f-2i0 = 750 kg pour le tablier central

Le vent étant supposé agir d’une manière uniforme sur toute la longueur du tablier, exercera sur chacun de ses points d’appui des réactions horizontales analogues aux réactions verticales produites par les charges et proportionnelles à ces dernières.

Pour les obtenir, il suffira, de multiplier les réactions obtenues précédemment pour la charge permanente, par le rapport des poids au mètre courant (admis pour cette charge) à ceux admis pour le vent.

Elles auront poujr valeur :

Dans le cas du vent sans surcharges ,

Réaction au-dessus de la palée :

Provenant du tablier latéral . . 19405 kg

Provenant du tablier central . 9 1 05

Total . 28 510 %

Réaction sur l’appui au-dessus du montant XII :

Provenant du tablier central . 25 008 kg

Dans le cas du vent avec surcharges ,

Réaction au-dessus de la palée :

Action du vent sur les tabliers ......... 15 838

Action du vent sur le train . 7 029

Total . 22 807 kg

Réaction sur l’appui au-dessus du montant XII :

Action du vent sur les tabliers . 13 900 kg

Action du vent sur le train . 0 302

Total . 20 402 kg

Nous admettrons que l’effort du vent sur les palées ainsi que les réactions du palier au droit des dites palées vient se répartir également entre les montants VIII et IX sur lesquels les palées sont fixées.

§ 3 . — Décomposition des diverses actions du vent sur l'arc.

Tous les efforts du vent par rapport à une section quelconque

de l’arc, peuvent se réduire à un couple et à une force qui sera

située dans le plan de la section. Ce couple peut se décomposer lui-même en deux autres, situés, l’un dans un plan perpendiculaire à la section, l’autre dans le plan même de la section. Le premier de ces couples produira dans l’arc un moment de flexion, l’autre un moment de torsion.

Quant à la force située dans le plan de la section, elle peut être considérée comme un effort tranchant.

Ainsi le vent produira dans les différentes sections de l’arc :

1° Un moment de flexion ;

2° Un moment de torsion;

3° Un effort tranchant.

Nous verrons dans la suite quelles sont les différentes parties de l’arc intéressées par ces différentes sortes d’effets.

Mais en dehors de la résistance que chacune des pièces qui constituent l’arc offre à ces effets, il sera nécessaire d’étudier, au point de vue de la stabilité, l’ensemble de l’arc lui-même. — Son poids, dont l’effet sera augmenté, s’il le faut, par des amarrages spéciaux, devra être tel que le moment de renversement qui se produira soit inférieur au moment de stabilité.

Nous étudierons d’abord les effets du vent sur une section quelconque de l’arc.

§ 4. — Détermination des moments de flexion et de torsion.

Considérons une section de l’arc en un point quelconque, normale au plan tangentiel à la fibre moyenne.

La résultante des composantes du vent, qui agissent extérieurement à la section et qui sont toutes perpendiculaires au plan médian, sera elle-même perpendiculaire à ce plan et, par suite, le moment de cette résultante sera dans un plan perpendiculaire au plan médian. — Ce moment peut se décomposer en deux autres situés dans deux plans perpendiculaires au plan médian, l’un vertical, l’autre horizontal. Tous ces moments auront leurs axes représentatifs dans le plan médian (*).

Pour ce qui concerne le signe des moments, nous désignerons par positifs tous ceux dont les axes sont placés au-dessus de l’horizontale menée par le centre O de la section, et pour les moments verticaux dont les axes sont horizontaux, nous considérerons comme positifs ceux qui sont placés à droite du centre 0.

Le moment vertical est nul à la clef, puisqu’il n’existe aucune action du vent sur l’arc au-dessus de ce point, et le seul moment agissant dans la section correspondante sera un moment horizontal ml qui, pour la direction du vent indiquée ci-contre, est un moment positif.

Nous supposerons l’arc coupé à la clef et nous tiendrons compte de la continuité en introduisant le moment mi dans nos calculs.

H On sait que l’axe représentatif d’un moment (figure ci-jointe) est une ligne perpendiculaire au plan du moment, élevée du côté du plan tel que, si l’on place l’œil à son origine A et qu’on regarde dans la direction A B, le moment tourne par rapport à cette ligne dans le sens des aiguilles d’une montre. Sur cette perpendiculaire, on porte une longueur A B proportionnelle au moment, laquelle est l’axe représentatif. — Par cette définition, l’œil placé à l’extrémité de l’axe ,, représentatif verra le moment positif tourner dans le sens inverse /cles aiguilles d’une montre et cette conception est quelquefois plus facile. La ligne ainsi définie représente bien le moment : puisqu’elle définit son plan, son intensité et le sens de la rotation qu’il tend à produire. On sait, en outre, que ces axes se composent entre eux comme les forces, ce qui donne un moyen simple d’effectuer la composition ou la décomposition des moments.

Soient M N la section considérée et a l’angle de la ligne M N avec la verticale.

Appelons mh le moment horizontal et mv le moment vertical en cette section produits par toutes les forces extérieures, indépendamment du moment à la clef m0 et remarquons que mh est négatif puisque, toutes les forces extérieures tendent à faire tourner la section dans le sens de la flèche a , et que le moment m„ est positif, puisque toutes les forces extérieures tendent à faire tourner la section dans le sens de la flèche b.

Décomposons ces moments en deux, un moment m-, moment de flexion qui agit dans un plan perpendiculaire à la section, et mt, un moment de torsion situé dans le plan de la section.

Nous aurons :

mr = mh cos a — mc sin a.

mt — mv cos a -f- sin a.

Pour avoir dans la section MN le moment fléchissant réel Mf et le moment de torsion Mt, il suffit d’ajouter aux moments trouvés mf et mt les composantes du moment m,; nous aurons alors :

Mf = mf -j- m, cos a.

M, = mt -|- sin a.

Le moment à la clef m{ est inconnu ; il serait facile de le déterminer si l’arc était libre aux naissances, mais cette dernière condition n’est pas remplie, car les retombées sont appliquées horizontalement sur leurs appuis par les poussées qui proviennent des charges. Nous avons donc affaire à une pièce qui pourra être assimilée à une pièce encastrée à ses extrémités, à la condition que le moment de flexion aux naissances ne dépasse pas le moment d’encastrement produit par les poussées.

11 sera donc nécessaire de calculer par la théorie de l’élasticité le moment m, à la clef, en supposant l’encastrement, et d’en déduire le moment fléchissant horizontal MA aux naissances par la formule :

M = mh -{- mi,

en appelant comme précédemment mh le moment horizontal aux naissances, calculé comme si l’arc était coupé à la clef.

Deux cas peuvent se présenter :

Si la valeur trouvée pour Mfc, divisée par la distance des naissances, est inférieure à la poussée, l’arc ne tend pas à se séparer de ses appuis, et tout se passera comme s’il était réellement encastré.

Il n’en est plus de môme si cette valeur est supérieure à la poussée, et l’hypothèse de l’encastrement ne se réalise plus.

Il est impossible d’admettre que des efforts de traction puissent s’exercer dans une direction différente de celle des tirants d’amarrage, car l’effort qui applique l’arc sur ses appuis étant nul, on ne; peut compter sur aucun frottement. — Or, puisque l’effort vertical de traction est déterminé en divisant l’excès du moment de renversement sur le moment de stabilité par l’écartement des arcs aux naissances, l’effort horizontal de traction devra être tel que sa résultante avec l’effort vertical donne un effort dirigé suivant les tirants d’amarrage.

C’est cette dernière condition qui permet de déterminer le moment à la clef.

Le premier cas se produira, comme nous allons le voir dans la suite des calculs, quand l’arc sera soumis au vent avec surcharge ; et le second quand il n’y a pas de surcharge.

§ 5. — Établissement de la formule du moment fléchissant à la clef dans le cas d’encastrement.

Nous exprimerons, d’après l’indication qui nous a été fournie par M. l’Ingénieur Boyer, que, de l’origine O à la clef, la somme des rotations autour de l’axe des y est nulle.

En effet, nous admettrons que la section de l’arc aux naissances est fixe, et que celle à la clef ne peut tourner autour de l’axe des y, à cause de la symétrie des charges.

a. — Rotations autour de l’cuice des y sous l’effet des moments fléchissants et des moments de torsion.

La rotation dans le plan tangentiel à la fibre moyenne produite pour un élément de longueur ds, par un moment fléchissant M;, est donnée par l’expression :

VLrds

El *

I étant le moment d’inertie de la section, la rotation autour l’axe des y sera :

M r ds