INTRODUCTION

Ce travail est la reproduction, sauf de légers changements de rédaction, du mémoire que j'ai présenté le 30 janvier 1882 h TAcadémie des sciences de Paris, et auquel, a la suite d*un savant rapport de M. C. Jordan, elle a accordé Fhonneur de l'impression dans les Mémoires des Savants étrangers (*).

Dans ce mémoire, je me suis surtout proposé d'étudier les mouvements relatifs d'un système de corps de révolution, par rapport à un système de comparaison animé d'un mouvement de rotation uniforme, en utilisant une équation fort remarquable, due à E. Bour (**), Cette équation, que Bour a établie par des calculs assez longs, approprie aux mouvements relatifs les formules dynamiques de Lagrange, et Bour s'en est servi pour former les équations canoniques de ce mouvement suivant la méthode de Jacobi. Mais sous sa première forme, qui se démontre en quelques lignes, comme on le verra plus loin, cette équation est peut-être la plus commode pour l'étude des mouvements apparents, du moins lorsqu'on interprète géométriquement, comme je l'ai fait, les diverses quantités qui y figurent. On verra avec quelle facilité elle fournit, dans chaque problème, les équations différentielles du mouvement en fonction des variables les plus convenables, sans aucune transformation de coordonnées, sans qu'on doive recourir aux forces fictives de Goriolis.

J'ai eu aussi pour objet de réduire ces mouvements divers et assez compliqués à un petit nombre de types simples, tels que

{*) La Commission était composée de MM. d'Abbadie, Yyon Villarceau, Resal et C. Jordan, rapporteur. Le rapport de M. Jordan a paru dans les Comptes rendus, séance du 47 jmllet 4882.

(**) Journal de Liouville, S"» série, t. VIII, 4863, p. i. Il s'agit de l'équation (IV) de ce mémoire.

le Taçon qu'ayant poussé jusqu'au ins elliptiques, ia solution de oes le simples substitutions dans les >lution également complète des

haut donne immédiatement les I mouvement relatif d'un anneau, litionnelle, et mobile autour d'un mouvement uniforme autour d'un lonireni que son mouvement se in( sur un cercle loumanl uniforvertical. C'est là un de ces moutlrera fréquemment dans la suite j ipé complètement la solution, en tion du temps au moyen des foncnlre d'ailleurs des particutarités néca nique.

le composé d'un disque D auquel our de son axe de figure, d'un leau extérieur E qui est mainlenn : son diamètre OZ. Je trouve qu'il s d'équilibre relatif pour l'asc du ire imprimée au tore; que ai cette ra pas généralement en équilibre, es moments d'inertie du tore et de ion simple, auquel cas l'équilibre - I. En général, l'oscillation de l'axe ivra les mêmes lois que celle du ïurnant, dont il est question ci- )r les formules de ce premier proa loi de rotation du disque se fait Uipliques.

ppareil destiné à imiter les effets re sur les corps tournant rapidebelle application de la méthode, s rigoureuses du mouvement du

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IHTRODUCTIOn.

tore et de ses anneaux, pour une rotation iniiiale quelconque du tore. Lorsque le lore et les anneaux du gyroscope sont libres, il peut y avoir plusieurs positions d'équilibre pour l'axe du lore, et le mouventent est ramené aux forniules qu'a données M. Loltner. Quand l'axe de ligure est guidé dans un plan fixe par rapport au méridien tournant, si la rotation initiale du tore est faible, il existe pour l'axe une position d'équilibre stable qui ne coïncide pas avec la projection, sur le plan directeur, de la parallèle â l'axe de rotation du méridien. C'est un résultat curieux, parce qu'il est en contradiction avec ce que le principe du paralié* lisme des axes nous avait appris, mais gui n'était applicable qu'à une rotation rapide du tore. Hors du cas d'équilibre, l'axe de figure du disque suit encore les lois de l'oscillation du pendule simple à plan tournant, données par les formules du premier problème.

Je traite, dans la deuxième partie, les problèmes plus neufs dans lesquels la pesanteur intervient en même temps que la rotation du système de comparaison pour dévier l'axe de figure des corps tournants, mais ici les oscillations de l'axe se rattachent jt un nouveau type, le mouvement d'un point pétant tur un cercle qui tourne uniformément autour d'une verticale ne passant pas par son centre. Ici encore notre méthode lire immédiatement de l'équation de Bour celle du mouvement du point et les positions d'équilibre relatif. Ln détermination de ces dernières, qui sont au nombre de deux ou de quatre, se ramène élégamment à la construction d'une droite passant par un point donné et sur laquelle deux axes rectangulaires inierceptent une longueur donnée. Je discute les posiiions qui appartiennent à l'équilibre stable, et je montre que les formules du mouvement dépendent encore des fonctions elliptiques.

Le curieux pendule gyroscopique de M. Sire se prête à une étude complète et rigoureuse par cette méthode, quelles que soient la masse de la chape et la vitesse de rotation initiale du tore. Lorsque celle-ci n'est pas trop considérable, ie pendule admet quatre positions d'équilibre relatif qui se déterminent comme celles du problème précédent, ce qui rend compte d'un '

INThODUCTIOD.

expliqué, que M. Sire avait rencontré dans

e la tige du pendule, dans le cas général, se uvemenl oscillatoire du point pesani, consïne précédent.

ique la méthode générale, exposée au § I de louvetnenu relatifs d'un corps ou système d'une planète, animée d'un mouvement de utour d'un axe fixe, et que l'on regarde ta instante en grandeur et en direction pour orps, on obtient l'équation de Bour, et par ions différentielles du mouvement, sous une [ui renferme un théorème général remare: simplifie encore lorsqu'on suppose, ce qui :pérîences faites à la surface de la terre avec iicauli, que le centre de gravité du corps ne O du système de comparaison pendant ouvement. On n'a plus alors à calculer, en mées que l'on choisit les plus convenables problème, que la force vive 2T du système it relatif ei la quantité V, produit géomépulsion relatif par l'axe instantané OS du ison. Tel est l'objet du $ XI.

hes suivants, nous appliquons cette méthode emeni apparent du gyroscope, en tenant le l'ordre du earrè u' de la vitesse de rotadans les différents cas considérés par les nt, par suite d'une différence dans le choix équations difl^èrent de celles de Bour et de termes de l'ordre de u^, ce qui nous donne par les fonctions elliptiques certaines équa- ]ui n'avaient pas été traitées ; nons obtenons du temps les valeurs des angles 6, i^, 9 dont u tore et de ses anneaux, tore est assujetti à se mouvoir dans un plan a planète, ou sur la surface d'un cane fixe.