LIEUX GÉOMÉTRIQUES RELATIFS AUX FOYERS DES CONIQUES PLANES

i^ Si autour d'un point fixe, comme sommet , on fait tourner un angle de grandeur constante, et qu'on joigne par une droite les deux points où ses côtés rencontreront respectivement deux droites fixes données , cette droite enveloppera une conique ayant pour foyer le sommet de l'angle mobile, et qui sera tangente aux deux droites fixes (33).

2^ Si, autour d'un foyer d'une conique, comme sommet, on

fait tourner un angle de grandeur constante , la corde qu'il soustendra dans la conique enveloppera une seconde conique;

Les tangentes à la conique proposée aux extrémités de cette corde se couperont en un point dont le lieu géométrique sera une troisième conique ;

Ces deux nouvelles coniques auront même foyer, et même directrice correspondante que la conique proposée (34)-

3^ Si , autour du foyer d'une conique , comme sommet , on fait tourner un angle de grandeur donnée , et que par les points où ses côtés rencontrent une tangente à la conique, on mène deux nouvelles tangentes , leur point d'intersection engendrera une seconde conique qui aura potir foyer le sommet fixe de l'angle mobile, et pour directrice correspondante celle dé la conique proposée (35).

4^ Si, dans le plan d'une conique , on fait tourner un angle droit autour d^un point fixe , comme sommet , les cordes soustendues dans la conique par les côtés de cet angle envelopperont une seconde conique ayant un de ses foyers au point fixe , et pour directrice correspondante la polaire de ce point par rapport à la conique proposée (36).

Si le sommet de l'angle mobile est le centre de la conique proposée , la seconde conique sera un cercle (37 ).

5^ Étant données une conique et deux tangentes fixes , si on mène une troisième tangente quelconque , et que par les points où elle rencontre les deux tangentes fixes , on mène deux droites passant respectivement par les deux foyers

de la courbe , ces deux droites se couperont en un point dont le lieu géométrique sera une conique passant par les deux foyers de la proposée (38).

6^ Étant donnés deux points fixes , si on mène une droite telle que le produit de ses distances aux deux points fixes soit constant , cette droite , et toutes celles déterminées semblablemeut , envelopperont une conique qui aura pour foyers les deux points fixes (4o}«

7° Étant donnés un point et une droite, le lieu géométrique d'un point dont les distances au point donné et à la droite sont entre elles dans un rapport constant, est une conique qui a pour foyer le point donné , et pour directrice correspondante la droite (4i)-

PROBLÈMES RELATIFS AUX FOYERS DES CONIQUES PLANES , ET PRO- PRIÉTÉS GÉNÉRALES DES TRIANGLES ET DES QUADRILATÈRES.

I** Quand on donne un foyer d'une conique , il ne faut plus que trois conditions pour déterminer cette courbe (43).

2"* Étant donnés un foyer et deux tangentes d'une conique 5 la directrice correspondante à ce foyer passe par le point d'intersection des deux droites suivantes :

a. La droite menée par le point d'intersectioii dés deux tangentes données, et qui est conjuguée harmonique, par rapport à ces deux tangentes , de la droite menée par ce point d'intersection et par le foyer de la courbe j

b. La droite menée par le foyer perpeDdiculairement à la droite qui joint ce foyer au point de concours des deux tangentes données (44)*

S'' Étant donnés un foyer et deux points d'une conique, la directrice correspondante à ce foyer passe par le point d'intersection de la droite qui joint les deux points donnés par la droite qui divise en deux également l'angle , ou son supplément, compris entre les deux rayons vecteurs menés du foyer aux deux points donnés (4^).

4"* Le théorème (2**) comprend la solution de ce problème :

Étant donnés trois tangentes et un foyer d'une conique , déterminer la directrice correspondante à ce foyer.

5** Le théorème (3^) sert à résoudre le problème suivant , qui admet quatre solutions :

Étant donnés trois points et un foyer d'une conique, déterminer la directrice correspondante à ce foyer,

6® Si , ayant mené d'un point fixe trois droites aux trois sommets d'un triangle , on conduit par chaque sommet une nouvelle droite faisant avec l'un des deux côtés adjacents à ce sommet un angle égal à celui que la première droite fait avec l'autre côté , les trois droites ainsi menées passeront par un même point.

Ce point et celui d'où l'on a mené les trois premières droites seront les foyers d'une conique inscrite dans le triangle donné (49) •

7** Ce théorème offre une solution de ce problème :

Ltant donnés trois tangentes et un foyer d'une conique , déterminer son second foyer.

S"" Si d'un point pris arbitrairement dans le plan d'un triangle 9 on abaisse trois perpendiculaires sur ses côtés ^ et que par leurs pieds on fasse passer un cercle , les perpendiculaires élevées sur ces côtés par les trois nouveaux points où ce cercle les rencontrera, passeront par un même point (5i)-

go Si d'un point pris dans le plan d'un triangle , on abaisse sur ses côtés trois perpendiculaires , leurs pieds seront les sommets d'un second triangle inscrit dans le premier; si par les sommets de celui-ci, on. mène des droites perpendiculaires aux côtés respectivement opposés du second , ces trois droites passeront par un même point (52).

Les pieds des perpendiculaires abaissées de ce nouveau point sur les côtés du triangle proposé , et ceux des trois premières perpendiculaires seront six points situés sur une même circonférence de cercle,

lo'' Si l'on inscrit dans une conique plusieurs triangles , et qu'on conçoive autant de coniques inscrites dans ces triangles , et ayant toutes pour foyer commun un point pris sur la conique proposée , toutes ces coniques seront tangentes à une même droite (53).

1 1° Si d'un point pris sur une conique, on abaisse des perpendiculaires sur les côtés d'un triangle inscrit dans la conique , le cercle mené par les pieds de ces perpendiculaires passera par un point fixe, quel que soit le triangle inscrit dans la conique (54).

1 2^ Les quatre sommets d*un quadrilatère , pris trois à trois , déterminent quatre triangles ; si d'un point quelconque on abaisse des perpendiculaires sur les trois côtés de chaque triangle , et que par leurs pieds on fasse passer un cercle , les quatre cercles ainsi déterminés passeront par un même point (55).

PROPRIÉTÉS DES DEUX ASYMPTOTES DE l'hYPERBOLK CONSIDÉRÉES SI- MULTANÉMENT.

i"" Toute tangente à l'hyperbole rencontre les asymptotes en deux points qui sont également éloignés du point de contact (il).

2'' Réciproquement : Si une courbe est telle que chacune de ses tangentes ait sa partie comprise entre deux droites fixes, divisée en son milieu par son point de contact, cette courbe est une hyperbole dont les deux droites fixes sont les asymptotes (12).

3^ Les segmens d'uùe sécante quelconque , compris entre l'hyperbole et ses asymptotes , sont égaux ( 1 3).

4"* Toute tangente à l'hyperbole rencontre les asymptotes en deux points dont le produit des distances au centre de la courbe est une quantité constante (16).

5"^ Dans tout hyperbole le produit des distance de cha-* que point de la courbe à ses deux asymptotes est constant (17).

PROPRIÉTÉS DE l'hYPERBOLE , RELATIVES A UNE SEULE ASYMPTOTE.

i^ Deux tangentes à Thyperbole et la droite qui joint leurs points de contact rencontrent une asymptote en trois points dont le troisième est à égale distance des deux premiers (24).

2"" Si, autour de deux points fixes d'une hyperbole^ on fait tourner les deux côtés d'un angle variable, dont le som-* met parcourt la courbe , le segment compris entre cet angle sur une asymptote sera de grandeur constante (29).

3^ Si , sur une asymptote d'une hyperbole, on prend arbitrairement un segment de grandeur donnée , et que par une de ses extrémités et un point fixe de la courbe , on mène une droite qui rencontrera la courbe en un second point , la droite qui joindra ce second point à la seconde extrémité du segment tournera autour d'un point fixe de l'hyperbole (3i).

LIEUX GÉOMÉTRIQUES RELATIFS AUX ASYMPTOTES DE l'hYPERBOLE.

i'^ Si autour de deux points fixes on fait tourner les deux côtés d'un angle de grandeur variable, de manière qu'ils interceptent sur une droite fixe un segment de grandeur constante , le sommet de cet angle engendrera une hyper-

4o SUR LES PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES

bole qui passera par les deux points fixes , et qui aura pour asymptote la droite fixe (33).

2® Si l'on circonscrit à une hyperbole un angle de grandeur variable dont les côtés interceptent sur une asymptote un segment de grandeur constante, le sommet de cet angle aura pour lieu géométrique une seconde hyperbole ;

La corde qui joindra les deux points de contact des côtés de l'angle enveloppera une troisième hyperbole j

Ces deux nouvelles hyperboles auront pour asymptote celle sur laquelle sont pris les segmens interceptés entre les côtés de l'angle mobile (34).

3o Si, autour d'un point d'une hyperbole , comme sommet, on fait tourner un angle de grandeur variable, qui intercepte sur une asymptote un segment de grandeur constante , la corde soustendue par cet angle enveloppera une seconde hyperbole, ayant pour asymptote celle sur laquelle sont pris les segmens interceptés dans l'angle mobile (35).

4^ Si, autour de deux points fixes d'une hyperbole, on fait tourner les côtés d'un angle variable , dont le sommet parcourt la courbe , les côtés de cet angle rencontreront respectivement les deux asymptotes en deux points , et la droite qui joindra ces deux points enveloppera une conique tangente aux deux asymptotes de l'hyperbole (38).

S'' Étant données deux droites, le point dont le produit des distances aux deux droites est constant, a pour lieu géométrique une hyperbole dont les deux droites sont les asymptotes (4o).

• DES CONIQUES SPHÉRIQUES. 4i

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