(VW \ — sin. — j i/c, en donnant à v toutes Içs valeurs, en nombres

entiers, depuis i jusqu'à (/i — i) inclusivement.