L'équation (61), multipliée par 2(/9, s'intègre et donne
itant une nouvelle constanic dont la valeur, si l'on suppose jours % égal i xéro, se réduii è
;, (ri ■+■ «)' (a' *■ b MU* a,\
!)n lire de l'équalioa (6Z)
VU {a' -H b sin' i) — (/, — C/, ro8 8)'
façon que t s'exprime en fonction de par une quadrature dépend des intégrales byperelliptiques, en général. Seule- [)ti (t l'on regarde tes motte» det anneaux comme négligeablex ù-vis de celle du tore, on aura
i, de plus, on suppose i\'à >°=i 0, ou l'axe du tore eu repo» relatif instant / <=> 0, on trouvera simplement
/, ^ n -I- u cas d|„ tf == Cl, cos Su + Am sio* ia, If^t^kein'it, )ar suite
A sin odi
i/o* A' sin* j^ sin'S — (^ — Cl, cosS)*
j'iniégrUion s'effectue alors sous forme finie, mais ce calcul té développé par M. Loltner (*), qui y est arrivé en étudiant nouvement du gyroscope i la surface de la terre, et Bour (**)
a même donné une interprétation géométrique des formules qui représentent le mouvement de Taxe du tore dans ces conditions.
11 n*y aurait aucun intérêt à reproduire ici ces calculs. Nous observerons seulement ce qui suit :
1"* D'après les formules dont il s*agi(, Tangle oscille entre deux limites plus ou moins rapprochées, et c*est à tort que Ton a regardé souvent Taxe 0{; comme gardant une inclinaison constante sur Taxe OS» en se fondant sur la propriété des axes principaux dlnertie rapportée ci-dessus. Il faut observer, en effet, qu*ici Taxe OÇ n'est en repos, à l'époque / «= 0, que relativement au gr^nd cercle C, mais que la rotation de ce cercle lui donne, dans l'espace absolu, un mouvement angulaire dont on doit tenir compte. Toutefois, lorsque la vitesse gd est fort petite par rapport à n, comme cela a lieu dans les expériences que Ton effectue ordinairement avec le polytrope, la quantité sous le radical, dans la formule (64), devant être positive, il en résufle que
12 — C/^ cos6 est une petite quantité de même ordre que a>, et que, par suite, cos — cos 6q est une quantité très petite de même ordre que ^ . Ce dernier rapport étant fort petit dans les expériences dont nous parlons, 9 ne s'écarte pas d'une manière sensible de Oq, et Ton a la même apparence que si l'axe O2; gardait une inclinaison constante sur OZ ou OS. Il en résulte aussi que les valeurs de tp' et de 9' restent sensiblement constantes.
2* Dans l'analyse que nous avons présentée, les frottements des pivots sont négligés. Toutefois, le frottement qui se produit aux pivots de l'anneau E agit comme une force très minime, qui tendrait à faire tourner le tore autour de OZ; et si la rotation n est assez rapide pour que l'on puisse appliquer, sans erreur sensible, le principe de la tendance des axes au parallélisme (*), il en résultera un mouvement très lent de l'axe de figure du tore vers l'axe de rotation OZ.
La détermination des angles 4^ et 7, è l'aide de la valeur trouvée pour l'angle 6, ayant été faite par MM. Lottner et Bour, nous laisserons de côté ces questions.
n Voy. mon Cours de mécanique, S»* édiW p. 304.
^. i?..-tlA-
f^wf'''
s vu.
POLVTBOPB DE M. SIRB (xUtle).
M. PnOBLfiKK IV. — Le plan de Canneau intérieur I étant fixé à angle droit sur celui de l'anneau extérieur E (fig. 7), qui demeure libre de tourner autour de ton àxe de rotation OZ, orienté d'une façon quelconque dan» le plan du méridien , déterminer le mouvement du tore.
L'axe Oc du tore ne peut, dans ces condi- *' ' lions, se mouvoir que
dans un plan normal à ras&OZ, (:'est-à<dire dans le plan XY.
On a donc ici
cos r^cos i cosf, cosr(^=sini, cosri^acosiismf.
Les seules variables sont i^ et «p.
L'équation (S6) se réduit &
T, = 1 [au' cos' A cos' (^ -H 6 (if ' -4- û> sin x)* -*- C(f ' -•- »M» J sïn i^)* -i- a'(i' ■*- wsin l)' -Ha'cos'A(A, -*-A,-i-C, — A,8in'|)].
Réduisons, observons que l'on a
et introduisons dans les formules, au lieu de Tangie ^^ Tangle
que fait Taxe 02^ du tore avec h projection OX de OS sur le plan normal à OZ. Nous aurons, en négligeant le terme constant A2 -»- a,
T, « i [(a' -^ b) (Ç' -f- û) sin i)' h- C (^ ' -f- « cos X cos Kf
— (A -^ A, — C,). «' ces' À cos'ç].
L'équation
d dT, dT, ^
OÙ Ton fera successivement 9 »=> 9, 9 »» S» nous donnera
(G5) f ' -t- » cos A cos ^ s=: /|,
/f étant constant. Puis, (a' -»- 6) (o sin ^ étant aussi constant, nous
trouverons
rfç' (a' -♦- 6) -r- -4-C(f'-+-ttCOsXco8Ç)wcosAsînÇ
— (A + At — Cl) «' cos* A cos C sin C =s 0, ou, en vertu de Féquation (65),
(66) -7-== ; ; — (u'cos'AcosCsmC r— sm Ç.
dt a' -^ b a -H 6
Cette équation, multipliée par ^d^ , s'intègre facilement, et en déterminant la constante par la condition Ç^ s=» 0, on trouve
(^^) ïï:î= ; r- «'cos' a(co8'ç-cos'Ço)-i-— ; ï-fcosç-cosg,
ou enfin
/.«x^fÇ* A-i-A,-C, . . r 2C/,
(^^):Ï7«===— ^ T-«'c0s'A(c0sÇ~C0SÇeM /T— T "/.v COSÇo^COSÇ
al^ a -*- o L(A-i-A,— C,)cocosx
L^équation (66) fournit la condition pour que l'axe du tore reste en équilibre relatif dans son plan directeur, 2^ étant, bien entendu, supposé nul. Cette condition s^exprime par Téquation
(69) . . sin ç, [(A -+- A, — C,) » cos i cos Ço — C/J = 0,
et peut être vérifiée de deux manières : 1* en posant
sin^o^^O, ou Co=»0, Co=»tr,
ce qui revient à supposer Taxe du tore primitivement couché suivant la projection OX de Taxe OS, ou suivant son prolongement OX'; 2* En posant
(A -t- At — C,) » cos X cos Co — C/| = 0,
ce qui devient, en remplaçant l^ par sa valeur tirée de Téquation (65), savoir
Il s=s. n -^ àà cos X cos Ço»
Cm -H (C — A -h Cl — At) « cos A cos Ko = 0.
Cette équation donne pour la vitesse de rotation initiale n du tore, Tangle (o ^^nt supposé donné,
C — A -♦- C, — A, n 8= w cos X cosCo,
valeur du même ordre de grandeur que gd, en sorte que ce cas d'équilibre ne se rencontrera jamais lorsque la rotation du méridien sera très lente vis-à-vis de celle du disque.
Si la vitesse n était donnée, la même équation fournirait la valeur E de l'angle 2;^ qui correspond à l'équilibre apparent, savoir
Cn
(70) . . . co8E = — -; — -;
^ ' (C — A + Cf — Al) « cos >
si cette valeur est comprise entre — 1 et h- 1> elle déterminera deux positions d^équilibre, également inclinées de part et d^autre sur la droite OX.
Ce cas intéressant d*équilibre ne peut s^observer que pour de faibles valeurs de n ou des valeurs très grandes de a, mais il est certainement réalisable. La difficulté serait de Vobserver, la rapidité du mouvement du méridien tournant formant obstacle è ce que Ton puisse distinguer la position de Taxe du tore.
SI. Lorsque Taxe du tore n*est pas dans une de ces positions d*équilibre relatif, son mouvement dans le plan directeur est régi par réquation (68). Or, si Ton compare cette équation à Téquation (11) du mouvement d*un point pesant sur un cercle vertical tournant, on reconnaît qu*elle s*identifiera avec celle-ci, si Ton
pose "^
« ' = , ' »' ces' A,
g C/,« cos A
ou, a' + 6 n*étant autre chose que A + C| -4- Aj,
U sas u COS A \/ »
J7 (A + A, -«- Ci)
G/|« cos A
La question proposée est donc résolue par ce théorème : Lorsque, dans le polytrope, l'axe du tore est assujetti à rester dans un plan normal à l'axe de rotation de l'anneau extérieur, son mpuvement, par rapport à la projection OX de l'axe OS sur le plan directeur, suit les mêmes lois que le mouvement, par rapport à la verticale, d'un pendule simple dont le plan d'oscillation tournerait autour de la verticale du point de suspension avec une vitesse angulaire constante, la longueur r du pendule et la vitesse angulaire tù' étant déterminées par les équations (71).
rfcm^^
)rte de remarquer que l'expression de r renferme {| et,
k|uent, l^fy, d'où il suit que la longueur du pendule de
ion dépend de l'inclinaison initiale de l'axe Oi; sur la
leOX.
le de r est le même que celui de /| ; il faudra donc dis-
lomme dana le problème II, trois hypothèses :
A) n -f- «cos^-cos^o > 0,
B) H -t-«C08) C03Ço< 0,
C) n -(- » cos X cos tin = 0.
hypothèse A), on devra simplement appliquer les foriméea dans les paragraphes II et III pour le mouvement lie à plan d'oscillation tournant, et l'on aura à discuter émes absolument analogues. La quantité désignée par/* «ur expression
2C/, 2C« -H {2C — A -H Cj— A()«cosAcoBïo
désignés par I), II), III) correspondront aux trois hypo-
; (C — A -«- c,— A»)«cosi
II) est le deuxième cas d'équilibre signalé ci-dessus. Le iiprend les hypothèses subsidiaires
> (âC — A + c,— A,)"cosA
ilisables si l'on admet que la valeur de n puisse varier 00 jusqu'à + 00 . La solution analytique complète du mécanique, dans ces différents cas, s'achèvera par de
"2 - ÇKT • -•
simples substitutions dan(s les formules du § III ; il serait done inutile de reproduire ici ces calculs. Nous ferons seulement, au point de vue mécanique, quelques observations. i"" Dans le cas où Ton a simulianément
/•>cosÇo et /•<i,
l'axe OÇ oscille en restant toujours du même coté de la droite OX, fangle ^ variant entre deux limites H^ et ^|. Cette circonstance curieuse ne pouvait se produire dans les expériences de M. Sire, où n avait toujours une valeur très grande relativement è co, et où cos 2^1, par conséquent, aurait eu une valeur numérique supérieure à Tunité. Aussi ce fait mécanique ne nous parait pas avoir été soupçonné. Il est certain, pourtant, que pour un rapport convenable de n et de u, le phénomène de Toscillation de Taxe d'un même côté de OX se produirait, mais il faudrait recourir à des artifices d'expérimentation pour l'observer.
Au contraire, lorsque /"est > 1, Taxe du tore oscille également de part et d'autre du plan du grand cercle; c'est le cas étudié par M. Sire.
^ L'équation difTéreniielle du, mouvement de l'axe du tore étant exactement la même que celle du mouvement pendulaire, nous pouvons appliquer ici les conclusions obtenues dans le § I. Nous avons reconnu que Taxe 0^ admet quatre positions d'équilibre relatif, ou deux seulement. Dans le premier cas, celles qui coïncident avec la direction OX ou avec son prolongement sont des positions d'équilibre instable; l'équilibre stable se rapporte aux positions définies par l'équation (70), qui sont symétriques par rapport au plan du méridien. Dans le second cas, la position d'équilibre stable coïncide avec OX ou avec son prolongement, suivant que w h- w cos X cos 1^ est > ou < 0.
3° Le cas B) où l'on a
w -+- « cos X cos Ço <C
se ramène au cas A), comme nous le savons déjà, en renversant dans le pendule de comparaison la direction de la pesanteur, ou en remplaçant Çpar n — 'C, dans Téquation différentielle.
Quant au cas particulier
C) n -f- « ros > cos Co =» 0,
il correspond à celui du problème II dont la discussion se trouve au n* 19. L*axe du tore oscille de part et d'autre d*une perpendiculaire OY au plan du méridien, et les formules de ce mouvement se déduiront de celles du n* 19 en y remplaçant
cùV u par 0COS > \/
S9. Il reste, pour achever la solution du problème, à calculer la rotation du disque, ou à trouver la valeur de 9 en fonction explicite du temps. L'équation (65), où Ton remplacera /^ par sa valeur, donnera
df
— = w — « cos i (cos ç — cos Ço)»
dt
et, par Pintégration,
f = f -♦- w^ — «cos iy (cosÇ — cos?;,) dt.
Dans chacun des cas indiqués ci-dessus, cos Ç — cos i^o s'exprimera, comme on Ta vu, en fonction d'un argument
u = p^ + K, par Tune des formules (21), (29) ou (34), et Ton aura ainsi
f = fo'^nt / (cosÇ — costQ)duy
ce qui conduira à des intégrations absolument semblables à celles que nous avons effectuées aux n*" 22, 23, 24, 25, où Ton n'aura à faire que de simples substitutions dans les coefficients constants. II ne vaut donc pas la peine de nous y arrêter.
En terminant la discuasion de ce problème sur le polytrope, nous ferons une remarque importante au point de vue de la comparaison des résultats offerts par nos calculs avec ceux que rexpérience permet de constater. Nous avons partout supposé que le système de comparaison auquel nous rapportons les mouvements des diverses pièces du gyroscope» c*est-à-dire le grand cercle- méridien C, fût animé d*une rotation m parfaitement uniforme autour d'un axe fixe, parallèle à OS. Cette condition ni) saurait être réalisée exactement dans les expériences, surtout avec Tappareil de M. Sire. Ici, en effet, la rotation d'mirainetnent dvk système général est produite par une manivelle sur laquelle Topérateur agit directement, en développant un effort aussi consuint que possible pour obtenir une rotation uniforme. Or^ les réactions que le tore en mouvement exerce, par ses pivots^ sur Panneau intérieur, et qui se transmettent par oèlui-cj, 1^ Panneau extérieur et au grand cercle C, viirient périodiquemenf d'intensité avec les quantités (' et 9', comme cela apparaît immédiatement et comme on rétablirait aisément par des calculs convenables. Il en résulte nécessairement que Teffort développé par Texpérimentateur devrait aussi varier périodiquement d'intensité pour maintenir la constance parfaite de la rotation ai, et c'est ce qui n'a jamais lieu. Les conditions de l'expérience ne répondent donc pas d'une manière rigoureuse à l'hypothèse sur laquelle est fondé notre calcul. Pour en approcher d'aussi près que possible, il faudrait supposer au méridien tournant une masse extrêmement considérable et en quelque sorte infinie par rapport à celle du gyroscope.
C'est ce qui a lieu quand, au lieu d'être fixé au polytrope, le gyroscopie est fixé au globe terrestre. Aussi notre équatiofi différentielle coïncide-t-elle avec celle que M. Louner a trouvée pour le problème du gyroscope de Foucault, dans les conditions mêmes où nous nous sommes placé dans ce problème IV.
