J VUI

t Di M. aiu (suite).

On âuppoie, dans le polylrope, que Fanneau extérieur E toit fixé dam un azimut quelconque relativement au plan ZOS (6g. S), qui eit toujours celui du méridien C ; mail que Vanneau I lotf libre de tourner autour de son axe X|OX).

Le disque ayant reçu une rotation initiale a autour de ton axe de figure Oz maintenu immobile relativement au méridien, on demande de trouver son ntouwtnenl.

mouvoir que dans ud pian ZOH, fixe ! comparaison. Lea mêmes notalions lions du problème nous donnent

ist.

igy(=agiaXsin) — cosJlGosfBinft, leost -t-eoslsintiin^:

I formule (S6) devient

os' ri ->-C[r' ■*• ocosnl'] +lenne< eonst^

atioQ (3) nous prenons 9 ■™ 7. 9 ■= 9t

' + u COI ft) — > 0,

^*où suecèssiYement, l^ élanl une constante»

(7â) f'-*-«cci§rt — 'i,

dé' d.cosVi «, d.co8ri ^

dl de • d«

Mais les relations

cos' n -«- ces* rt •=" ^ — ces' y « eonsf., d. cos T^t

de

— sin X sin 9 + cos A cos tf sin |o " — cos ri »

permettent d*écrire encore la seconde équation sous les formes suivantes :

-- . de' , ,d. cos'rt ^, d.cosr«

de'

(75') . . a— ÔAi* cos n cos n + C/| » cos r I »■ 0.

dt

La seconde va nous servir à détei'miner les positions d*équilibre apparent de Taxe Oi; dans son plan directeur ZOH. 6i étant supposé nul, il faut et il suffit, pour cet équilibre^ que (^) le soit aussi. D*où la condition

« cos r« (C/j — 6» cos y») i= 0,

7io» 720 désignant les valeurs initiales de 7^ et de y^. Mais si

nous continuons à appeler n la vitesse initiale de rotation du

tore, nous aurons

/|BB n -4- «cos^io,

et réquation d*équilibre prendra la forme

(74) . . . cos rio [Cn -+- |C — 6) » cos r»] =»

On satisfait à cette équation i* en posant

roiie OY), (terpendiculaire au plan X^Oi;. doit donc être aussi perpendiculaire t OS, donc OS sera dans le plan XfOcè riostanlt = 0. Hais comme le plan X,Oi;est normal au plan directeur ZOH (fig. 9), Il s'ensuit que la posilion iniiiale de l'axe OC du tore devra coïncider avec la projection OS) de OS sur le plan directeur ZOH, ou avec son prolongement.

'*' ' Ainsi,

que le plan X|OZ de l'anneau extérieur est fixé deau un quelconque, de façon que l'axe 0^ du tore ne puUte se

r (jue dans un plan ZOH normal à X^OZ, <t cet axe ett

primitivement suivant la projection de OS sur le plan

ir, dans un Ment ou dam l'autre, ily restera en équilibre

tt.

I verrons plus loin dans quels cas cet équilibre est stable.

>n peut encore vérifier l'équation (74) en posant

Cm- (C — 6)oco8y«i = 0,

positions d'équilibre, qui répondent à des valeurs égales 7»> ^'> P^i* suite, à des directions égnlemenl écartées de d'autre de 0S|, ne peuvent exister que lorsque les vitesses

res n et d) sont des quantités de même ordre de grandeur.

le se présenteront donc jamais dans les expériences gjros-

es ordinsires où n est toujours très grand par rapport à u.

e^;!, en elTet, admet un minimum, savoir, précisément

SOS, = e

compris entre OS el sa projecUoD. Or on a, comme on le voii sans peine.

eo8ff«al/l — cos' A ces'' fH»;

la condition pour que ces deux dernières positions d*é(|uilibre existent est donc que Ton ait

Cn

(6-Cj

^Vi — cos* X coa* ^0'

Siy au contraire, on se donne à volonté Tangle 720 » on pourra toujours déterminer n de façon que 6 reste constant. On aura pour cela Téquatiou

Lorsque 6 — C est nul, ou quand on a la relation

Taxe du tore reste en équilibre dans toutes tes directions initiales pour une vitesse rotatoire n égale & zéro.

Nous avons déji trouvé un cas analogue dans le second problème.

S4. Étudions actuellement le mouve[nent du tore» lorsque les données initiales ne satisfont pas à Téquation (7i).

L*équation (73) sintègre immédiatement et donne» /, étant une constante»

a — ca /, -f- 2C/4» cos y, — 6«' cos' rt« dt

Pour déduire plus aisément les conséquences de cette équation» désignons par C l^angle que fait Taxe 02; du tore avec la

>JeiKioo OSk Z étant compté poulJTement dii» te même leii» e 0. Noni aurona évidemmeot

CMri = C4»*c<HC Ii^n + scoifCOiÇ», t'équation ci-dessui deviendra

a-r^ — lt-*- 8C/,« COI f COI ï — tm* coi* i cob'Ç, or

, ai l'on détermine /, par la condition Ç-^O,

') j^— — ^ (COSÇ— COiïJ {co»*C-«M%).

dV a a

Cette équation, qui définit l'angle i; et par conaéquent la posin de l'axe du tore dans le plan directeur par rapport i OS] , lentifie avec l'équation (11) du pendule simple ft plan lour- Qt, pourvu que l'on pose

,i bit* eus' f g Cl,a cos (

. /A + C, — A, ' V Al- A, '

g(A-i-A.) (^w cos f [n + « cos t cos Irt)

De là ce théorème remarquable, qui ramène de nouveau le iblème proposée une question résolue com|ilètement : L'anneau extérieur du gyroicope étant fixé dont un azimut

quelconque autour de OZ, de sorte que Faace du tore ne puiae se mouvoir que dans un plan fixe passant par OZ, cet axe oscillera, par rapport à la projection sur le plan directeur de la parallèle OS à l'axe de rotation du uténdtéiiy êuivant la même loi qu^un pendule simple de lohgueur r, do^t le plan tournerait autour de la verticale avec une vitesse angulaire constante (ù\ les valeurs de r et de V étant déterminées par les équations (76).

Il suffira donc, dans les formules des §§ II et III, de faire les substitutions indiquées par les équations (76). On aura rf*abord à distinguer les cas dans lesquels r est positif de ceux où r est négatif, c*est-à-dire les cas

A) Il ^ » COS £ C08 K9 > 0,

B) n -*- «» cos f 008 Ko < 0,

C) n -4- 0CO8ceoiii;«<»O.

Le premier cas correspond directement aux formules du mouvement du pendule i plan d*oscillation tournant; la quantité désignée par f est ici

3C/« i£n + (âC — 6) » cos r cos ^

/ = 7— -cosÇo

6»cos«

6» cos f

et il y faut encore distinguer les trois cas

ou, ce qui est la même chose, 6, o et cos e étant d*ordinatre positifs,

I) Cn ^ (C — 6) » cos € cos Ço > 0,

II) Cn + (C — 6) « cos « cos S^^ «=> 0, III) Cn -*- (C — 6) « cos e cos Kq < 0.

Enfin, le cas 1) comporte lui-même trois hypothèses :

fi>.

ou