CHAPITRE II

Calcul de l’Arc sous l’effet des charges et sous l’influence de la température.

§ lor. — Eléments entrant dans le calcul des poussées et variation de la corde sous l'effet d'une poussée connu?.

Pour la détermination des poussées, qui s’effectue, comme on sait, en égalant & zéro le déplacement horizontal des retombées, nous sommes parti de l’équation générale de déformation suivant l’axe des x , donnée par M. Bresse dans son Cours de Mécanique appliquée , tome I, p. 89, édition de 1859.

Cette équation est la suivante :

A = A œ0 — p0 (yl — y0) + t (œ, — a?0)

. / /N P du \ . f . Xsin 8 cos v ,

+ / (l-Kei) *- / &<“#> - ^ - *•

Jxo Js0

Cette formule suppose que les forces extérieures peuvent être dans des plans en dehors du plan de l’arc. — Elle se simplifie beaucoup : 1° si toutes les charges sont verticales et agissent dans le plan de l’arc, cas pour lequel sin & — 1 , cos v = 1 ; 2° si les points x0 y0 et x{ yy sont les deux retombées O et O', situées sur une même horizontale, dont la longueur représentant la corde de l’arc est /, et si l’on prend pour origine le point O et pour axe des x la ligne 00'; on a dans ce cas x0 = 0, y0 = 0, x{ = l, yt = 0; 3° si on néglige pour le moment l’influence de la température qui sera étudiée séparément.

A xt devient dans ce cas le déplacement de la retombée 0' par rapport à l’origine supposée fixe, auquel cas A x0 = 0.

La formule devient ainsi :

lie dx

V dy

dans laquelle les lettres ont les représentations suivantes :

x et y, les coordonnées de la fibre moyenne qui passe par le centre de gravité de toutes les sections;

s, la longueur mesurée suivant la fibre moyenne entre la section et l’origine;

N, la somme des projections de toutes les forces extérieures sur la tangente au point (a? y) de la fibre moyenne, c’est-à-dire leur composante normale à la section ;

P, la somme des projections de toutes les forces extérieures sur le plan de la section, c’est-à-dire leur composante dans le plan môme de la section considérée;

X, le moment fléchissant de toutes les forces extérieures, par rapport à la section, et dont l’axe représentatif est dans le plan de la section : nous le désignerons par jj. ;

c est la valeur E ü dans laquelle E est le module d’élasticité pour les efforts longitudinaux, que nous prendrons égal à 16x10 ', et ü l’aire de la section;

c r 2 est la valeur E I dans laquelle I est le moment d’inertie de la section ;

K, le rapport du module d’élasticité transversale G au module E d’élasticité longitudinale.

En introduisant ces nouvelles notations, la formule devient :

N 1 ]dy

E G ü dx

Cette formule peut aussi s’écrire :

Dans cette formule le premier terme représente la déformation produite par les efforts normaux à la section; le deuxième, celle

due aux efforts tranchants; le troisième, celle due aux moments.

Dans le cas d’arcs à treillis les membrures résistent aux efforts développés par les moments; elles résistent aussi aux efforts normaux N, dont une faible partie est transmise par les treillis. (Nous négligerons son influence sur les treillis.)

Les efforts tranchants, au contraire, peuvent être considérés comme agissant

dans le treillis ; par conséquent, si nous voulons introduire dans notre formule la déformation produite par les efforts tranchants, il faudra faire intervenir les sections des treillis.

Nous allons déterminer la déformation d’un élément As sous l’action d’un effort tranchant P.

Soient mn et ni n' deux sections voisines;

A B une barre de treillis de longueur l;

p l’angle de la barre avec la fibre moyenne.

Sous l’action d’un effort tranchant P, le point I» se déplacera dans le plan de la section ni n' d’une quantité B B' = X. 11 en résultera un allongement de la barre égal à B' B" = X sinp.

L’allongement de la barre peut aussi s’exprimer en fonction de l’effort F qui agit en elle et de sa section «; il est égal à:

Égalant les deux valeurs trouvées et remplaçant l par sa valeur