SC — 6) 008 C

6) «=-; ^ j»CO»»,

6-(aC--6)co«t,

Dans le eas I, a), l*axe du gyroscope oscille en restant toujours du même côté de 0S| , Tangle ( varie entre (q et d , ce dernier angle étant défini par Téquation

cosÇ, = /".

L*angle i; s'exprime en fonction explicite du temps par les formules (19) et (21) du n* 9, dans lesquelles on substituera

^ÇojMi Ct — ti sin p

sine

p S3E£ tf cos s sm flt

V/ - ass »V/^ cos s sin «.

La durée totale de Toscillation sera

avïi cos s sin a

Dans, le cas 1, c). Taxe oscillera symétriquement de part et d'autre de 0S< , entre les valeurs Ç^ et — Ço de Ç (c'est le cas des expériences de M. Sire). Le mouvement de Taxe dans son plan directeur sera représenté par les formules (29), où Ton devra faire

s= - » sm 6 B=> sm

i — cos a cos |3

f -4- cos « cos P

• / b» cos €

mal/

y C/i -«- (C — 6) f» cos f

GOSCt

/i COS i sm a

sinp

(1 -»- cos a COS p).

La durée totale d*ane oacillatibn sera . 8K sîn p

al/fi cos i sîn «(t -t* cos « cos |3)

Le cas II) est le deuxième cas d'équilibre discuté au n* 33. Enfin, dans le cas III)» on fera usage des formules du n* 13, [(32), (33), etc ], avec les substitutions

sinp

SlïïOL

p oa oKÂt cos e sin a.

L*axe du tore oscillera encore d*un même côté de la projecdon

0S|, mais 2;t sera plus grand que I^q; la durée de Toscillaiion est

donnée par la formule

» V^fi coâ f sin a

u L*hy potbèse B), où n •+ co cos c cos J^o est < 0, donne pour la longueur r du pendule de comparaison une valeur négative. Nous savons déjà que cette circonstance répond à t|n renversement dans la direction de la pesanteur, c'est-à-dire qu'il faudra, dans les équations précédentes, remplacer la droite OS^ par son prolongement ou C par TT — 2;. On retrouvera donc les mêmes formules et les mêmes conséquences.

Reste le cas C) où n -4- g» cos e cos Co <= 0, qui correspond dans le deuxième problème au cas traité au n* 19.

L'axe du tore exécutera des oscillations d'égale amplitude de part et d'autre d'une perpendiculaire à 0S| dans le plan directeur, et la loi de ses oscillations sera donnée par les formules (45) et (46), dans lesquelles on remplacera seulement o par o cos c. La durée d'une oscillation sera

* a VfL cos s

.i^^ij>..

Le mouvement d*o8cillation de Taxe du tore étant ainsi parfaitement déterminé, il nous reste k eonnattre la loi de la rotation du tore, ou à trouver Texpression de Tanglc f , ce qui se fera encore par des formules semblables à celles du problème H. ^équation (79) nous donne

— «= /| — » COt rt "*= ^ — « C08 « (cos ç — cos Çp) , di

d*où nous tirerons, en intégrant et posant

ti,

«COSf /^

f — fi -♦■ !•< / (cos K — 008 Ko)

du.

Cette équation ne diffère de Téquation (47), relative au problème II, que par la substitution de co cos e è co. En outre, Texpression de p, dans les différents cas qui se correspondent dans le problème II et dans le problème actuel, ne diffère également que par cette substitution, ainsi qu1l est facile de le voir en comparant les formules des n** 17 et 18 avec celles du n* 34. Il en résulte que le^ formules finales, pour la rotation du tore, s'obtiendront en faisant ce simple changement de tt en u cos e dans lés équations (50), (83), (53), (54). Nous aurons donc 1* pour le cas I, a),

f ■" f -♦- (» — « cos eifiP sm Ço) * -^ — =: P^

V/Ma((r)

1 r^s (pi -+- ff) I -*- sin p sn pli /T * U (p' — <") i — sinpsnpj

les valeurs de a, ^, p étant celles qui se rapportent au cas I, a) et celle de ? étant donnée par Téquation

cos a

sn 9 c» ;

cos^

9* Pour le cas I, c).

(a sin « sin ia\ n- 1 cos « -«- cos fil

qp 9) 4 -4- cos « cos p — sin a sin ^ sn ^ d= ff) i -H cos a cos p -«- sin « sin |) sn pf

et les valeurs de a, P, A:, p seront celles qui se rapportent au cas 1, c) duf n* 34; 7 sera le plus petit argument positif qui vérifie Péquation

ksn

3* Pour le cas III), nous aurons

I •'(<r) f** fo -♦-(«-*-» COS f tg ^ sin Ço) I -4- — ^ pf

{pt — «•) i — sin p sn

2\/^ l ®i (p* "^ ^) ^ -♦- sin p sn

avec substitution des valeurs de o^ p, p, 7 qui conviennent è ce

cas;

4* Enfin» pour le cas particulier C), la valeur de 9 se réduit,

par la relation

Il -^ tt cos ff cos 绫a 0, à

f =• fo / cos ç ail,

et en posant

p BB « V^fA cos f ,

et remplaçant cos 2; par sa valeur correspondant à ce cas, on trouvera

i i — cos Z;, sn (vt V^fi cos e)

2l/fî i -4- cos (0 sn [Qt ^ft cos e)

Dans ce dernier cas, il n^ a plus de terme proportionnel au temps dans Texpression de Tangle 9; la rotation du tore autour de son axé de figure s'effectue alternativement dans un sens et dans Tautre.

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