X . sin 2p . cos p

As

Dans le cas où le système des barres de treillis est multiple, nous aurons:

V i? ■ r» * E s (sin 2p . cos p . i»)

AF-smP= 1 = - 1 — ts — — ■

et

} P . as

E E (sin 2p . cos p . w) *

Cette expression représente le déplacement de la section ni ri par rapport à la section mn , dans son propre plan.

Pour avoir le déplacement horizontal correspondant, il suffit de multiplier X par sin a , a étant l’inclinaison de l’élément sur l’horizontale, ou bien de remplacer ds sin a par d\j.

La somme des déplacements horizontaux du point O au point O' sera représenté par :

P dy

X] ( sin 2p . cos p . o>) ‘

Introduisant cette expression dans la formule, au lieu de l’expression

JL. il dx

G a dx ’

ce qui revient à remplacer Gü par s sin 2p . cos p . w, il vient :

E S (sin 2p . cos p . w)

Cette formule va nous permettre de déterminer l’expression de la poussée.

A cet effet nous remarquerons que les forces N et P, ainsi que les moments»/, proviennent de deux causes: les charges verticales et la poussée.

Désignons par -f- N', — P', — (u' les efforts qui sont dus aux forces verticales; ceux qui sont dus à la poussée Q sont :

Pour l’effort normal . Q cos a,

Pour l’effort tranchant . Q sin a,

Pour le moment . Q ?/,

Introduisons ces valeurs dans notre formule; elle devient, en tenant compte des signes:

Axx

P 'dy

E 2 (sin 2fi .cos p . w)

Q . sin a . dy E 2 (sin 2 p . cos p . «)

De cette expression nous tirons la valeur de la poussée :

rxt /V

EQ+J.E*

P 'dij

(sin 2p . cos p . go)

Xcos a dx , /

"ïTr+i 1

sin a dy

■S (sin 2p cos p M)

Nous remarquerons que, dans cette formule, le dénominateur est indépendant des charges et sera le même pour le calcul de toutes les poussées.

Pour ces calculs,

ont été remplacées par des 2 et les dx

et ds par àx et as. A cet effet l’arc a été partagé en 27 éléments donnant 27 sections.

Les éléments correspondent aux distances des montants et les sections ont été faites au milieu des' éléments.

Les dimensions principales et les données générales pour les calculs sont données dans l’épure, pl. 10; elles sont également données dans le tableau n° 1.

Les valeurs des I ont été obtenues par la formule 1—4 (ai* + Ig) dans laquelle w est la section d’une membrure, I(; son

moment d’inertie par rapport à son propre centre de gravité, et r la distance du centre de gravité à l’axe passant par le centre de gravité de la section de l’arc.

L’expression s (o> . sin 2p . cos fi) a été construite dans l’épure (pl. 11) pour chaque section, en portant une longueur AB représentant la section, sur la direction de la barre, en la projetant sur la direction de la fibre moyenne, et l’on obtient ainsi :

A IV = A B cos p .

En projetant ensuite le point B' sur la direction AB, nous avons obtenu :

B'B"== AB . cos p. sin p = AB' sin p.

En menant enfin B" B'" parallèle à AB', nous avons obtenu pour chaque barre :

B" B'" == AB . cos p . sin 2p = w . cos p . sin 2p,

et en ajoutant pour chaque section les valeurs correspondant aux deux systèmes de barres, nous avons obtenu les :

2 (co sin 2p . cos p),

qui sont inscrits dans le tableau n° 1, col. 14.

Nous remarquerons que pour la première section, l’âme pleine remplaçant le treillis, c’est elle qui résiste à l’effort tranchant et pour cette section E 2 (<*> cos p sin 2p) est à remplacer par w' G , <*>' étant la section des âmes, et G étant le coefficient d’élasticité

transversale que nous avons pris égal à -tj- E, ce qui est généralement admis; il en résulte que, pour la section, 1, 2 (w sin 2p cos p) est à remplacer par

Nous avons calculé premièrement le dénominateur à l’aide des éléments du tableau précédent; les trois termes du dénominateur sont donnés dans le tableau n° 2.

Le dénominateur est égal à la somme de ces trois termes : égal à 0,000.002.179.0785 -J- 0,000.000.016.2703 + 0,000.000.249.8421 = 0,000.002.445.19090

§ 2. C alcul de la poussée correspondant à la charge permanente .

Le premier cas que nous examinerons est celui de la charge permanente seule. Le tableau n° 3 donne les charges sur chacun des montants, col. 4; nous en avons déduit la force extérieure F' pour les sections, qui est la somme de toutes les forces verticales à gauche de la section, puis nous avons calculé :

Les forces normales N' qui sont égales à F'X.sin « et les forces P' égales à F' X cos a ;

Et enfin les moments y.' des forces verticales.

Ces moments sont donnés par la formule :

R désignant une des réactions verticales des appuis, r la distance horizontale de la réaction à la section considérée, et spft ]a somme des produits de toutes les forces qui agissent sur l’arc d utT côté de la; section par leur distance horizontale à la section.

Dans les trois dernières colonnes du tableau nous avons donné aussi les éléments des trois termes qui forment le numérateur de l’expression de la poussée, lequel est obtenu en faisant la somme algébrique des trois dernières colonnes.

En divisant le numérateur par le dénominateur trouvé plus haut, nous avons trouvé la poussée, qui est :

§ Calcul des poussées correspondant aux • surcharges.

Pour les différents cas de surcharges, le calcul a été fait en supposant que la surcharge agissait seule ; les poussées ont été déterminées exactement de la môme manière que pour la charge

permanente, les éléments des calculs sont donnés dans les trois tableaux nos 4, 5, 6.

Nous remarquerons que, comme cela a été fait dans le cas précédent, et comme cela peut toujours se faire pour des charges symétriques, les sommes n’ont été faites que d’une des naissances à la clef.

Dans le cas de charges dissymétriques, les sommes sont à prendre d’une naissance à l’autre, et comme dénominateur, il suffit, puisque l’arc est symétrique, de prendre le double de celui trouvé précédemment.

§ 4. — Détermination des coefficients de travail des membrures.

Connaissant maintenant les poussées exactes, il devient facile de déterminer, dans chaque hypothèse, les coefficients de travail pour les membrures. Les formules qui donnent les coefficients sont, pour l’intrados :

T> ^ V fX

Ri = ô - T

Pour l’extrados :

RÉ

N , vjx

Dans ces formules :

N désigne l’effort de compression total et est égal à :

N’ -J- Q . COS a

et {a = j*’ — Q y

La suite des tableaux 7, 8, 9, 10 donne le résumé des calculs des coefficients de travail dans les différentes hypothèses.

Dans chacun des tableaux relatifs à la surcharge on a additionné les coefficients dus à la charge permanente, de manière que les deux dernières colonnes représentent les coefficients totaux.

Nous avons considéré comme positifs les efforts de compression et comme négatifs les efforts de tension.

§ 5. — Calcul des treillis.

Les sections des barres de treillis sont données dans le tableau ci-contre :

NUMÉRO