as sm. i COS. [ a/ »/c sm. — j
+ b3 8m.i — sm.( ntv^csuL — ]
n \ %nj
H- a, sm. i •*- COS. ( ai i/c sm. — j
H- fr,sm. e — sm. ( ai v^csm. — ^ )
n \ ixn J
+ a«— ism.« cos.i ai \/c sm. 1
/î V un J
+ 6ii~.rSm.z sm. { ai«/csm. V
n . \ un J
En nous servant du signe soînmatoireS, nous pourrons écrire plus simplement
( 1 5)...^,- =2 \ a, sin. i— cos. f^ti/c sin. -— J
o.sm.i — sm,( a/ï/c sm. — )
n \ 2nyj
la somme étant prise entre les limites qui correspondent à
v=:0 et v:=:7î.
Différencions Téquatîon (i5) par rapport à la variable t, et il viendra, pour déterminer ui, la formule
(l6)....u/=2 I — ^ari^c^n. sin.i— sin.Tâ^l/^csin. — ^
+ afc,v/csin. — sin.i— cos.faZ tocsin.— ^1
10. Toute la difficulté se réduit donc à la détermination des constantes ax ^ht , a^ yh^, etc., de manière que les formules (i5) et (i6) donnent pour yi et u; les valeurs qui conviennent à l'état initial et arbitraire de la corde. Pour ne pas confondre les indices qui se rapportent à une époque quelconque et que nous avons nommés iy avec les indices qui se rapportent au commencement du mouvement , nous désignerons ces derniers par la lettre («.. D'après cette convention , nous devons avoir
(i7)....Y^=2 arsin.ji.— ,
(i8)...V^=2 air i/csin.— sin. ja— •
DU FIL FLEXIBLE. ai
Multiplions les deux membres de réqpuation (17) par une fonction inconnue z^ de Findice |a , et prenons^en l'intégrale totale de chaque membre ^ nous aurons
/a:sa v=n f«=:n
(19)... S Y^z^= 2 a, S z^ sin, (jl —
Observons que, si nous dénotons par X^ la fonction sin.[i — ,
nous aurons, en vertu de Téquation (5), X^= — -j^^* X^— xjet qu'ainsi Ton pourra faire
Je • V ir Je
(20)... Sz^sin. (I. — = Sz^X^=:Sz /4 A»X^— I.
Au moyen de l'intégration par parties, on trouvera facilement
(2i)....Sz^A*X^-.i= — (z^+ iX^ — az^X^+z^X^— i)
-hSX^+iA'Z;.;
mais il est aisé de voir qu'on doit trouver aussi
S X^^, A' Z^ = s X^A^Z^-i + X„A" Zn^x — XoA»Z-i;
et, à cause que la fonction X^ est telle que Xo=o, Xa = o, on aura simplement
(22)... S X^+iA*Z^= SvX^A'Z^— o
aa SUR LE MOUVEMENT
Substitacms cette dernière valeur dans l'équation (21), et noua obtiendrons
(ii3)... S z^ A»X^— i=(z^+iX^ — az^X^ + z^X;»— i)
— (5i/*-i-xX^ — az^X^-f-ZyitX^— i) + SX^A'z^^x;
ce qui est clair , en observant que les deux quantités renfermées entre les parenthèses se rapportent aux deux limites de l'intégration pour lesquelles on doit avoir ji = o et 'pi = n. 'kais , à cause de Xos=o ^ Xj>=o, on aura simplement
si nous déterminons maintenant la fonction z^, de manière
k' qu'on ait A'z^— x = z,*, l'équation (20), par la substitu*
tion de la valeur donnée par l'équation (24)9 prendra la forme suivante
Nousavonstrouvéàrart. 6yfe^4<^siD' ' — ; faisons it'=^ 4 c ain. • —,
v' étant un nombre entier quelconque </i et différent de v. Il est clair qu'alors la fonction z,^ sera donnée par la même équa-
tion que la fonction X^, €* qu'ainsi on aura z^u = sin. j* -^ ;
d'où l'on tire Zo = o Zn=^o. En faisant les substitutions convenables dans l'équation (26) , on trouvera
(,. . v'ic , . vir\'*T^" . v'ir . vie 4sin.* 4»n."-*- ) S sin. u — x8in.tt-*=:^o;
partant S s\xx.\l — sin. \l — = autant que v' sera difTérent de v.
Mais en posant v' = v , le premier membre de cette dernière équation deviendrait = 7. On pourrait facilement déterminer apriori
la véritable valeur de S sin., ^ — , et Ton trouverait, par les
fiSSO
principes du calcul inverse des différences , que cette somme est égale à - ; maïs voici un moyen plus général de parvenir à
^ n cette valeur.
II. Reprenoiis l'équation (â5) dans laquelle nous mettrons les valeurs générales des coefficîens ^' et ky et de la fonction z^ dans le second membre seulement Nous aurons
4 ( sin. ' — — sin. *j— ^ Sz^X^=^ X^— 1 siû. ^l —J
fj T^ O
^X^— tSÎn.p.— V
Différencions les deux membres de cette équation par rapport à v' et faisons v'=v après la difiGérenciatioD; et nous trouverons
4 sin. — COS. — Sz^X ^= (^{tX^— i cos.{a — j — f (aX^— i cos. ja — \
j/» SUR LE MOUVEMENT
ou hUm AhIu." ca)H, — SZmX^-= — nX«— icos.vx , en faisant l(iM ri'idurîtionM diirm le Ac^cond membre. Mais il est facile de yoir
-, .VIT ^ /. VIP VIT . vie
iiui* A«-.| '"-Mn.— cos.vir, et que 4wn. — cos.— =asm. — ;
' n ^ ^ 2n an n^
par coriMi^uiiit , on trouvera Sz ^.X^ = - cos/ v « = -à cause que V (lAt néccHmiiremcnt un nombre entier.
I u. JCn n'mniftsonl les résultats auxquels nous sommes par^ vcnuH dans les deux articles précédens, nous pouvons affirmer
(|uo lu fonction S sin. ia — sin.iA — est toujours égale à zéro,
limt ({uo v'otv sont des nombres entiers quelconques » moindres i(ut) /i| et int^gaux} mais si v'r=:v, alors cette fonction devient
. *\ Ces propriétés des fonctions trigonométriques sont connues dt^puis long«-tomps, et elles ont été démontrées par les plus t rl^hrt^^ géomi'tros. Mais la manière par laquelle nous venons tlo les dômoutriT, est triVgénérale et s*applique à une infinité dautrt>s fonctions» autres que les trigonométriques; fonctions K\\\\ ont répondant beaucoup d'analogie avec ces ligues, mais tjwi vHont délinies \wt dos équations plus compliquées que l\Hp\aiii>n (5) « la seule qui nous ait servi aux démonstrations que nous vouons de donner*
IVapr^ otN^ pr\^j>rîolt>s> il est clair que si on développait k soiwud mombrt do Féipation (19^^^ en donnant successivement À ^ Unxtt^ v^^ valeurs ^ et en prenant pour z^. la fonction
^n. ^ — ^ tous 1<)$ termes ^ à rcxcepticoi do celui qui est multipliépar
DU FIL FLEXIBLE. a5
a r, disparaîtraient, et qtiecelui-^i se réduirait à Ar x — Far conséquent Féquation (19) nous fournira la fonnule
ido) ar'=^- S Ym sin.LL —
qui servira à déterminer toutes les constantes a,, a^, a^^ etc., en faisant successiTcment r= i, 2,3, etc. En répétant les mêmes raisonnemens on parviendra à la formule
(^7)- ir= \ ,/ s Vsin.t.9^
an
qui nous fournira les valeura de» constantes J,, ô^, 63, etc.
i3. Substituons dans Féquation (i5) les valeurs de ^, et b, que nous donnent les formules (26) et (27), et supprimons pour plus de simplicité les indices des signes sommatoires S et 2, en observant toutefois que le signe S indique une intégrale qui s'étend à toute la longueur de la corde, tandis que 2 exprime la somme des termes de la suite de toutes les intégrales particulières qui satisfont à Téquation (3) , et qui répondent aux différentes valeurs que reçoit le nombre entier v depuis I jusqu'à n — i inclusivement. Nous aurons ainsi Tîntégrale complète de Téquation (3) exprimée par la formule
(a8)...jr«'==2l - sm. e — cos.f ai i/csm. — JSY^sm.f^ —
sin.î-
-—y sm f Ht v^csin — ) S VMsma —
Différencions cette dernière équation par rapport à la seule variable t, et nous obtiendrons sur le champ
(2Qju/=2 sin, — sin,* — sm. ( aii/csin. — )SY„sm.M.—
n n \ an/ ^ ^ n j
Les formules (^8) et (âp) renferment la solution complète du problème qui nous a conduit à l'équation différentielle (3). Elles font connaître pour une valeur quelconque du temps t, les valeurs de Tordonnée y, à laquelle répond une des masses A/rt , dont la corde est chargée , et elles donnent Texpression de la vitesse qui anin^e cette masse après le temps t écoulé depuis le commencement du mouvement. En changeant simplement findice i on obtiendrait les équations qui se rapportent aux autres corps du système. Si Ton devait faire l'application des formules précédentes a des cas particuliers, voici Tordre des opérations à suivre. Ce que nous allons dire se rapporte à la formule (28)^ mais il sera très-facile de l'étendre à la formule {2Q)i et Ton aura ensuite, par là, une idée plus nette des mémea formules.
i3. Supposons , pour fixer les idées , que le nombre des corps mobiles attachés à la corde, sôit égal à 5, et que l'on veuille connaître le mouvement du corps du milieu , savoir , de celui qui répond à l'indice i = 3, On fera d'abord n=6 dans la formule (a8) , et l'on donnera ensuite à v succès-
siyement les valeurs i , a , 3 , 4 > 5 ; ce qui non» faanàteL poùt yi la formule soiTante
(3û).../,==.7 sin. i^cos. (ai j/csin.-^') SY^sin.jt-^
•Iir
sin. i
ëh-^^^- (^' '^"^•î^) s^-^i^-J^ ¥
I ="'• * 6 . f ^ . • ans .__ . air
sm.
f sin.e^co5.(^ia/v/csin. — JSY^sin.fji-^
sm.
ja
+ jSiD.ï-^cos.f 2« v/csin. — \ SY^8in.(jL-^
sin.
Cette formule est générale pour tous les cinq corps mobileset 81 on désire de connaître le moarement de celai du milieu il faut attribuer à l'indice i sa valeur = 3. Mais il restera tou-
jours à déterminer les sommes indiquées par la caractéristique S. En observant que Y^ et V^ désignent Pordonnée et la vitesse du corps A m, qui répond à Tindice ji, lorsque / = o, et que ces quantités sont supposées connues , il ne sera pas difficile de calculer les termes précédés du signe sommatoire S. Pour cela on devra prendra
(3i),..SY^sm.^=Y.sm. -4-4- Y.sm. -^ -hYjSm.-^
-- . An --. . oit
+ Y 4 sm* -g- -h Y 5 sm. -g SY;,8m.-g-= Y. sm. -ç + Y . sm.-^g — h Y, sm. -^
-f. Y4 sxn. -=-j* — i-YsSm.— ^
^— . 3ijlw *r • 3ît -y . 2.3ir ^ . 3.3»
SY^8m.^=Y. sm.-ç + Y. sm, -^4- Yasm. -g^
-- . &.3n *r • 5.3 TT
+ Y 4 sm. -g- 4- Ys sm. -^
SY^sm.-î^=Y.sm.^4-Y.sm.-^g — nYjSm.-^
- . 4*4^ V • 5.4îr
Y ^ sm. ^^ 4- Y3 sm. -g-
SY^8m.-^=Y,8m. g 4-Y.sm.-^g — j-Yasm. -g-
♦ sm.^î^g — hY,sm.-g--
En changeant Y en V, on aura les autres termes sommes qui entrent dans la formule (3o).
Faisons maintenant , pour plus de simplicité , a , = sin. ^
a. =z= sin.^, a3 = sin. -^ , a 4 = sin. ^ , a , =:8in. -g^;ks nombres a
seront tous connus; et puisque tous les Y aussi bien que les V sont donnés 9 on verra facilement que tous les premiers membres des équations (3i) seront des nombres connus, et très-faciles à trouver. En effet , il viendra
(32)... S y ^Sin, J^ = a. Y, + a.Y. + a, Y, + a, Y, + a, Y, SY^sin.^=a.Y. +a,Y.-|-0Y,--a.Y, — «,Y, SY^sin. -^=a3 Y, + o Y, — «3 Y, + o Y4 + a3Y5 SY>n.:ig^=a,Y.-a,Y.+ oY3 + «,Y,-a.Y,
SY^sin.-Ç-=a5 Y, — a^ Y, -ha, Y3 — a, Y^ 4- a. Y,.
1 4. Nous pouvons conséquemment nommer A , , A> , A 3 , A4 , A^ les premiers membres des équations (3â), et regarder ces quantités comme des nombres complètement déterminés; et si nous changeons les Y en Y , nous obtiendrons les autres termes, que nous désignerons plus simplement par Bt , Ba , Bs ,
If o fr mit
B et B5. Soit fait sin. — = S, , sin. — = 3, , sin. — = 83, etc. ; et mettons le tiombre 3 à la place de l'indice i dans Féquation (3o).
So SUR LE MOUVEMENT
Après les rédactions convenables, cette formule deviendra
(33)...7.=3^p.cos.(a«p. »/c)4.^|^8in.(2Zp. »/c) — :^p.co8.(a«p, »/c)— g^^*sin.(a(p, »/c)
+:^p.co8.(a«p, «^c) + ^|^8in.(aïp, »/c);
mais si on observe (jue a4 = «, , as =a. , a, = i ,et que, par conséquent , on aura
(34)A. =«.(¥.+ Y,) + «.(¥.-<- YO + Y„A, =Y. + Y, —Y,, A,=a. (Y. + Y5)— a.(Y, +YO + Y3
B, = «.(V.+V,)-«.(V.+V0-HV,;
en outre il est clair que p. = 1 j on pourrra donc mettre la for- , mule (33) sous la forme suivante
(35)...^,=i(«.(Y.+Y,)-t^«.(Y. + YOH-YOcos.a<p. i/c ^^^__(,c. (V.-+-V,)+«.(V.-i-V*)4.V,)sin.a<p. »/c. i(Y.+Y5'-Y3)cos.a«p, \^c
— ^ / . (V. +V,— V,)sin.a«p, v^c
+ i(,,(Y.+Y,)— a,(Y.+Y4)+Y,)co8.aiP5»/c
+^^L(«.(V.+V0-«.(V.:+-Vj+V08in.aïp.»/c.
DU FIL FLEXIBLE* 5x
De cette formule on déduira sans peine , par la diflerenciation y la vitesse
(36)...u, =-.i^i^(«.(Y.+Y0+«,(Y.+Y0-HY3)sin.2ip. v/c
+ T(««(V.+V,)+a.(V,+V4)+V3)cos.a<p. v^c +.2l^(Y.+Y5— Ys)sin.2<P3i^c
— i(V.+V,— V,)co8.a«p,Vc 2£^(a.(Y.+Y5)— a,(Y.+YJ+Y3)sin.2«PsV/c
i6. Les deux dernières formules nous représentent toutes les circonstances du mouvement du petit poids Am placé au milieu de la corde, lorsque celle-ci est chargée de cinq poids égaux placés à des distances égales sur sa longueur ; et il nous aurait été trës-facile de trouver les équations qui conviennent aux autres petites masses. Les formules (35) et (36) ne seront tout-à*fait réductibles en nombres que lorsqu'on aura assigné des valeurs quelconques à toutes les quantités connues. Alors il ne restera plus^ dans les formules, d'autres indéterminées que la seule variable ty laquelle devra recevoir toutes les va*'' leurs possibles , depuis o jusqu'à une valeur aussi grande que l'on voudra. Mais pour particulariser encore davantage les der* nières formules» supposons que la. figure initiale de k corde soit une droite ÂB; et que l'on ait imprimé une vitesse quelconque au seul corps place au milieu de la droite* Il est clair qu'alors toutes les quantités Y seront nulles, et que la seule
vitesse V3 aura une valeur différente de zéro. En faisant ces substitutions dans les formules (35) et (36) , nous aurons
(38)...U3=-Y" cos.a^p, v/c + cos.2*p,i/c + cos.a<p5 v/c .
Ces derniers résultats sont trop simples pour que nous nous y arrêtions un seul moment ; c'est pour cela que nous allons entreprendre de ramener les formules générales (28) et (29), qui se rapportent à un nombre déterminé n — i de corps mobiles, à celles qui doiveut représenter la mouvement d'une corde élastique dont l'épaisseur est finie et donnée; ce sera l'objet de la section suivante,
SECTION DEUXIÈME, Passage du nombre fini de corps mobiles à un nombre infini.
17. Lorsque les anciens avaient à comparer des figures curvilignes à des figures rectilignes , ils commençaient par suppo* ser la figure curviligne transformée en un polygone d'un nom** bre déterminé de côtés; ensuite, le nombre des côtés augmentant indéfiniment, et les polygones successifs s'approchant de plus en plus de la figure curviligne , ils cherchaient à déterminer la limite des valeurs vers laquelle ces polygones tendaient ; et ils prouvaient enfin que cette limite exprimait réellement la valeur qui convenait à la courbe proposée. Oette marche était pénible et extrêmement laborieuse ; cependant , c'est à elle que
nous devons les plus beaux résultats auxquels le génie d'Archimède est arrivé. Après l'invention de l'analyse infinitésimale, on a eu des moyens pour résoudre directement les questions qui exigeaient , autrefois , la méthode ^exhausdon ; et l'on peut presque dire, abstraction faite du perfectionnement du langage algébrique, que c'est en cela que consiste l'immense avantage de la géométrie moderne sur la géométrie des anciens. Mon but ne peut être celui de soutenir une proposition admise depuis long- temps par tous les géomètres ; mais j'ai du rappeler* les principes précédens pour faire remarquer que, peutêtre, on a trop négligé, de nos jours, la méthode des premiers géomètres. En effet, il se présente souvent des questions qu'il serait très-difficile d'attaquer directement , dans la supposition d'un nonabre infini de certaines données ; et alors on doit commencer par étudier le problème, en limitant ce nombre, sauf à passer ensuite au cas où le nombre devient infini. Ceci est absolument analogue à ce que les anciens pratiquaient; mais, à cause du progrès de l'analyse , et grâce aux algorithmes que l'on a introduits dans cette science, illious est bien plus facile d'effectuer ces passages. On en aura un exemple dans ce qui suit.
i8. Supposons que le nombre n devienne infini dans la formule (28); il s'agit de trouver ce que le second membre de cette équation va devenir dans cette hypothèse. Pour cela , observons d'abord qu'ayant en général n^x==:l, on auça, lorsque n est infini , n = -j-- Mais en nommant M la somme de
toutes les masses A m supposées égales , on a , en général , M=(/i — i)A/72; et lorsque n devient infini , on peut écrire
M j, , ,, ^. M l ^ . - Mdx «,
^~dm' ^^^^^ dm~dx^ ensmte dm=: — ^- Nous
(tvuim \n>t>^.lt\*art. /^fC r -.-^ — ;ct par conééqaent, lorsque n est
K(iiMoriMy|KM]rAim|>li(icf^ V ^^ = i/'a , et il viendra i/^c:= -t-^
' ^ï^a^tu trustant . à la piace àe^r* Soit maintoiant ;i? l\
rih^o & ln((iicll(! rd|)on(], oprèa un temps t, la masse dm corrrMpoiuhiiiU) i^ I^indice i, il est clair que Ton aura l: x :: mi
T 1"'^ ^^^ ^^ '*^^'^ cli'^^igne la même abscisse par X lorsque < • o I on (lura encore / : X :: /i : |a= -j-= j-
If). Kn récapitulant les diverses formules auxquelles nous mtuunoA parvenus dans Tarticle précédent, nous pourrons les rt^unir comme il suit:
f\>miM/f*.v i/ui 4i0n't^nt à établir le passage de nfiid d iï=:cd.
^ iudiquo U^ iXH^nicicnl de la gravité î P le poids qui tend la \xxihW; m kl lu^N^se do toute la corde; {x,y) les coordonnées duu jH^iut quvKxmque dtt la corde, après un temps i; (X,Y) Uvi \NHU\lvMUU\^ d\in point quelconque de la corde , lorsque
Cela posé, noas dllons appliquer ces formules à la transformation des termes qui se trouvent sous le signe S, dans la formule (28). On trouvera sans peine
i s V^ sin. ^ î^=:iyV rf* 8in. V (^) ,
en observant que les intégrations doivent s'étendre à toute la longueur de la corde.
De plus , à cause de n = 00 , on pourra faire sin. — = — ; et Ton aura ensuite
^ ^ . vTT /îr^\ V . .Vît . /w^\
2k t i/csm. — =v( yj i/a, sui.e — = sm,v(-7-J ,
Substituons maintenant dans les formules (â8) et (29) les valeurs que nous venons de trouver , et nous aurons , pour le mouvement d'une corde élastique,
(4o)...y = 1 2 [sin. v (jj^ cos. v Çj \/aS jYdx sin.v (^)
sin. V f ^) COS. V ^^ i/'a Vvrfjcsio.v r-r-jl'
Pour faire usage de ces formules on développera les termes qui se trouvent sous le signe sommatoire 2 en donnant à v toutes les valeurs , en nombres entiers , depuis o jusqu'à Tinfini. On voit que les séries qui résulteraient du développement des valeurs de y et de o ne sont point convergentes, en général ; mais dans les applications les plus importantes , les mêmes formules ci-dessus le deviennent toujours \ et dans les autres cas il sera toujours facile de transformer les formules de manière à les rendre convergentes. D'ailleurs nous reviendrons sur ce même sujet dans la section suivante. Nous nous bornerons donc à une seule application des formules (4o) et (4i); ce qui servira du reste à faire mieux comprendre leur composition.
20. Considérons le cas d'une corde, tendue en ligne droite, et qui reçoit une impulsion dans une partie très-petite de sa longueur , c'est-à-dire qui est animée dans tous les points compris entre les abscisses a et p d'une vitesse constante €t égale à 7. Nous aurons alors Y=o, et V='y entre les limites a et p, tandis que pour tous les autres points on aura aussi V=o; Il résulte donc de là que
et queyVrf«8in.v(îy)=Wk«8in,v(^) ; par consecpient si
l'on achève l'intégration on trouvera
ou bien/v^.,in.. (!!5)=£^'ai„..î(£±.«)dn.VX^).
Substituons dans les dernières formules et nous aurons ,
8în. V (~) 8in. V Q' i/a Y
■ M3)...»=4riisio.if(i±;),i„.jf(!^),
8in. V (^-j-J C08. V [-j- v^ay
On voit maintenant , à la simple inspection de ces formules que la série des termes donnés par le développement, doit être toujours convergente; et si la quantité p~« est très-petite , il suffira de tenir compte des premiers termes des âéries. U serait très-facile d'expliquer , à l'aide des formules (4») et (43) , ce que les physiciens nomment, d'après Rameau, la résonnance des corps sonores, et de faire voir que le célèbre Lagrange, en combattant la théorie de Daniel Bernouilli, s'était
trompé en disant que , dans Thypothèse d'un corps continu , les termes de la série ne subsistaient plus. Mais cela nous entraînerait trop loin et sortirait du but que nous nous sommes proposé en écrivant ce Mémoire. Mais pour faire mieux apprécier les principes de la méthode que nous ayons employée , nous allons résoudre directement le problème des vibrations d'une corde élastique.
SECTION TROISIÈME
Analyse du mouvement (Tune corde élastique tendue.
â I . £n conservant toutes les dénominations dont nous avons fait usage jusqu'à présent, et en opérant sur l'équation (3) pour passer du fini à l'infini , on trouvera facilement que l'équation différentielle du mouvement vibratoire d'une corde , sera
Pour intégrer cette équation nous supposerons d abord y=:Asin./?«?cos.ç'f + Bsin./>xsin.y<;
A , B , étant deux constantes arbitraires , on trouvera , par la substitution dans l'équation (44) > q^^ k» indéterminées p et q devront satisfaire à la condition q =ip • a. En outre il est clair que y doit être égal à zéro , pour une valeur quelconque de *,
lorsque :jc = o , ou ;ç = /. On aura donc , sin./7 /= o; d'oùp = ^ 7 >
en prenant pour v un nombre entier quelconque. Partant
(45)...y=: Asin. V (^yj ^®- ^ ("T ^^) + B sin. V (-7-} sin. v (jj- \^a\
Cette valeur de y n'est encore qu'une intégrale particulière de l'équation (44)? ^t P^^r qu'elle fût complète il faudrait qu'elle satisfît également à l'état initial de la corde. C'est ordinairement cette dernière condition qui est la plus difficile à remplir dans l'intégration des équations analogues à l'équation (44)- Taylor , qui est le premier qui ait fait connaître l'intégrale de l'équation (44) > é^ît parvenu à la formule (45) , et Daniel Bernouilli fit voir ensuite que cette formule se décomposait en une infinité de termes, qu^on obtient aisément en donnant successivement à v toutes les valeurs, en nombres entiers , et en changeant les constantes arbitraires à chaque nouvelle valeur de v. Mais avant Lagrange on n'avait jamais pu déterminer les constantes arbitraires de manière à satisfaire à l'état initial et arbitraire du système. Lagrange est en effet le premier qui ait résolu cette importante question y et cependant il paraît que la réussite est due plutôt à son génie qu'à une véritable méthode; car sa marche est extrêmement pénible; et il paraît même qu'il ne la croyait pas propre pour le cas d'un nombre infini de corps. C'est parce qu'on ignorait comment on pourrait déterminer les constantes arbitraires dans tous les cas possibles, et parce que quelques géomètres croyaient la chose impossible en général , que sont nés les diseussions et les avis divers entre les plus grands géomètres de la fin du siècle dernier. Cette matière a été toujours dans l'obscurité
4o SUR LE MOUVEMENT
jusqu'à ce que Mi Fourier eût démontré , le premier, cette importante vérité , qu'il est toujours possible de déterminer les constantes arbitraires de sorte que la somme des intégrales particulières devienne une intégrale complète. C'est sur la théorie des intégrales définies que repose le principe fondamental de cette démonstration. Mais nous ignorons si quelque géomètre a déjà entrepris de traiter à fond la théorie du mouvement des cordes, en s'aidant des dernières découvertes. C'est pour cela que nous croyons chose utile de réunir sous un point de vue unique et lumineux les théories plus ou moins imparfaites de tous ceux qui ont traité jusqu'ici les mêmes questions. Revenons maintenant à notre équation.
aa. Si l'on fait t=:0 dans la formule (45) on trouve
et pour que ces valeurs convinssent à 1 état initial de la corde , il faudrait que Ton eût
Y=Csin.m^~, J ^Y =::C sïn.mÇ~\
G et C étant deux constantes quelconques et m un nombre
dr entier. Alors, en comparant jk à Y et -t- à V, on trouverait
A=C, B = — j-7— C', v = mj et l'intégrale complète de l'équation (44) serait exprimée par la formule
(46)...7=Csin.7n^-yJ cos. ^(-V ^^)
DU FIL FLEXIBLE. 4i
En difîereiiciaiit cette dernière équation par rapport à ^ on obtiendrait facilement la valeur de la vitesse u.
Le cas que nous venons de résoudre est le plus simple de tous ceux qui peuvent se présenter dans la théorie des cordes vibrantes; et la formule (46) représente exactement la solution de Taylor, et elle renferme celle de Daniel Bernouilli. Mais on voit que ce cas est très-particulier et qu'il ne pourrait même s'appUquer aux phénomènes acoustiques; puisqu'il serait pres< qu'impossible de donner à la corde d'un instrument la forme et la vitesse initiales que cette solution exige. Dans tous les autres cas l'intégrale (46) ne pourra point donner la solution complète. Nous allons cependant déduire cette solution de la formule (45).
2,3. Supposons, que lorsque < = o, on ait Y=/(jc),V = F(ar), fetF désignant des fonctions connues de l'abscisse a?. Donnons à V toutes les valeurs entières successives depuis l'unité jusqu'à l'infini, et nommons ^, , a., a^.., &,, &., ^3... ce que deviennent les constantes A et B; on pourra développer la formule (45) sous la forme suivante
(47)-.y =^» sin. I Çy'J COS. 1 (J^ \/a\
-f. b, sin. I (^-T-J sin. i T-j- \/a\ + a. sin. 2 (-^y cos. a {^ \/a\
+ ft, sin. 2 (-j^) sin- ^ (-y- v^ a)
+ ^3 sin. 3 VT"y ^^®'^ C"T ^^J
