XIV
(Suite). FORMULES POUR LE CAS OU H EST NÉGATIF.
m. Deuxième cas; n < 0. — La discussion et les calculs se font d^une manière toute semblable et conduisent à des résultats analogues, qu'il suffira d'indiquer brièvement.
L'angle 6 que fait Taxe du torç avec ON varie entre 6oi Hn^îl!^ supérieure, et Gf, limite inférieure; donc Xi est > Xq et les racines de X, rangées par ordre de grandeur, sont
a:, < Xo < ar, < Xs .
La valeur de -r est d'abord positive. On a donc
dt
-ivé
dt
dx
^ k (X — Xo) (X Xi) (X Xs) (X — Xj) '
et par la transformation de Richelot, en faisant varier z dans le même sens que t^ on posera
y/ (Xç,— V Iv
^ — ^ \ /(^o — Xi) (Xî — X,)
(Xi — X,) (Xî — Xa)
X ~~" Xn ^ (Xo '^~
Xt) (Xi — Xi) 1 — z
(Xo— XîîKXj — Xo) i -f- z
p = — r l^(C — A) (x, — Xo) (X3 — X,) .
On trouvera alors, comme dans le premier cas,
dz
fdt =
doù
z = sn (p« — K) = — sn (pf -f- K),
et l*on retombera, par les mêmes transformations, sur des résultats qui ne différeront de ceux du premier cas (n > 0) que par la signification de A: et de p :
linfl. V
cos 0, — C08 e 1 . / X,' i -♦- sn (pi -4- K).
cos d — cos % sin 8o ^ 2ACncj \ — sn (pf h- K) ou
cos Oi — cos é
?i— cos e Jl m / X; p,(i fO ^5(00 1' ï — cos 9o sin So V SJACww L^ (i /)0 ©i (i /oOj
La durée de Toscillation de Taxe du tore, dans le plan ZOç, aura pour expression •
? « l/(C — A) (Xi — :ro) (Xs — Xt)
Pour calculer les valeurs de 4^ et de 9, on se servira toujours des équations (98) et (96), qui se traiteront comme dans le cas précédent. En posant
▼ JTt "^^ Xn • iJyl
Xî
«H/3 — Xq ' «2/| ~~* Xf
et conservant aut lettres F, G, F^, G^ les mêmes significations que dans les équations (114), on trouvera, pour exprimer ({/, la même équation (116) que dans le cas de n positif. On reconnaîtra, par les grandeurs relatives des racines de X, que ts et m' sont compris entre zéro et Tunité, et par Tégalité
vs — — w = ■
\Xz — ^o) (^1 — X*)
que w est plus petit que m'. Les arguments a et a^ étant encore définis par les équations
k%ua = >
l'équation (117) subsistera sans changement. Mais comme sn a est ici négatif et compris^ en valeur absolue, entre 1 et^ , on doit poser
a ^=: tri — K,
a étant compris entre zéro et K et défini par Téquation
\ F*| -f- G| 1 -♦- oor'
sn (fft — K) = —
dn(o', A') F -♦- G 1 — ao'
On trouve ensuite, par une discussion analogue à celle du n» 57,
en a = — »
(F -^ G) (t — oo') y (Xi — Xt) [x^ — Xo)
dn a s» = '
et enfin
/, -^a, FG, — GF, __^ K
2A/7 k[F -^ Gl'cn a dna 2» '
X désignant -^ 1 si ^ hh C/| est positif, — 1 si I2 h- C/^ est négatif.
De même, o-| étant un argument réel compris entre zéro et K,
on trouvera
Oi = <T^i ± K,
où Ton prendra le signe supérieur ou le signe inférieur suivant que Ton aura
tj' <^ 1 — Xo
et il en résultera, après diverses transformations analogues à celles du n"* 58,
/, — a, FGj — GF, ^ ^1 2Ap A(F-G)*cna, dna,"" ¥i'
où X| = db 1 suivant que l^ — C/f est > on < 0.
slituanl ces résultats dans réquation (116) et opérant les 3 réductions qu'au n* S9, on trouvera enfin les deus fbrsnivantes :
I F{tJP — Clfi)
Air -G')
■) I + A:sn («") sn(pl)'
Jlili!il i^-'i P ''' ~ ° a.i..H' sImp'*»
!«.(.,.)' -2 L'if'-i
■) <±t.~(.,Oin( |.l)-|)
ï}' *a ■[.(pi*.!)' •('■)'(
i(,i)-«.M',lf<)J)
:ii(fi)±i,(.,ili,(.im
ts ne difTèrent respectivement des équations (121) et(f22) Br la signification des lettres k, p, etc... La valeur de 9 en in du temps se caiculeràit aussi de la même manière t)ue e premier cas (n* 60) et l'on serait pareillement ramené ^uations (123) et (124). 11 est donc inutile de répéter ces
, Quelques conséquences mécaniques des formules précé-
détermination, en fonction du temps, des angles 6, ^, f A, comme on l'a vu, delà résolution d'une équation du ème degré en x, X = 0, dont on connaît à l'avance une
^0 = eos %.
st donc possible de débarrasser l'équation de cette racine, n remplace, dans l'équation X = 0, /^ et l^ par leurs •s (105), en observant que l'on a
cosi^j-u, sio'e, ^1 — xl, s
[CU{j,-x)-A^,-xl)y
[(2A— C)(l— iî) + (C— *)()— a;')]A(l~i') = 0,
S quelques réductions faciles,
C'/î (a;o — xf - 2AC(,B(a:„ ~x){\—xl] ■ a'A [(A — C) (1 — x") - A (I — j;!)] [xl — a;') =, 0.
rimant le facteur Xg — x, on aura l'équation du troisième
x)-i^Ct,a{^—xl)-*^^'A{x„•*-x)[A{xl—x^)—C{^—x^)]=0.
I pour racines x,, Xj, Xj, la première seule étant com- Ire — I et -h ]. Si maintenant nous remplaçons l, par sa 1 — u xo et si nous ordonnons suivant les puissances nies de-, nous aurons
[ï, — x)~~ [Cx,(x,— x) + A (1 — xî)]
[C'xî(Xo— x)-+- 2ACx,(l— xî)-4- A'(x, *x)(a^ — x')
is, pour plus de simplicité,
aurons, après quelques réductions faciles et en divisant
- — (>.+x^-^xî)+ ^ [f-Kl-^) xî -M'-/') (2x.-J)*j =0.
Les racines de «elle équation du iroisiéme degré en i sont les différences Xq — X| , Xo — Xj , xg — Xj . En joignant la condition que X| soit compris entre — 1 et -i- I, on aura tout ce qu'il faut pour déterminer la valeur de S qui correspond 1 cette racine. On arrive ainsi & quelques conséquences intéressants :
1* Si, comme c'est le cas dans les espériences de Foucault à la surTace de la terre, u est très petit et n extrêmement grand, de sorte que le rapport^ait une valeur excessivement petite dont le carré soit absolument n^lîgeable, comme les quantités
fi , X( , i^ Xit — X| .
sont, en valeur absolue, moindres que 1 ou que 2,* les coefficients des puissances de ^ dans l'équation (t2S) ne pourrAnl dépasser des limites assez faibles et Taciles A assigner. Il s'ensuit, nécessairement, que la racine i qui correspond è Xg — X| ne peut être qu'une quantité très voisine de zéro. Le troisième terme ae l'équation, qui a pour focteur
sera donc tout it Tait négligeable, el l'on aura avec une rès grande approsimalion
ou, en négligeant encore un terme de l'ordre de ^, SAusin'B*
On voit par là que les angles So «' ^i "^ diSéreroni pas l'un de l'autre d'une quantité appéciable; l'axe 0^ du tore paraîtra donc faire un angle constant avec ON et décrira, dans son mouvement apparent, un cône de révolution autour de U ligne
boréale (*). On retrouve ainsi les résultats déjà connus par les méthodes d'approximation ordinaires; aussi nous ne nous y arrêterons pas. Nous ferons observer seulement que les racines i qui, dans Téquation (125), correspondent i jr^ et à 0*3, sont nécessairement très grandes, sans quoi Ton conclurait comme plus haut qu'elles doivent être très voisines de zéro, ce qui est évidemment impossible. Ainsi x^ et x^ auront des valeurs absolues très grandes, mais à cause de la relation
Xj-*- or 5 = — (xo -♦- X,) ,
leur somme algébrique sera très voisine de Xq.
3* Si Ton supposait, au contraire, le cas (tout à fait idéal) où la valeur de n étant assez faible, celle de od serait extrêmement grande, ce serait alors le rapport ^ dont le carré serait négligeable. L'équation (i2S) admettrait encore une racine à très voisine de zéro et sa valeur approchée serait
2ii ju. sin' ^0
u f^ -^ (i — /w) (1 — 4/64) ces* 60
• Lorsque Ton a
e'est-à-dire lorsque rellipsoîde central du corps tournant se réduit à une sphère, la valeur de 6 s'obtient sous forme finie en fonction du temps. L'équation (104) se réduit, en effet, à
rfx' ^ ^. = A'» (^ - ^') -^ (^« - ^'*^)%
et Ton a la condition initiale
A/, (1 - xi) — (/, — a,x,)' = 0,
D Ce résultat ne nous parait pas démontré, chez la plupart des auteurs qui introduisent tout d'abord l'hypothèse de ^ très petit, a?ec une rigueur satisfaisante.
l'où l'on tire l'équation
Posons
Xj — x = ê, l'où
xo -<-i-=2x,— ê,
:t observons que la relation C = A donne lieu aui réductions uivantes :
/, = A/,x, — Ao (1 — x!) = A (nx, — u) .
/. = A.'(t-^î), Ai, + C/î = A' (ti' — 2n«x, -t- »').
Cl,lt = A' (k - M.) (nx. — «) .
Nous trouverons facilemeni
l/2no (i — ij) ê — (n* — 2bux, -i- u') é'
lu, en posant pour abréger
B«(l— xî)
n' — îtlwx, -1- m'
ntégrant el remarquant que t = donne { = 0,
tl/n' — SnoiXb -»- fi>* = ± nrccos >
Voù enfin, par des transformations faciles
C08 » = cos s, — 2fi sin' - l/n* — 2n»x, -i- » \2
On remarquera que l'expression
l/«' — 2ii«Mr, -»- M*
représente précisément la vitesse de ia rotation absolue du tore à répoque ^ = 0.
«4. Les équations (121) et (123) qui fournissent I expression des angles ^ et 9, déterminent le mouvement de précession du tore et sa rotation par rapport à Tanneau intérieur. On remarquera que ces angles ^e composent Tun et Tautre de trois parties distinctes : une partie constante, une deuxième qui est proportionnelle au temps, une troisième qui est périodique, et dont la période a même durée que celle de loscillation de Taxe 0^,
savoir
La vitesse de la précession apparente, ou la vitesse avec laquelle la ligne X|OX) se déplace sur le plan XY, est la valeur de ^' fournie par Téquation
/, — C/| cos 8
A sin* e
En remplaçant l^ par sa valeur, cette équation deviendra
cos 00 — coser^, , -,
f = 7— [Ce, -4- A» (cos 00 -♦- cos 0)1.
A sm'
Cette formule fait voir que ^' s*annule chaque fois que 6 reprend la valeur Oq, ou que Tinclinaison de Taxe du tore sur OZ revient à sa valeur initiale. Il y a donc, à chaque période d*oscillation, un instant où la vitesse de précession s'annule.
Quant au signe de ^\ il dépend des données du problème. On peut écrire Téquation sous cette autre forme :
n (cos 00 — cos 0) r^ « , ^ ^, « 1
*'=— ^ ^ C ^ - A — C cos0o-t--Acos0 .
^ Asin«0 L »» ' n J
Lorsque le rapport ~ est excessivement petit, comme dans les
périenees de Pouciull, il est clair que le signe de ^' est le ime que celui du produit
h(cOS% — COI»),
|uel est toujours potitif, comme on l'a montré au n* 53. Le luvemeat de précession a donc lieu de OX vers OY, ou en a coDtnini du mouvement de rotation de la terre.
s XV.
KOUVEMBIIT DU GYROSCOPE D8 FODCAULT {mite).
•t. Phoblëhe IX. — L'axe de l'anneau extérieur E «font fixé
M une direction arbitraire OZ (fig. 20), /'anneau intérieur est fixé au premier mut un angle droit, en sorte que taxe OX, du tore ne peut se mouvoir que dans un plan XY fixe par rapport à la planète. Une rotation initiale, avec vitesse n, est imprimée au tore autour de son axe OÇ mamtenu immobile ; déterminer le mouvement qui en résulte pour tout le syS' tème.
Nous conservons les mêmes notations qu'au n* 50, mais Dous
ms, en venu de l'hypothèse actuelle,
6 = ro»s(=-i fl'=0, Gosf^O.
plus, si Ç désigne l'angle que fait, dans le plan XY, t'asc OC
du tore avec OX, compté positivement de OX vers ÔY, nous aurons
et les équations (55) donneront
cosy sss — C08 A sin Ç , cos n == sin A, cosrt'^cosa cosç,
de sorte que l'équation (94) deviendra
T -4- V « i [(o'-4-6) r -^-Cf'*] — «[(a' 4- b) r sin X + C/cosAcosÇ]-
Appliquant donc Téquation (93) et prenant successivement ç s=s (p, 9 es 2;, on trouve immédiatement
d C --(f ' — u cos A cos Ç) =s 0,
(a' -^ 6) — (Ç' — » sin A) — C»f ' cos > sin ( «r • ' dt
Ces équations donnent, en posant
(126) . .o, = «cosA, V=-; r =
a' -I- 6 A -♦- C| -♦- Aj
et désignant par /^ une constante arbitraire,
(127) f' = /i -4-ûî, cosç,
(i28) . . . . -^p = |x«, (/, -♦- »t cos Ç) sin ç .
La valeur de la constante l^ , donnée par fétat initial, est et Fangle i^o pourra toujours être supposé compris entre zéro et n.
Pour déduire de l'équatton (128) les cooditiona de l'équilibre iatif de l'axe du tore, on posera
l'on aura
qui suppose 1* ou bien n=>0, c'est-à-dire que le tore soit repos apparent à l'instant initial; 2* ou bien sin ^>=>0, c'estjire que l'axe du tore toit dirigé, à l'époque t ^ 0, suivant la «section OX de la ligne boréale sur le plan directeur, ou suint ton prolongement. Une de ces positions répond à l'équilibre ible, l'autre i l'équilibre instable. Il serait facile de les discerner s i présent, mais la discussion du mouvement dans le cas aérai suffira pour résoudre la question.
•«. Multiplions l'équation (138) par ^d^, intégrons et obserns que C est nul pour ^ = Co : ■' viendra
ç'» = 2ft«,i, (cos ïo — cos Ç) -4- ^»î (coB* Ço — cos' K) ,
'— = ^^{cosK — cos Eo) [ ■' — cos ïo — cos ï ■
df \ a, I
Pour identifier cette équation avec l'équation (11) du mouve- :m du pendule à plan d'oscillation tournant, il suffira de poser
,.!.■■, -il ?-.
lù l'on tirera
19) ... . J-.,vn., r -i^.
encore, en remettant pour fi., U], If leurs valeurs,
aCcosx(n — ucos xcosQ
Le signe de r sera contraire à celui de 7| , qui se trouve déterr miné par les valeurs de n et de cos Çq , mais cette circonstance ne peut donner lieu à aucune difficulté, puisque nous avons vu, au n* 5y qu'un changement de signe de r dans le mouvement du pendule revient à un renversement dans la direction de là [jiesanteur, ou de la droite à partir de laquelle se compte Tangle Ç. La solution complète du mouvement de Taxe du tore est donc donnée par le théorème suivant :
Lorsque l'axe OÇ du gyroscope est assujetti à se mouvoir dans un plan fixe par rapport à la planète^ son mouvement est le même que celui d'un pendule simple de longueur r, dont le plan d'oscillation tourne autour de la verticale de suspension avec une vitesse angulaire constante (ù\ les valeurs de r et de <ù' étant données par les équations (130)^ et la direction de la verticale étant remplacée par la projection OX de la ligne boréale sur le plan directeur.
Il ne reste donc qu'à appliquer les formules données aux paragraphes II et III pour le mouvement du pendule et à en déduire les conséquences qu'elles comportent, en distinguant les trois cas que présente la valeur de r, savoir :
A) n — co,cos^o < 0,
B) n — «, cosÇo>0,
C) n — ûjj cos Ço = .
Cette discussion offrant la plus grande analogie avec celles des §§ IV et y, nous nous permettrons d'abréger.
Il en sera de même des formules qui déterminent l'angle ?, ou la rotation du disque par rapport à l'anneau intérieur : on suivra la même marche qu'au § V. Substituant à /| sa valeur dans l'égalité (127), on a d'abord
df
?i = -r = « -*- «i (cos Ç — cos Ko),
at
d'où, intégrant et posant
u = pt -*- K,
(COBt^ — COSÏ*))/»,
[on dans laquelle il faudra substituer ipeticosi; — eosl^ leurs qui se rapporteront aux différents cas que nous allons
. Dans la supposition A), /, est négatif, r positif, les for- I dti § Il s'appliquent sans ehangemeni, OX étant pris pour ion de la pesanteur dans le pendule de comparaison. La ité/'(n*5)e8l ici
f i— COSÏ. -.-MMÏ..
1 trois cas /■ — eos i;o > 0, = 0, < 0, reviennent ici i I) n<0, II) n — 0, III) n>0.
deuxième répond è l'équilibre de l'axe 0;; nous n'avons I en parler. Les cas 1) et III) correspondent respectivement
rotation imprimée au tore, autour de son axe Oz, de droite che ûu de gauche à droite.
lin, le cas I) ou fl < donne lieu à trois hypothèses subsis
)rès substitution,
«iSin — ■
•S. Cas ly a). L*angle ^ varie entre sa limite supérieure t^^ et une limite inférieure Ç^ donnée par Téquation
ou
COSÇi = 1- COSÇo.
2ii CCS Ç| — ces ^ =
Vaxe du gyroscope oscille dans le plan X Y, en se rapprochant et s'éhignant alternativement de la position OX (position d'équi- ^ libre stable) sans jamais l'atteindre.
Si Ton pose
sinp n /- .
• « = -: — =» — ■ . , » /3 ==»!»/ /t*sm a, sm a cDi sm a
la valeur de cos ^ en fonction du temps sera donnée par les équations
cos a — k cos p sn (pC -f- K)
(19) . . • .cosÇ
(21) 008 1; — cos Çq = sin ^o sin p
cos ^ — A cos a sn (p< -+- K)
1 — sn (çt •+- K)
cos fi — k cos a sn (pf -♦- K)
La durée d*une oscillation de Taxe Oi; sera
Wi V/u,
sm a
69. La formule (131) devient, par la substitution de la valeur décos Ci— cosÇq»
k sin Ço /*" 1 — sn M
f = yo •♦- w( H z~" / — ;^ ; — '■
tr J C08Ô — Arcosasnté
du
>n fera usage de la formule (49), où Ion aura
lui donnera
Jt sin Cf u — K
t/f* ™*P l/fTsin acos'Scn adna '^ i S!>>f K^ il Pt"-°^ <-i-fesn(a->-K)sn(«-^K)- |j
irant ensuite comme au n" 23, on observe que l'équation
2(n — u,co9Eo) cos Kt -t- cos Cl ^
) condition n — U| cos Ç,) < donnent cos Ç^ -»- c»s Ç| > 0, ar suite
i;, M- c, Ç„ — ïi
c sn a sera négatif. On trouvera ensuite
sin i:. sin K,
en' a == — ^^^ — - > ,
cos'p
> sn a > - i , ,
îorte qu'il faudra prendre (i = — a, u désignant un arguit compris entre zéro et K. On aura, par suite,
cos p sin a cos ^
, par des réductions faciles,
sin K, i
k sin a cos* p en a dn a k sin î,
A sin ïo
-— oj,sinÇotgP,
»/«cosp
A; sn (a -f- K) => sin p, u — a <=> pi -i- K
d'où enfin
? == f -*- (« -*- «I sin Ço tg p) « — rrz: ^ /»'
(pi — a) i + sin ^ sn pf
(p< -♦- ff) 1 — sin^sn p(
Targument a> étant déterminé par Téquation
COSa
sn(7 =
cos^
70* Le cas I, 6) est un cas limite : cos ^ s'exprime sous forme finie en fonction de t, Taxe OÇ s'approche indéfiniment de la position asymptotique OX.
Dans le cas I, c), où
n < — «, sin' — »
Tangle Ç varie périodiquement entre -+• Çq et — Ço 5 ''<wc<^ ^^ ^o*"^ 05Ci7/e également de part et d*autre de la projection OX de la ligne boréale (position d'équilibre stable). On pose
as=— * co8'ô = =1-4-— sm*— 1
2 / — costo w 2
d^où
sin p =» sin
ma Y/ ;
puis
1 — eos a cos p 1 -t- cos a COS p
«i\/^sina /
/» = : (1 -♦-cosacosj3)=(l-4-cosaCOSp)K — /ttûriit, ,
et l'on a, au moyen des formules du n*" 1 1,
(29) cosÇ— cosÇo = sinasin2a
1 — sn (pi -♦- K)
(cos a-f-cos p) — (cos a — cos p) sn (pi-t-K)
d*oÙ9 pour la durée de Toscillation de Taxe du tore,
^ (1 -*- COS a COS P) \/ — M»i n
