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PROPRIÉTÉS DES COITIQTTBS PLiLNBS DÉDUITES y GOBfME CONSÉQUENCES j

[58] Nous avons dît (8) qu'on pouvait conclure des pro-

positions relatives aux coniques sphérîques , contenues dans ce Mémoire , un très-grand nombre des propriétés des foyers des coniques planes, et des propriétés des asymptotes de rhyperbole.

Il suffit en effet de supposer que le centre de la sphère s'éloigne à l'infini sur le rayon qui passe par le centre de la conique sphérique. Cette courbe dégénérera en conique plane ^ qui sera une ellipse ou une hyperbole 5 et les propriétés des foyers des coniques sphériques deviendront celles des coniques planes.

Dans le cas où la conique devient une hyperbole , les arcs cycliques deviendront deux droites fixes menées par le centre de la courbe ^ et les propriétés des arcs cycliques s'appliqueront à ces deux droites , qu'on reconnaît , à chacune de ces propriétés , pour les asymptotes de Fhyperbole.

[5g] Nous allons énoncer les divers théorèmes qu'on déduit de cette manière , des propriétés des coniques sphériques; nous indiquerons à la suite de chacun d'eux , le numéro de celui dont il est la conséquence. Nous donnerons d'abord ceux qui sont relatifs aux foyers , et ensuite ceux qui sont

relatifs aux asymptotes.

Ces deux classes de théorèmes , qui se trouvent ainsi avoir une origine commune , offrent un rapprochement singulier entre les propriétés des foyers et celles des asymptotes ; propriétés si différentes en elles-mêmes et par les démonstrations qu'on a coutume d'en donner. Nous établirons en traitant des propriétés nouvelles des coniques dont nous avons

5o SUR LES PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES

parlé (8) , les relations iatimes qui oot lieu sous d'auixes rapports entre les foyers des coniques et les asymptotes de l'hyperbole.