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ST. PfioftLÉiiR VI. — Dêtrrminer te tnoutmnenf d'un point pesant M itir un eerctt çw loume, avec une uileise angulaire conttanle »', autour d'un axe vertical ST Htué dans ton plan (fig. 1 0).

Prenons pour système de comparaison la verticale Z'Z passant par le centre du cercle, rhoriîontale XOX' |iii rencontre ST; soient m la masse du point, r le i-ayon du cercle, A la dismnce OA de son centre h ""■ '"■ l'nxe ST, C l'angle que fait

le pendule OM, à T^poque t, avec la nadirale OZ, cet angle étant compté pugitivemeni de OZ vers OX, négativement en sens contraire. Nous ferons encore usage des relations (3), (3), (4), (S) Cl (6) du § I, et comme le corps se nMuit ici à un point, nous écrirons immédiatement

T—iMrV, G = — mr-sin'ï, V = 0,

L'accélération J de l'origine mobile O est dirigée suivant OA ei égale à (a'*A, donc

Nous avons donc

U -4- N «a fitr (9«cos Ç — «'* A sîn Ç),

et réquation (2) nous donne, après division par fnr\

(77) . . — - rsss a'* sîn Ç cos Ç — - sin Ç ces Ç,

al r r

pour Inéquation différentielle du mouvement.

\. Nous cherchons d^abord les positions d*éqtiilibre relatif du point mobile, ou les valeurs de (q po*»* lesquelles f^| serait nul. En désignant par E une de ces valeurs, nous tirerons de réquation (77), pour la déterminer,

(78) • . «'*8inEcosE—-sinE cosE«0.

Pour résoudre commodément cette égalité, nous poserons

(a) . . a; «a sin E, ir «» cos E,

ce qui permettra de remplacer Téquation (78) par ces deux-ci :

(P) . . . . xz — fiz — yx = 0, x'-f-z'==1.

On reconnaît les équations qui traduisent ce problème de géométrie : Par un point K, dont les coordonnées sont ^xetv par rapporta un système rectangulaire XOX', ZOZ', mener une droite sur laquelle ces deux axes interceptent une longueur PQ égale à l'unité (fig. 11).

Les inconnues xeiz sont respectivement les distances OP, OQ de Torigine aux points où la droite cherchée coupe les axes.

Si donc, dans le plan XOZ du cercle mobile, je construis le

point K pir ses toordonnéet fietv [éi|. («)], et que je tnoe la droite PQ uUafai-^ sant ft la condition indiquée, on voit par les relations

X => «D E, «■nCOlE,

que E sera l'angle OQP. Donc ta droite OR, menée du centre au milieu R de PQ, sera une potitioH d'éijuiUbre du pen- ». ,,, duk, puisqu'elle

fera avec OZ UD

angle égal b OQP ou E, vérifiant, par conséquent, l'équation (78).

La détermiflatioo des positions d'équilibre est donc raïuenéc i

ee problème de géométrie bien connu.

Or, on sait que ee problème admet t/uatre solutions, ou deux

seulement. Le premier cas est celui où l'on a

e'est4-dire où le poinl K e!>t dans l'intérieur de l'épieyeloïde qui a pour équation

La condition correspondante, dans notre problème de mécanique, sera

(79) A^-.-(^)'<ri

Si A est plus petit que r, c*est4-dire si Taxe ST coujve le cercle tournant, eomme on peut attribuer à la vitesse u' une

valeur aussi grande qu*on le désire» cette condition (79) pourra toujours être réalisée pour une valeur suffisamment grande de o'. Il y aura donc alors quatre po$ition$ d'équilibre du point M sur le cercle mobile. Les coordonnées jul et y étant positives, le point K est dans Tangle XOZ; il y a dans cet angle deux positions d'équilibre M^ M^» construites comme il est dit plus haut (fig. 11); il y en a une troisième M5 dans TangleZOX', une quatrième M4 dans Tangle XOZ'. L^angle X'OZ' n*en renferme évidemment aucune.

Dans le second cas, celui où Pon a

fi* 4- y* > I , ou

il n'existe plus que deux positionê d'équilibre, Mj et M4, les deux premières, dans l'angle XOZ, disparaissant. On a, comme caslimite des deux précédents.

le point K est sur Tépicyclolde, les points M^ et M9 se confondent en un seul, et le mobile m admet (rots positions d'équilibre. On remarquera aussi le eas particulier où Ton aurait

qui nous ramène au problème du n® 4, Taxe ST passant par le centre du cercle. Il est facile de voir que Ton retrouverait, comme cas particulier de la construction ci-dessus, la solution que nous avons donnée pour la détermination des positions d'équilibre du mobile dans ce cas.

K Pour reconnaître, dans le cas où a lieu l'inégalité (79), quelles sont, parmi les quatre positions d'équilibre, celles qui

appartiennent i Téquilibre stable, on observera que, en v«rtu de réquation (77), le signç de ^ est toujours le même que celui du second membre de cette équation, lequel, étant une fonction continue de (, ne peut changer de signe que pour les valeurs de C qui annulent ce second membre, c'est-à-dire, qui sont égales à rgne des valeurs de E, racines de Téquation (78). Donc, ^ ne peut changer de signe que lorsque le point mobile atteint Tune des positions M^, Mj^ M^, M4. D*autre part, si la vitesse initiale est nulle (i;' <» pour t «> 0), le signe de^ , aussi longtemps qu'il ne change pas, détermine celui de (', ei, par suite, le sens dans lequel le mobile se meut. Il suffit donc, pour trouver dans quel sens se déplacera le point M quand sa position initiale sera sur Tun des arcs M|Mi, M2M4, etc., de connaître le signe de la fonction

«'• sin ç cos Ç sin K

cosC

en un point déterminé de chacun de ces arcs. Or, sur Taxe OZ, on a ( = 0, la fonction est négative; sur OZ', où(=>7r, la fonction est positive (fig. 1 1). Sur les axes OX et OX', on a respectivement

la fonction prend le signe — et le signe -h. On en conclut immédiatement que -^ sera toujours positif dans Tangle MiOMj, négatif dans Fangle M2OM4, positif dans Tangle ]Vl40iM3, négatif dans Tangle M3OM1, et, enfin, que M2 et M3 sont les positions d! équilibre stable^ M^.e^ M4 les positions d^ équilibre instable.

Quand on est dans le cas de Tiné^alilé (80), les positions Mf et M2 disparaissent; il reste la position d'équilibre stable M^ et la position d équilibre instable M4.

Une discussion, fondée sur d'autres méthodes, conduit aux mêmes conclusions pour la répartition des positions d'équilibre.