f- COS « cos p
• /Tsina
r n. sin A
asm (3
(1 -«- cos a cos p).
La durée de roscillalion complète de Taxe Oi; sera
f S« L*hypotbèse II) correspond, d*après ce que Ton a vu au n* 15, à réquilibre relatif de Taxe OC; ( est ici constant et égal i (0, 9' est constant et égal à n.
Enfin, le cas III) se rapporte, dans le mouvement du pendule, au cas que nous avons discuté au n* 13. Vaxe 0( oscille encore en restant toujours du même côte de OZ, mais en s'éloignani d'abord, puis se rapprochant périodiquement de OZ. L*angle i; varie entre son minimum 1^ et son maximum ^ déterminé par réquation
— cos fa.
le esl repréi weillation a |
.SLv
USIDS •
inanl h exi ' négative. It
d'une valeu nd & un rem I suffira, di ou de conif nèmes forai
dans l'hyp
olhèse C) oi
ilue du tore t ce cas inti
= — (cos'ïo
lent que cos' varie entn
oscillations de la perpe iciion du lei
nt que Co es
Si noua hisons «Bsuiie
cos <; = I C09 i^i , fc* = cm' i;,, X variera entre — 1 et + 1, et la substitution donnera
d'où l'on tire, en intégrant et observant que pour f <» on a !;-.{,«» — I,
•/ l^(t— «"XI-*'!") ■{ l/(t— I*)!!-*'!-)
d'où, eniin,
(45), . . a! = sn(R — »t^^),= 8n{u(^^(^+ K),
ou, si l'on fait usage des fonctions 6,
ou enfin, & cause de la relation entre k et Çq,
(46) ... : . „.s-±i/s^iî!:5'.
le signe + se rapportant au cas où cos (g est positif, le signe — au cas où il est négatif.
Il suit de la formule (iS) que cos Ç, égal à cos 1^ pour t^=Q, devient nul pour eafl^fi = K, ou
puis égal à — cos Ce pour
de suite; ei que la durée d'une oseillalioD entière de
I tore est
II est encore un cas particulier qui mérite d'être signalé. construction ordinaire du gyroscope, la quantité
itive; mais on pourrait cependant, par une disposition mnclle, réaliser la condition
b — 0, ou A-t-C, — A,<=0(*).
I ce cas, l'équation (10) se réduirait Ji
dÇ* 2C/.M
de
-(coiÇ— «wï,),
jire à Téquation ordinaire du mouvement du pendule La longueur r du pendule synchrone serait
Ct,a Cfi> (n •*- a GOS ï()
se, par conséquent, que celte de li formule (43) qui se e au cas général. Hais il n'y aurait plus, dans ce cas-ci, tion du plan d'oscillation du pendule.
) cette hypothèse toute particulière, le mouvement d'otcilie t'axe du gyrotcope terait donc un timpk mouvement lire ordinaire.
iffinii pour celi que le diiqiw tti m eyliadre anuit de njoa R et d'épaisl'aimeiu iaMrieor un lutte cTliadriqua de hiuUar SA', dont lu njons isUricar ir uniïiii R' el R", et que l'on eAi entre ce* tléneDl* li reltlùn
Ddiliou
Lien tonjonn une filrur de A' propre i lérlBer cette éqmlien.
(Suite.) ROTATfON DU TORE DANS SON PLAN.
%%• Il nous reste, pour achever la détermination du mouvement du disque, i trouver Texpression de Tangie 9 en fonction du temps. Pour cela, nous reprenons Téquation (38), nous multiplions les deux membres par dty et en intégrant entre et U nous trouverons, <Po ^^^^^ ^^ valeur initiale de 7,
f = fn-^nt — » / (cos ç — cos Ço) rf<,
ou, SI nous posons
et si nous observons que ( = donne u = K,
(47) . . . f = yo -+- «< / (cos ç — cos Ço) du.
\ On remplacera cos ( — cos X^ par sa valeur, donnée, suivant le cas, par Tune des égalités (21), (39) ou (34), et Ton effectuera Tintégration. Mais, pour cela, nous devrons faire usage de certaines formules de la théorie des fonctions elliptiques que nous allonj d*abord établir d*une manière générale, parce qu elles nous seront souvent utiles par la suite.
Soit à trouver la valeur de Tintégrale
psn ti
(^sn u
àu^
a, (3, 7^(} étant des constantes données quelconques. On a identiquement
a-t-6snti a a^ — 6r (^sn'tl , ^ ^ . sn ti = - -* ' : ^—. («fJ— 8y) -T 5— r-
ions toute l'équalioa par du et intégrons depuis u ■— K posons en outre, k désignant le module de la fonction sa ti,
- p A BD a,
t a étant déterminé par cette équation. Il viendra
tL+P»au a «J— py /" isnosn'w
— î- A(«!-(ii-K -f r- / z — ir-ï — î-**"
y-t-ianu y r •/ ^ — fc'sn'asn U
«J — pr /■•■ snurfu y* J 1 — A* an' a sn* «
ic formule très connue de la théorie des fcmctions : donne d'abord
'sn'flso'u Jt en dn o L» (a) 2 »(u-»-a)J
ime népérien 1. étant d'ailleurs supposé s'annuler en ips que u. Pour obtenir la valeur de l'autre intégrale.
ng que
dnz •
ra
sn urfu y™ an (z -«- K) àz
— A* sn' a an* M J 1 — fc* sn* (oi + K) an' (z + K.)
dn* a, en z do z dz dn'a, p' en z dn z Az
i)*a,do*z — A* en' a, cil* e *" J I — li'sn'ai sn*z
y"' rf.sni *
' \ — )t* sn* a, an' z
Mais on a
d .snz f d.snz i d.snz
1 — ib* sn' Oi sn* z 2\ -^ kBna^snz â i — ik sn Oi sn z
d*où
/' d.snz i i -*- ksna^snz
i — 4* sn* ai 811* z 2A; 8Q 04 * i — Ar an Oi su z
Substituant et mettant pour a^ et z leurs valeurs» on trouvera facilement
/•" sn U(iu i p — A8n(a-*-K)8n(in-K)1
^y 4— i(:«sn'asn^#'^î2Acnodna L^-t-iksn(aH-K)sn(ti-fr-K)J*
Portant ces divers résultats dans Téquation (48), on aura définitivement la formule
i au» ~ (ti — K) H — — 4 —- (u — K)
y-^-âsnu y r'Arcnodna 6 (a)
(49) fi .
a$^^ , re(t/ — a) 1-f-*8n(a-4-K)sn(t/-*-K)l -^ 1. I ' • ——-—--————— I •
!2r'^cnadna L6(w-+-a) !>-fcsn(a+K)8n(ti+K)J
On se rappellera que l'argument a qui figure dans cette équation est déterminé par la relation
- s=r A: sn a.
SS. Revenons maintenant à Téquation (47), et examinons successivement les différents cas que le problème nous a offerts.
Cas If a). La valeur de cos Ç — eos 1^ nous est ici donnée (voir au n"" 1 7) par Téquation (21 ), que nous écrirons sous la forme
i — sn II
cos K — cos Ço = sm Ko sm ô ; »
cos p — k cos a sn tf
ifiid
dam laquelle on sait que
*— •—• p-»ul/ïi(in«, » = «(-♦- K.
sina . '
tion (47) deviendra donc
kùnn, r- i— snw
— f, + iit — / ; du.
V'ft, ./ cosp — k KM a tau
ra donc, pour appliquer ici la formule (49), y rempls- ', J, respectivement par
1, —\, cosp, — h cota,
ite, poser
■in o lin a
nent a est donné par l'équation
k cos a
ft gn a = ,
easp
ileur est négative, quel que soit le signe de cos Ço. car
^^ 2C/, 2C(n-*-«co8C)
î ï. = -7- — coî ïo = — ^^ ;; — — cos ï,,
avec la condition
n +-6JcosÇ|,> 0,
donne
C08 Ko -^ cos Ç| B â cos flc cos |3 > 0,
donc cos a el cos |3 sont de mteie signe.
D autre part, on a
cos' 6 — cos' a sin Co sin Ç|
cn'fl= 1— sn'a» ^—r- « r- — > 0,
cos* p cos' p
d*où il résulte que i*on a sn* a < l^^et par suite
sn a < et > — I ;
a est donc réel et compris entre zéro et — K. Nous poserons en conséquence
ff désignant un argument compris entre et K. Il viendra ensuite
. ,, , . sin* ô cos' a sin(, sini;,
dn'a= \ — *'sn'o=« — ^ — r- -= -— — .
sm'a cos'p sm'acos^
d'où» puisque a est compris entre et — K,
l/sm Çosin K^ . V^sm t^ sm Ç|
cna=: 1 an a as — ; 1
cos p sin a cos p
et enfin
a J — Py 1
r'Â: en a dn a A sin Co
Il suit encore des valeurs de en a, dn a, que Ton a
f , .,v sin ô en o
A; sn (tt -4- K) >B — L — s= sm ô.
sin a dn a
Substituant ces divers résultats dans Téquation (49), on en déduira
1 — sn M , w — K \ 6'{a) ^
du= — -^ — 1-; (u — K)
COS p — A: cos a sn tt cos p k sin Ç„ o (o)
i . p (« — <») i -♦-sinpsn(ii -4- K)l 2fc sin Ço L^ (w -^ o) I — sin p sn (m -*- K)J
int dans l'expresBion de <f, oEwervant que l'on a
I [«i (p' — ff) 1 * sin p an p("
2l/]!r ' let(p'-^') 1 — sinPs
]e celte équation que l'angle tp, qui détermine la
isque par rapport è l'anneau intérieur, se compose :
rme constant, égal à sa valeur initiale;
rme proportionnel au temps;
rme périodique, dont la période ^ est de même
elle de l'oscillalion de l'aie du lore par rapport à
u reste directement, au moyen de l'équation (38), e rotatoire <p' du tore relativement à l'anneau inlénd périodiquement sa valeur intiiale n, chaque fois revieni à son inclinaison iniiiale i^^, et qu'elle en ntraire le plus possible chaque fois que l'angle ^ ;«r C,.
c). — La valeur de cos i; — cos !;o **' donnée dans e n* 17) par la troisième équation (39), savoir :
(COS a -t-cos^} — (cos a — cosp)sn{pI -♦■ K) I on devra poser
*' Cfi ■♦- (C — 6) » cos ç.
