cos «E CQS p sin p
cos « COS jS,
Là formule (47) détiendra, en conséquence.
« /** i — sn ti
(5i)f=«»o-Hnt — sinasinâa / * du,
p •/ (cosa+cos^)-(cosa— co8p)snti
Pour déduire la valeur de cette intégrale de Téquation (49), il sy£Bra de remplacer dans celle-ci a, P, 7, d respectivement par
1, — i, ces ot -«- ces p, — (cos a — cos p),
et par suite,
aâ — pr par Scosp,
cos « — cos 8 « — Ô a -4- 13
Asna par 7=*»tg — r-^ tg i--
cos <K H- cos p 2 2
* Lea^angles a, ^, étant moindres que 90®, la valeur de sn a sera positive ou négative suivant que Ton aura
a ^ p, ou 26m cos* i ^0 ^ C (n -t- « cos Ço)«
Les deux hypothèses sont admissibles, puisque nous n'excluons aucune valeur du rapport n : gd. Nous tirerons ensuite delà
, ^ , (cos a — cos ô)* (i -4- COS a COS j3)'
CD a = 1 — sn a = \ — -• ■
(cos « -♦- cos P)' (i — COS a cos p)'
4 COS oe COS p sin* a. sin* p
(cos a 4- cos P)* (1 — cos a cos p)*
donc
i— sn'o>0, sn'a < i,
en sorte que a est réel et compris entre zéro et ±: K, suivant que a est ^ ^; donc en a, dna seront positifs. Enfin, on a encore
, , . ,. • - (cos a — cos ô)' 4 COS a cos ô
dn' a as= i — fe* sn' o =« i — ^^ ^ = L- .
(cos a •*• cos P)* (cos a -I- COS p)'
! le on lire, par subitilution et rëduciioo, la valeur
ai — ^ 1-t>G0SBC0*P
y'A en a do a lia p sin !j« stituer dana la formule (49). On obtient ainai
(coa B t-eoBp) — (cot a — cos ^] sn u cos « + cos p
■in ^ sia Sa e (a) l-+-cos«cosp r e(M— a)t-*-*sa(a+fc)sn(«-t-Kn "^2sinp8ina« ' [«(ii + n) !— Jl»n(o + i;)sii(« + K)J'
ïportons cette valeur dans l'équation (SI); remplaçons ■ pf -4- K, a par ± tr, l'argument a étant compris entre zéro ; 6(p(+K±!T) par 9i(pf±9); observons aussi que
ol/f» ^— (I -*- cos B cos p).
1 -I- cos « cos p dn u I -»■ cos a cos p sn((>l -•- 2K) = — snpt;
aurons définitivement
/ » gin a sin 2«\ 1 8' (<r)
\ Msa-v-cosp/ i/^ ,(,J i r«i{p' T') 1 -t- eos a cos p — lin a sÏQ p sn pli ~8V^ ■ Lmp'±') ' l +cos«cosp + sin«8inpsnftJ'
gne supérieur se rapportant au cas de a > ^, le signe infér au cas de a < |3.
L'aii(;Ie 9 se composera donc encore ici d'un terme propor lioonel au temps et d'un terme périodique, dont la période ser la même que celle du mouvement de nutation de l'axe Ot^.
%4. Ca» III). — La valeur de cos ( — cos !^ est ici donné (voirie n* 18) par la formule (Si), dans laquelle ou a
Nous aurons donc
cos ï — cos ï, — — »in î;, sin p -
cos ^ H- A cos B m u et l'équation (47) deviendra
Le calcul est absolument le même qu'an n* 39, cat l, a Noua nous bornerons donc 4 donner le résultat, qui est le su . vsnl:
!T — ^-^-(»^-l-«tgpsi nl:,)' ^K^«(ff}' ^ 'l\{tt-t-«)i-t-»apmtt]
Dans cetle équation, o- désigne un aliment compris enti léro ri K, déterminé par l'équation
î-'fTT^" ■
-«- "■ité let différents cas qaî se rapporlcDl k
n -•• M COI (, > 0.
[Uela celle même expression est négalîve se comme nous l'avons vu (n' 18), en suppode l'axe des z positirs soit renversée, et ne conséquent aucun calcul nouveau. Mais il ir l'expression de f dans le cas particulier oir
n -I- coa Co = 0.
réduit ici évidemment i
ration, f = ï, — ».y" cosïdt.
uvé l'équalion
ï = CMi:o8n(B(\/^+ Kl,
^1 à la valeur absolue de cos ^; si donc
cosç, /" = f» ^- / *" M du.
l comprise comme cas particulier dans la I ; il suffit d'y supposer l'argument a égal à
2Jt ' \ + t sn (1/ •*- K)
D'après cela» nous aurons, en remeitant pour u sa valeur,
cos Ço . I -♦- ik sn »/ l//t4
fo —
Observons que k esPégal à d: eos 2^0 suivant que I^q est < ou > \j que» de plus, on peut faire langle 90 nul, en prenant pour le rayon 0| de Téquateur du tore, celui qui coïncide à l*époque I =a avec la droite OX4. Nous aurons ainsi
1 — cos ^ sn a( \/fi
^\/fi 1 -4- cos Ço sn «t V^fi
Cette expression très simple de Tangle 9 manifeste une propriété curieuse du mouvement de rotation du disque dans le cas que nous considérons. Elle ne renferme plus de terme proportionnel au temps, mais simplement une fonction périodique du temps, dont la période est la même que celle de loscillation de Taxe du tore. Ainsi, 9 est nul pour <=sO; de / =0 à t «» ^, Fangle Ç varie de I^q h i n et, Ço étant supposé < f , Tangle 9 décroit jusqu'à
— l'tg— »
SK
valeur minimum. De f = ^ à t==»~, Ç varie de i it à If — Zof et l'angle 9 revient à la valeur zéro. Puis il croft
jusqu'à la limite supérieure
-^- Lcol —
pendant que t varie de
aV u
et ( de 7r — 2^0 à i n; enfin 9 revient à la valeur zéro lorsque t atteint la valeur^, ( reprenant la valeur ^q. Puis les angles 2; et 9 repassent par la même succession de valeurs dans les mêmes intervalles de temps. Le disque n'accomplit donc jamais
I la chape intérieure I, mais s entre les limiie* d'angle
U. Sire, deatîné à imiter les effets que la rotation de la terre produit sur les corps tourmint k sa surface, cl dont la description te trouve d'ailleurs dans les Mémoirei de la Société d'émulation du J!>ou&s (*), se compose essentidlement 1* d'un grand cercle en cuivre G (Gg. S) figurant un méridien terrestre, auquel on imprime, au moyen d'un système de roues d'angle actionné par une manivelle»
une rotation continue autour de son diamètre vertical SS', qui représente l'axe de roution de la terre; 3* d'un gyroscope composi d'un tore D et de deux anneaux I, E, semblable k celui que nous avons
[é par une pince P & la cir>
«mréreDce du cercle C, et de lelle sorte que Taxe ZZ' autour duquel tourne l'anneau extérieur E soit maintenu fixe dans le plan du méridien. Dans les expérieaces de M. Sire, l'axe ZZ' était habiiucMement dirigé suivant le rayon du méridien, mais nous supposerons, pour plus de généralité, qu'il ail une direction fixe quelconque dans le plan de celui-ci. Nous plaçons l'origine du système de comparaison OXYZ (fig. 6) au centre du gyroscope; OZ sera l'axe de l'anneau extérieur, le plan XY lui étant perpendiculaire et lié au méridien mobile; OS est parallèle à la direction positive de Taxe de rotation du méridien ou cercle C; OX est la projection de OS sur le plan XY, et se trouve ainsi dans le plan du mért- ''■ *• dien auquel OY est per-
pendiculaire. Appelons 1 l'angle SOX, 6 l'angle ZOi; compris entre l'axe du tore et l'axe OZ de l'anneau E ; <^ l'angle X,OX compris entre OX et la trace OX) de l'équaleur du tore sur le plan XY; ip l'angle XjOE compris entre OX, et un rayon mobile 0| de l'équaleur du tore : 6, i/i et (p sont les trois angles bien connus qui définissent la position du lore et de ses anneaux par rapport au système mobile OXYZ. Vang\e 6 est compté positivement de 0° & 180% à partir de OZ, de gauche à droite autour de OX,; (f- de 0* à co , de gauche i droite par rapport ^ OZ; <p de 0' à ce, de gauche à droite par rapport à la direction OÇ de l'axe de figure du tore. Soient encore y, ^„ y^ les angles que forment respectivement les axes principaux d'inertie OX,, OY), OÇ du tore avec la direction OS de l'axe instantané du système de comparaison; u la vitesse angulaire du méridien autour de son axe, et calculons les quantités nécessaires pour former l'équation (9).
Le mouvement relatif du tore par rapport à OXYZ se com-
-ao-
roiBtion 9' autour de 0X|, d'une rotation il-' autour le rotation f' autour de 0!^. Les composantes de la antanée du tore suivant 0X„ OY,, 0^ sont donc ;nt
S', *' sin 9, f ■+■ t' r08 S,
es moments d'inertie du tore par rapport ft ces axes Z, on aura, pour le tore seul, d'après des théorèmes
' = i I A (fl" + 1" sin' 8) -»- C (f ' -t- i.' cos •)*],
; = ^o)'|^A(cos'y -4- C03*r,) -•- Cros'y,],
l' cos y -4- A^' stn fl cos n -•- C (y' -«. ^' cas «) cos y,].
uler les quantités correspondantes dans le monvenneau intérieur, il suffit d'observer que les axes if, OYi, OÇ sont ici remplacés respectivement par Yf, en sorle qu'on devra remplacer 6, i^, f, y,j|, y„ îspeciivement par^ — 6, re -t- if , 0, jr — 7, /), 71, ;t l'on aura, pour /'anneau I,
i [a, {fl" *■ '^" cos' fl) ■*- C, i(.'* sin' fl],
i u' [A, (cos'r + cos'ri) •+■ C, cos "y,],
u (A,fl' cos y -1- Ai*' cos s cos y, -f- C,^' sin d cos y,).
meau E n'a qu'une simple rotation relative if' autour c pour cet anneau,
", G = i(u'(A, cos*y H- A, sin'j -«- C,cûs'i sin'*),
V = ».A,f sini.
it ces diRërents termes, nous aurons, pour le ti/sféme il entier, d'après l'équation (4),
+ A,)«"+ (A-i-C,)*''sin'9-t- A,^'''eos'8-HArf" t-*'co3fl)']-i-io'[(A-«-A, + A,}cos'r-t-(A +-C,)cos'y, A|}co8'y,-HA,siD'j + C,cos*isin*t]+c5[{A-«-A,)fl'cosy
C,}ji'*,inflcosy, -»- A,*' COS S eosy,-^ €(?'-*■*' cos «)cosri
On a d'ailleurs, comme on le voit faeilemenly les relations
icosr '«''cos Aeos^, cos^i =3 sin A sin 6 — cos à cos e sin <p, cos^s = sin > cos -4- cos l sin sin ^.
Ayant égard è la première de ces relations et groupant convenablement les termes, on mettra T^ sous la forme plus simple :
T, = i j (A -+- A,) («' H- » cos yf -♦- (A -♦- C,) (^' sin ô -*- « cos n)' -h Al (^' cos e -♦- ca cos y^f + C (f ' -♦- ^' cos e H- « cosr»)* •¥• ti{Y -^ a sin x)' -♦- w'co8*A (A, cos' ^ -^ Q% sin'^) j ,
Al -♦- Aj,
nous
ou encore, en posant pour abréger l'écriture
a = A-i-Ai, 6«=A-i-Ci — A,, o' «
et faisant usage des équations (S5), sous celle-ci que emploierons de préférence :
T, = i ja [b' -♦- « cosr)' H- b («p' sin + » cosrO' (56) . . i -^ Q(f -^ Y cos B 4- « cosr«)' -*- cl' [V -+- « sini)*
-#- «' cos' > [Al -H (Al -*- C, — A,) sin'^] j .
37. Il n'y a d*9utre force motrice que la pesanteur; mais comme le centre de gravité commun des corps D, I, E est fixe relativement au système de comparaison OXYZ, nous aurons évidemment U = 0. En outre, N est nul, d'après la remarque du n® % puisque l'origine coïncide avec le centre de gravité de la masse mobile. Les équations du mouvement apparent se réduisent donc à
d dT, oT, ^
où il faut prendre q successivement égal à 9, 4^, 6. Mais T^ ne renferme pas 9 explicitement, donc
d dT, d
~ — = ^C(f' -4- ^'cose ^ «cosrO -= 0,
ce qui donne Tintégrale première
(57) f)' -4- f'oose -«• ocosrt'=»^)
/i désignant une constante à déterminer par les données initiales* Cette intégrale conviendra aux différents cas que nous allons examiner.
M. Problème IIL — Déterminer le mouvement du gyroi^ cope dans le polytrope de Sire^ Vétat initial étant donné, et les anneaux I, E libres de tourner autour de leurs axes respectifs X|X(|y ZZ'; l'axe OZ de l'anneau £ étant en outre fixé parallèlement à l'axe de rotation du méridien G.
L'axe OZ coïncide donc ici avec OS, X s=: ^ r, donc
côs r = 0, cos ri «= sin ê, oos rs = cos e, et réquation (56) se réduit à
(58) T,=: i[ao"^ 6(f -♦-«)'sin*e+C(f'-t- f + »coso)'+a'(^' -i-«)«],
taudis que Tintégrale (S7) devient
(59) î»' -*- (^' ^- «) cos 6 = II.
Faisant successivement 9 =» ^, 6 dans Téquation de Bour, on aura, T2 ne renfermant pas ^ explicitement,
dt iV '
d*où
(2 étant une nouvelle constante arbitraire; ou, en vertu de Téquatien (59),
(60) . . . (a' -•- 6 sin' 6) (^' -*- ») ^ C/, ces tf « i,. Ensuite
o— 6(f -I- »)' sine CCS 9 -h C(f' -♦- «f»' -♦- «cosd)(f' -♦- «)sindc=«0,
dt
ou, en remplaçant ç' -*- (4/' -f- w) cos 6, tp' -*- co par leurs valeurs déduites des relations (59) et (60),
de' 6 (/, — C/| cos 0)' sin 6 cos d C/, (/, — C/i cos 0) sin B (6i) Cl— =5= — ' — ■
^ ' c/« (a' + 6 sin' fl)' a' -f- 6 sin» 9
Avant d'intégrer cette équation, cherchons sous quelles conditions langle 9 resterait constant, de sorte que Taxe de figure du tore garderait constamment la même inclinaison sur la direction OS de Taxe de rotation du méridien C. 6Ô étant donc supposé nul, soient ^; la valeur initiale de ^\ n celle de f' ou la rotation initiale du tore dans son anneau; nous aurons pour déterminer /| et l^ les équations
/, = n -♦- (^i -♦- ») cos eo,
^ = C/|Cos0o -♦- (a' -♦- 6 sin*^) (^i •♦- a).
Il faut et il suffit, pour que 6 soit constant, que ^soit nul pour t<= 0. Or, si Ton fait dans Téquation (61) 6 «» 6q et si Ton remplace l^ — G/f cos 60 P<^r ^^ valeur, on trouve
a I — I == (^0 -¥- 0)'6sio^coseo — C/i(^o -*- a)sin V
■'•/-^irw^^'-"
qtii eiprime que t'axe du torç est en repos par ineau E est donc
a «t (t; -1- «) [Cli — (f ; -t- o) b cos #,] — 0,
élîmioant /|,
