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Sur la même base et du même côté de cette base il ne peut y avoir deux triangles dont les côtés menés à l'une des extrémités soient agaux l'un à l'autre et les eôlés menés 1] ni à l'autre extrémité de lu buse égaux l'un à l'autre. (Euecl. VIT. 1.)

9 4 s EYTA En second lieu : si deux triangles ont deux côtés de l'un égaux à deux côtés de l'autre et leurs bases aussi égales, l'angle contenu par les deux côtés de l'un sera égul à l'angle contenu par les deux côtés de l'autre. (Eucl. VIII. 1.)

En troisième lieu : si deux triangles ont deux côtés de l'un égaux à deux rôtés de l'autre et l'angle contenu par les côtés de l'un égal à l'angle contenu par les a de l'autre ; leurs bases ou troisièmes côtés seront égaux, et les surfaces où superficies ra deux triangles seront égales, et leurs autres angles seront équux respectivement, c'est-à-

A 4 FF 4 n \ dire, ceux auxquels les côtés égaux sont opposés. (Eucl. IV. 1.)

Et en dernier lieu (Théor. XXVI) où deux angles et un côté sont donges pour trouver le reste, il suffit de se rappeler que deux angles donnent le troisième, pour réduire les deu pt de l'énoncé à une seule, c'est-à-dire, au cas où un côté est donné et les angles adjacents ; etc ; suite l'on conclut à l'invariabilité du triangle et à son assimiliation au cas ou les trois a” is onnés, ce qui nous exempte une des plus longues démonstrations de tout le premier livre des Eléments,

Voici done encore 4 propositions séparées réduites à une seule proposition plus générale.

Quant au proviso d'Euclide que pue D ROEIE la onnerien LP .

ques des côtés soient ensemble plus grand que le troisième côté, 11

Le ju Le per la vérité de cet énoncé comme le fait Euclide (Prop. XX) puispa se c'est-à-dire, la ligne droite menée entre les points extrêmes, ou FREINS ‘le la base, étant la plus courte ligne que l’on puisse mener entre ces Fab Lane 0 sus dre rejoindre ces points donne, nécessairement, la somme des deux autres cbtés c u HUE l ne g : ‘ que la base ; et Playfair lui-même dans un scolie, à la suite de sa démonstration de l'énoncé, adiie

que de fait la chose est évidente, tel que nous l'avons déjà dit..

Si les côtés donnés pour construire le triangle sont égaux, le triangle sera équilatéral; donc la prop. I d'Euclide n’est autre chose qu’un cas particulier de la Prop. XXII et n’en devrait être

qu’un corollaire.

J'élimine de même comme Prop. démontrable la XXIITème du même livre qui pro-

ose de faire un angle égal à'un angle donné, et qui n’est autre chose que de construire un triangle

Les les côtes sont donnés, puisqu'on les prend à volontè ; car sur les deux côtés de l'angle donné,

l'on n’a qu'a prendre des longueurs arbitraires, mener le troisième côté, puis faire sur la ligne docné un triangle égal au triangle ainsi donné.

Vient ensuite le problème de la bissection d'un angle. Or une légère modification de la truction du problème va opérer comme on le verra tout une variante uuns la démonstration et construc

ièr 3 ijà indiquée l'égalité des angles à la base d’un prouver encore d’une manière autre que celle déjà indiquée l'ég g £

triangle isocèle.

Soit la fig de la Prop. IX d’Euclide et qu'au lieu de construire de l’autre côté de la base

triangle équilatéral, ce soit un triangle isocèle égal au triangle donné où que l’on peut considérer ane donné puisque sur les côtés de l'angle donné on prend des longueurs égales à volonté pour c :

en relier les extrémités par uue ligne qui fait la base.

Il n’y a plus qu'a mener la ligne joignant les sommets des deux triangles qui LA de sectrice voulue. On a aussi pour corollaire, comme dans le cas où nous supposions l'angle issecté et une moitié du triangle se repliant autour de la bissectrice pour tomber sur titte moitié, l'égalité des angles à la base du triangle isocèle, sans la nécessité d'en faire une preuve spéciale comme le fait Euclide à l'endroit de sa Prop. V ; car la base commune des deux triangles devient à son tour la bissectrice des angles opposés à, situés aux extrémités de la base et comme ces angles sont égaux par

construction et que les moitiés de choses égales sont égaiss, ‘one etc.

Cette même const:uction donne comme celle d'Euclide la manière (Prop. X) de diviser une + a ! ‘ ù A i i it voir Sue rocédé : re mer à un ligne en deux parties égales, et fait voir (comme Eucl. XI) le procédé à suivre pos mener e ligne une perpendiculaire d'un point donné hors de cette ligne. Euclide démontre (Prop. À ] ÿ ï URI XVIIL.) que Le plus grand côié de tout triungle est opposé au plus grnd angle; pourquoi alors la prop. suivante (XIX) qui démontre par une réduction à l'absurde que le plus grand angle de Ls . L * Ÿ 4 / tout triangle est opposé au plus g1 and côté. En effet cette “ réduction à l'absurde ” se fait de suite et mentalement sous cette forme que . : L4 { ne U A 4 QÉ si dans tout triangle que l’on puisse concevoir, il est démontrable que je plus grand côté est opposé au plus grand angle, il ne peut exister de tri gle où ce ne soit point le cas.

Disons aussi ici de la Prop. VI que quoique la preuve directe s'en puisse faire et ressort x i tion i LS iatinn à L: do a immédiatement de la preuve-faite de la proposition inverse, une mentale réduction à l'absurde en : . . n . , à £ : : à fait aussi foi; car si de tous les triangles isocèles possibles l'on peut prouver que les angles à la base sont égaux, il ne peut y en avoir ou Ce ce 8016 pas le cas,

Pourquoi aussi faire des énoncés des Prop, XVI et XVIT (\ l'effet que l'angle extérieur d'un triungle est plus grand que son angle intérieur et opposé et que deux angles d'un triun. gle valent ensemble moins que deu… angles droits) des démonstrations séparées, puisque ces vérités ressortent directement de la Prop. plus générale XXXIT que l'angle ex'érieur vaut les deux angles intérieurs et opposés et que les truis angles d'un triangle valent deua: angles droits ; cur pour démontrer cette dernière Prop, il suflit de supposer la parallèle voulue pour voir de suite la vérité de l'énoncé se reposer sur les égalités déjà établies à l'endroit de l'étude des lignes parallèles intersectées par une troisième ligne. Done voilà encore trois propositions fondues en une seule, et maintenant qu'on sait fairo un angle égal à un angle donné, la parallèle supposée peut se remplacer jar une ligne réelle de même nom, (Euecl, XXXI.)

Je ne vois aucune amélioration à faire à la preuve, par Eueclide, du fait que dans tout triangle le plus grand côté est opposé au plus grand angle et réciproquement, non plis que des deux théorêmes XXIV et XX V ayant trait aux triangles qui, sous deux côtés réciproquement : gaux, ont des angles inclus différents, des bases inégales ; sanf comme je l'ai dit, à raccourcir la preuv, 1 nommant les angles par les seules lettres à leurs sommets respectifs, au lieu de taxer davantuge la mémoire en répétant constamment les trois lettres situées aux angles des figures,

Nous voilà maintenant en présence des Prop XXXIII et XXXIV d'Euelide à l'effet que les lignes droites qui relient les extrémités de deux lignes droites et purullèles sont égules et parallèles ; puis, que Les côtés et les ungles opposés l'un parallèl gramme sont eguuæ et que lu diagonale bissecte le parallèlogranvme.

Commençons par le second de ces théorèmes et le premier en tirera toutes ses conclusions.

La Prop. XIII, enseigne à faire un parallèlogramme égal à un triangle donné, er ve d'ailleurs l'on aurait pu tirer, par un simple corollaire, de Li Prop, précé lente qui vustigue qe sus même buse et entre parallèles, letriangle est moitié du parallèlogranvme ; au lieu de recommencer toute la construction,

Prop. XLIIT, fait voir l'égalité des compl'ments des deux parallèlogrammes aïtour du diamètre du parallèlogramme entier.

Pourquoi done aiors, au lieu de recommencer toute la construction duns la figure stivante, ne pas déduire de suite et par corollaire du théorème, la manière de faire le probième à eelui d'u rectangle donné sur une buse lonnée. Il suflirait de dire: soit done EG égal, (construit pur le dernier problôme) au triangle donné et H K la ligne donnée, que lou disposer en continuation de G K sur une même droite G H ; prolonger B E en A, mener pur le joint H, À D parallele à EK ; prolonger B G en ©, mener A K C ; en C faire C D parallele a G Het prolonger E Ken F, HE sera la figure voulue.

Muis voici qu’à la Prop. XLV l’on recommence tonte cette construction, toute cette pren ve pour en venir à enseigner comment s’y prendre pour ftire un par dlèlogr'umm équl à une figure rectiligne donnée, sous un angle donné, au lieu de dire sim; lement :

« Si donc le parallèlogramne F H est fait égal à l’un des triingles conjosaits de la figure donnée, et que le parallèlogranme équiangle G M égal à l'autre triangle composant de da figure (si c'est un quadrilatère où à un des autres triangles composants, si c'est une figure de plus de quaire côtés) lui soit appliqué, et que l’on continue ainsi le procédé avec les autres triungles co nposants, l'on aura enfin la figure F M voulue,

Avant de asser au carré de l’hypoténuse Prop XLVIT, Euclide nous rend le service d’un problême en règle pour nous dire comment sur une ligne donnée, on construit un carré ; mais pourquoi cela, puisque déjà l’on sait faire un parallèlogramme sur ne ligne donnée et sous un angle donné, et que la construction peut s’en indique» en quelques mots comme simple cor. ou scolie,

Voilà enfin le carré de l’hypoténuse et pourquoi est-ce le “ pont des ânes,” simplement par la prolixité de la preuve qui crée dans l'esprit un parfait enlacement d'ungles et de triangles se croisant dans tous les sens. Je dis d’angles, par ce que cette munière de désigner chajue angle par 3 lettres au lieu d’une seule quand la chose est possible sans équivoque, fait que tout se mêle dans l'esprit de l'élève et qu'avant d’en être rendu à la moitié de la preuve il en & déjà oublié le commencement, supprimons la ligne BK pour n'opérer que d’un côté de la

Prenons la figure d'Euclide, « . , : . Aït : \ F »

perpendiculaire A 1, puisque de la preuve de ce côté l’on coneluera de suite à celle de lantre, 8 : b étant commun, & et c droits on à

Ecrivons en B, @, b, e, pour les trois angles contigus et dison

a et b égal € et b, d’où les triangles E B C, D B A dont les côtés égaux E B, BC — AB, B D comprennent respectivement des angles égaux, sont égaux ; or le triangle E BC est moitié du carré BG sur même base et entre mêmes parallèles, et le triangle ABD est de même moitié du rectangle B L, et d’après l’axiome Jes moitiés sont comme les touts, donc BL=BG Doncaussi LO=CH, doue DC = BG + CH, done ete.

Il est à peine nécessaire de dire que je n'ai point voulu enconrir le risque de faire des suggestions aux Géoméètres d’outremer sans me sentir fondé à le faire et c'est pourquoi j'ai moi-même, récrit au fur et à mesure de ces remarques, tout le Promier Livre des Eléments dont il s'agit. Je lai écrit avec le même envchainement lozique que celui qui existe si adinirablement sous ce ripport, entre tous les chaînous de la trame entière de l'auteur grec, tel que commenté par le Dr Playfair, supposant il est vrai quelquelois une chose faite qui d'eévidence peut 8e faire