Concluons de là que y si on prend pour yi la fonction
a.sin.i. — cos. Ta* v^csin. — ) , aétantuneconstantearbitraireet v
un nombre entier compris entre i et /i — i , l'équation (3) sera satisfaite ; et que, par conséquent, cette fonction représente une valeur particulière de l'intégrale de la même équation (3). Mais qu'est-ce qui constitue une intégrale complété d'une équation différentielle? C'est la propriété que doit avoir cette intégrale de satisfaire non-seulement à l'équation différentielle, mais encore aux conditions données par des équations qui se rapportent à certains points ou à des époques déterminées. Ainsi nous ne pourrons regarder la valeur de yi comme complète que lorsqu'elle deviendra zéro , pour des valeurs quelconques du temps, si f=o ou bien z = 7i; en outre, si nous désignons par Y,- l'ordonnée du polygone initial , et par V,- la vitesse initiale du corps A m placé en nu , on devra avoir, lorsque
t=:0yyi=2Yiy et -4^ ou wi=Vi. Mais il est aisé de voir que la
Dû FIL FLEXIBLE. 17
valeur de y,- donnée ci-dessus fournît pour u,- une quantité nulle, lorsque if=t?; et, par conséquent, cette valeur exprime seulement une intégrale particulière. Observons maintenant que, si nous avions supposé d'abord yi=iX»sin.<»/^, nous aurions trouvé, pour déterminer X; et v^ky les mêmes équations
que ci-dessus j et qu'ainsi bsin.i—sin.fâtv^csin. — ^ exprimera une autre intégrale particulière de Téquation (3).
8. Ajoutons Tune à Fautre les deux valeurs particulières de jTi trouvées dans l'article précédent , et nous aurons une nouvelle intégrale exprimée par la formule suivante
(o)..^... Yi = ût sm. i — COS. f a^ v^csin. — )
sm. i — sm. ( %t i/csm. — ) n V . 271/
dans laquelle a ^Xh sont des constantes arbitraires , v un nom* bre entier quelconque </i, et c = ^^^--r—- Si nous différencions unç fois l'équation (8j par rapport à î, nous trouverons
(q)...ui = — %a v^csm. — sm.z — sm. ( ai v^csm. — ) + 26w^csm. — sm.ï — cos.i aiv^csm. — )•
La VTaleur de y, exprimée par la formule (8) satisfait à Féquatïon différentielle (3) , et donne pour Y, et V,- des valeurs nul*-
i8 SUR LE MOUVEMENT
les pour les indicea i=s:Q et i=n\ mais lorsqu'on y fait t:=io
on trouva , ^ . .vw
(lo) yiz=:as\n.i —
. . 7 . • V7C . .Vie
(il) rii=rafr v/csm. — sin.i—'
g. Supposons maintenant que la figure initiale soit donnée par cette équation Y,==A ain. i— , et que la vitesse soit exprimée/
.vie
.vie
dans le commencemeut du mouvement, par Vi=Bsin./ — , A
et B étant des constantes quelconques et v un nombre entier quelconque </2. Nous aurons, en comparant ces valeurs à celles de jTi et m données par les équations (io)et (ii),^=A,J =
--ry ; et en substituant les valeurs des constantes aetb
dans les formules (8) et (§) , ou aura les intégrales complètes (i2)....7,== A.sin.i— cos, ^ 2t \/c8ia.—j
-I — -7= SAn.z — sm. ( fÀt v^csin. — )
ftjt
/On a • • ^''f • •^''P • / ^ y • Vie \
(io)..«oi=?-~aAi/c8m. — ain.^ — sin. ( a/i/csin. — )
^ an n \ 2n/
+ B^in.i— cos.r aiv^csin.— } ;
et ces deux formules nous feront connaître toutes les circonstances du mouvement de la corde. Elles sont, comme on voit, trës-simples et élégantes ; mais elles supposent un certain état initial de la corde, qui ne se rencontre pas toujours pu nature. On voit aussi qu'il peut j avoir un nombre n — • i de divers états primordiaux qui fourniront tous le» mêmes formules ( i â )
et (i3), puisque le nombre v peut recevoir toutes les valeurs entières entre o et/2. Dans tous les autres cas, les fornmles (8) et (9) ne représenteront plus que des intégrales particulières. Mais si on donne à v successivement toutes ses valeurs , et si on multiplie successivement par des constantes a^ ^b^, a», b^, ^ 3 ^ ft 3 , etc. , les diverses valeurs particulières que les formules (8) et (9) peuvent fournir , il viendra pour ^i une somme d'intégrales particulières ainsi exprimée et composée de n — i termes;
(i4)...yi==ai sin- i — COS. ( ai 1/ csin.— ^ J -H 6. sin.i — sm. i 2Lt\/c8m. — J -h a^ sin. i — COS. ( a/ v'c sm. — )
n \ un J
+ 0» sm. i — sm.f at\/cam. — )
n \ 2ny
