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Les parties non calculées de ces séries sont, comme on le voit, du dixième degré dans U, V, Y, et du neuvième dans X.

Adoptons pour éléments du mouvement elliptique de la Lune les six quantités y, 0, c , ta, a, X : les formules qui expriment les dérivées de ces éléments par rapport au temps, en fonction des dérivées partielles de R, se déduisent des équations écrites page 9 , en ayant égard à la relation y — sin 2 ; on trouve ainsi :

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4 «a* y y/i — e* dy

dt *

V 7=V JB , v w

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Si maintenant nous réduisons R À la fonction R,, qui ne contient ni ta, ni X, ces formules deviendront i ./tt,

18 MÉMOIRE SI!R L’ACCÉLÉRATION SÉCULAIRE 1 I 6 i ,/R,

\ «a* y y i — e 1 dy

ï. ÎÜL

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y'» — g» — i -d-H dR, na'e de

y «ffl.

3 lui’ y l — r’ dy

el, à l’aide de ces équations, où y 1 et 0' doivent être regardées comme des fonctions connues du temps, il faudra trouver les valeurs de y, 8, e , w, a, X* 11 .

C’est ce que nous allons faire en développant les inconnues en séries dont, les termes soient des ordres i , a , 3 , . . . , la quantité y' étant regardée comme du premier ordre; il suffira d’ailleurs, pour noire objet, de pousser ces développements jusqu’au second ordre. *•

démarquons d’abord qu’en vertu de la troisième et de la cinquième équation, a et e sont des constantes et ne doivent plus compter parmi les Inconnues. Il en est de même de n, en vertu de la relation

Les deux premières équations ne contiennent donc que deux inconnues y, 0, et peuvent êire traitées séparément. Si l’on négligeait y', la première se réduirait è^“0> d’où l’on conclurait

dO

= constante; alors Tautrc donnerait constante, et, par suite, 6 = fonction linéaire du temps. En partant de cette solution

1,1 Dan» tout ce qui va suivre. c r cl n’ seront traitées comme des constantes : nous ne nous proposons pas, en effet, de reprendre ici le calcul «le b partie de l’accélération séculaire qui dépend de la déformation de lorbile terrestre, nous en référant, à cet égard, aux travaux déjà mentionnés de MM Adams et Ddaunay.

comme d'une première approximation, on formera des valeurs plus approchées de y et de 0, où l'approximation devra être poussée jusqu’aux quantités du second ordre. Ces valeurs étant obtenues, la quatrième et la sixième de nos équations différentielles nous donneront « et X par de simples quadratures.

Entrons maintenant dans le détail des calculs qui viennent d’être indiqués. Posons

y' sin 0' = u, y' cos 0' =- r; la valeur de II, pourra s’écrire

R ( = n^ea* j U + X (a sin 0 4- v cos 0) 4- V (u' J + i’ J )