CALCUL DU TABLIER MARVEJOLS
Données générales.
Dimensions principales :
Longueur totale des poutres . 270 340 m
Nombre des travées . 5
Longueur des travées extrêmes . 54 800 m
Longueur des travées intermédiaires . 55 500 m
Nombre de panneaux dans une travée extrême . . 14
Nombre de panneaux dans une travée intermédiaire. 15
Largeur des panneaux, espacement des pièces de pont 3 700 m
Écartement d’axe en axe des poutres principales. . 5 000 m
Hauteur de ces poutres . 5 160 m
Poids permanent par mètre courant de tablier :
Fers . 2 510 kg
Platelage . 400
Bois et rails . 300
Passerelle . 180
Total . 3 390 kg
Charge pendant V épreuve par mètre courant de tablier :
Surcharge par mètre courant de tablier . 4 800 kg
Charge totale pendant l’épreuve :
3390 kg + 4800 kg = 8190 kg.
Poutres principales.
Poids permanent par mètre courant de poutre. ° = 1 695 kg
Charge pendant l’épreuve par mètre courant de
, 8 190 , AOK .
poutre . . — ^ — =4 095 k.
Tables horizontales.
Nous calculerons les tables horizontales de manière qu’elles puissent résister aux moments fléchissants qui se développent, dans les poutres sous l’effet des charges.
Les poutres étant continues, les positions de la surcharge qui correspondent aux maxima des moments fléchissants, tant sur les piles que dans le courant des travées, sont données par les hypothèses suivantes :
1° Première travée chargée. — Le — moment est maximum dans la % première travée.
2° Deuxième travée chargée. — Le moment est maximum dans la ^ deuxième travée.
3° Troisième travée chargée. — Le moment est maximum dans la * troisième travée.
4° Première et deuxième travées w ^ ^ - g
chargées. — Le moment est maxi- “ mum sur la première pile.
5° Deuxième et troisième travées .
- A A A 7^ pH
chargées. — Le moment est maxi- ■ lik
mum sur la deuxième pile.
La théorie de Clapeyron donne les formules suivantes pour la valeur des moments fléchissants sur piles :
JP,(.304* + Ml%) + Ptfelél + - P,(ü£ + £) + Pk{iblt + h) p£1*
= - 4 (eoij + 104 y, + ttÇ)
— Pi{£ll+U£+K)+P*{£+îll1*)
Nous désignerons par 4 la portée des travées extrêmes et par l2 celle des travées intermédiaires.
En remplaçant dans ces formules 4 et l2 par leurs valeurs :
elles deviennent :
= 173,97 Pi + 156,65 p2 — 42,00 p3 + 11,35 p 4 — 3,22 p 5; i*2 = — 46,60 Pi -j- 164,33 p.2 + 162,41 p3 — 43,92 p4 12,45 pb
Le maximum du moment fléchissant dans le courant d’une travée quelconque, est donné par l’expression :
-4e - 7 - -, p/rn-ïn + t , l y
dans laquelle pn et 4 représentent les moments fléchissants sur les piles contiguës à la travée, l la portée de la travée, et p la charge par mètre courant.
En appliquant ces formules aux cas de surcharges ci-dessus énumérés, on trouve les résultats suivants :
1er Cas. — Première travée chargée :
te = 309 655
2e Cas. — Deuxième travée chargée :
te = 815 887
3e Cas. — Troisième travée chargée :
te = 402 190
4e Cas. — Première et deuxième travées chargées :
5e Cas. — Deuxième et troisième travées chargées :
fx2 4 1 205 .668
Comme il est intéressant de savoir dans quelles conditions se trouve le tablier lorsqu’il ne supporte aucune surcharge, nous avons, également calculé les moments fléchissants dans cette hypothèse :
6e Cas. — - Le tablier ne supporte aucune charge : jq ^ 502 990
Epure des moments fléchissants (PI. 5). — Au moyen des valeurs énumérées ci-dessus , il est facile de tracer, pour chaque cas, la parabole des moments fléchissants. Chacune de ces courbes porte sur l’épure le numéro du cas de surcharge auquel elle correspond .
Les poutres doivent présenter en chaque point une section telle que la valeur du moment de résistance qui en résulte soit au moins égale à celle du moment fléchissant, au point considéré.
Le moment de résistance a pour expression :
RI
R représente le coefficient de travail maximum du fer, soit 6 kg par millimètre carré, ou 6000 000 kg par mètre carré;
I, le moment d’inertie de la section considérée;
v, la distance de la fibre la plus éloignée de la fibre moyenne à cette dernière fibre.
La partie constante de Ja section des poutres étant celle qui est figurée ci-contre, on a :
Ce moment de résistance étant insuffisant pour une très grande partie de la longueur de la poutre, on l’augmente dans les points où cela est reconnu nécessaire, en ajoutant à la partie constante de la section une certaine épaisseur de semelles supplémentaires.
L’augmentation du moment de résistance correspondant à un millimètre d’épaisseur des semelles est de :
En divisant par ce nombre l’excès du moment fléchissant sur le moment de résistance de la section constante, on obtient en millimètres l’épaisseur à donner aux semelles supplémentaires.
Afin d’avoir une échelle simple pour les épaisseurs de semelles, on les a représentées sur l’épure en double grandeur, ce qui a conduit à adopter pour /’ échelle des moments :
2 mm pour 15 480
soit 1,292 mm hour un moment de 10 000 (1).
Le tableau ci-dessous indique les sections des poutres correspondant aux moments maxima sur les piles et dans le courant
rJ00.«10.
(1) L’échelle de la planche 5 est la moitié de celle de l’épure.
des travées: il contient, en outre, les valeurs de — résultant des
sections ainsi que le travail du fer aux points considérés.
Treillis des parois verticales.
Les barres de treillis formant les parois verticales des poutres sont calculées de manière à pouvoir résister, à elles seules, aux efforts tranchants qui se développent dans les poutres par l’effet des charges.
Dans une môme travée, les efforts tranchants au droit des appuis sont donnés par les formules suivantes :
T =pl — T.
où est le moment sur l’appui que l’on considère et ^n + l le moment sur l’appui voisin.
Les efforts tranchants maxima sur les appuis se produisent dans la lre, la 4e et la 5e hypothèses des surcharges.
1° — /re travée chargée :
T0 = 88 290 kg.
4° — /re ei <2je travées chargées :
T', = 131 088 kg T, = 124 311 kg.
5° — 2e et 5e travées chargées :
T2 = m 339 kg T2 = 122 640 kg.
6e cas. — Le tablier ne porte aucune surcharge :
T0 = 34 190 kg Tl 53 610 kg T, == 48 502 kg T2 = 47 036 kg T' ^ 45 570 kg.
Connaissant les elTorts tranchants maxima sur les appuis, il est facile de tracer sur l’épure les droites représentatives des efforts tranchants en chaque point.
On a pris comme échelle de ces efforts 1 m/m pour 1000 kg.
Les efforts tranchants que nous venons de calculer par la méthode et les formules de Clapeyron, obtenus en supposant une charge uniformément répartie sur la longueur entière des travées, déterminent bien les réactions maxima qui se produisent sur les piles , mais ne donnent pas les maxima en un point quelconque de la poutre; ces derniers sont produits par la surcharge roulante d’un train de locomotives et de tenders.
Pour déterminer les efforts maxima dans les barres de treillis, nous avons suivi une méthode entièrement graphique. Voici comment a été tracée la courbe des efforts tranchants maxima :
ML
Un train de locomotives entièrement composé de machines du
type 1001 de la Compagnie du Midi, dont le diagramme est figuré ci-contre, est supposé occuper toute la travée ; la roue d’avant de la première machine étant placée sur l’appui de gauche A. Les roues du train occupent les positions \ , 2, 3, etc.
Plaçant en B le pôle d’un [polygone des forces dont les côtés sont 1'. 2'. 3' . 9' représen¬
tant les charges de chaque roue et en ayant soin de placer le point de départ de la force 1' sur l’horizontale AB,
on peut tracer de suite le polygone funiculaire AMN qui est la courbe des efforts tranchants maxima pour tous les points de la poutre AB provenant de la surcharge du train en question.
Supposons maintenant que l’on porte en BG et en AD une longueur égale à p étant la charge permanente par mètre courant
et l la portée de la poutre, la ligne DG représentera les efforts tranchants dus à la charge permanente, et l’intervalle compris entre les deux lignes DG et AMN donnera les efforts tranchants totaux positifs et négatifs pour chaque point de la poutre.
Il reste, pour avoir le maximum général, à ajouter à cette valeur, les efforts provenant de la continuité des travées et exprimés par
le terme — +
"Si nous portons en GE l’effort relatif au côté gauche de l’appui G, nous pouvons tracer une parallèle EF à la droite GD et additionner ainsi à l’effort tranchant déjà déterminé la quantité — — — . Ainsi OP, par exemple, représentera la plus
grande valeur de l’effort tranchant qui puisse se produire au point S.
Nous ferons remarquer que le tracé de la ligne EF n’est pas mathématiquement exact. En effet, quand la surcharge n’occupe qu’une partie de la travée AB, il est évident que les valeurs ;j i w + i et {/.„ ne sont plus égales à celles produites quand la travée est entièrement surchargée.
La quantité GE est, en tous cas, un maximum qui reste, pour la partie courante de la travée, au-dessus de la réalité.
Nous avons appliqué la construction graphique qui vient d’être indiquée à la détermination des efforts tranchants dans une travée de rive et dans la travée intermédiaire voisine (PI. 7).
Dans l’épure, les traits noirs forts représentent les efforts tranchants projetés suivant les barres de treillis.
Le tableau ci-après, qui se trouve également porté sur l’épure, résume les efforts totaux sur les deux barres de chaque panneau, les efforts sur chacune de ces barres, les sections nécessaires de ees barres pour un coefficient de travail de 6 kg par millimètre carré, la composition de leur section réelle, et enfin leur coefficient de travail.
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