XVI
GYROSCOPE DE FOUCAULT (suite).
78. Problème X. — L'axe OZ de Panneau extérieur (fig, 21) étant fixe par rapport à la planète, l'anneau intérieur I est fixé à Vanneau E sous un angle invariable % de sorte que l'axe (X du tore ne peut se mouvoir que sur un cône de révolution autour de l'axe OZ, étant le demi-angle d'ouverture du cône. Le tore est
ffltl en rotation autour de ion axe de figure maintenu immobile; déterminer le mouvement de ton axe et la rotation autour de cet axe.
Ce problème est une généralisation du précédent, où 6 était égal h p Comme 6 e>l consUnt, S' est nul, et l'on n'a k considérer que deux fonctions du temps, (p el <p. La formule (94) ''*■ *'■ devient ici
T-4-V-=i[(ii'-^fcsin'fl)t'* + C(f'-^f'coB8)*]— B[(o'+fc»ia'e}-f'sinx — 6^' cos A sÎD 8 roB » sin # -»- C (f ' -♦- *' cos S) cm y,] .
Si l'on applique l'équation (93), en prenant successivement
q 1= <f, q = '^, on trouvera sans peine
— {f ■*■ ^-'cose — »cosy)) = 0, dt
— [(o' ■*■ b sin'fl) ^' -V C {-/ -»- (.' co* <) coi * — ce (o' -t- 6 sio'*) sin * -i-uAcosJl sinscosOsio^ — Cucosscosn] — bef'coEAsiBfcosIcos^
L'intégration de la première de ces équaUons donne
(157) . . . . p' •♦• t' coB e =• /, -t- o C08 y, ,
/, étant une constante arbitraire. Substituant celle valeur dans la seconde équa^n ci-dessus, observant que
u(a' ■*- 6 sin* 8) sin ;i
est constant et faisant les réductions, on trouve
(138) (o' -♦- 6 sin'e) 4- -^ C«(/, -♦- « cosr») ^ == 0.
dt D^
Tirons d*abord de là les conditions de l'équilibre relatif de Taxe OÇ. Comme on a, pour 1 = 0, (p' = n et ^j^' = 0, la constante /| a pour valeur
/^ sa n — a cos T^jn,
ety d'autre part, Texpression de cosy^ fournie par les équations (55) conduit à
=s= ces > sin ^ cos 'P.
L'équation (138) devient ainsi, pour t = 0,
€»/? cos A sin 9 cos ^^
hh'\ C»/î c(
-I- 6 si 11*0
Pour l'équilibre, il faut que le second membre soit nul, ce qui suppose l"" ou bien que Ton ait n = 0, c'est-à-dire que le tore n'ait reçu aucune rotation initiale; â*" ou bien que oos^osoit nul, c'est-à-dire que l'angle ^q soit égal à 90® ou à ^TO"* : Faxe du tore est alors dans le plan passant par la ligne boréale ON et par l'axe OZ de Vanneau extérieur* En d'autres termes, il fait avec ON le plus petit ou le plus grand angle que comporte son mouvement sur le cône de révolution. L'une de ces positions se rapporte à l'équilibre stable, l'autre à l'équilibre instable, ce qui dépend du signe de n, ainsi que le montrera la discussion du mouvement.
94. Pour obtenir l'intégrale de l'équation (1 38) sous la forme
— ISO —
qui convient le mieux è la solution du problëmey remplaçons /i + fi» cos y 2 par sa valeur
Il -4- fi) (cosrt — <*^srM) =^ n -f- a cos^ sin ê (sin ^ — sin ^a)*
d'après (55). Mettons aussi pour
D . cos r î
sa valeur ci-dessus. Nous aurons v
rf*'
(a' + 6 8in'd)--r- + C»[n -^ 6) cos > sin 9(8in <(; — sin ^o)]^s ^ si" * <^s f = ^-
dt
Introduisons, au lieu de Tangle ^, Tangle Z que fait, avec la direction OX définie précédemment, la projection OH de Taxe du tore sur le plan normal à OZ, 1^ étant compté positivement de OX vers OY. On aura donc "
et notre équation prendra la forme
dK' Cw [n -h fi) cos i sin $ (cosÇ — cos %o)\ cos A sin 6 sin Ç dt a' -i- 6 sin*e
Cette équation s'intègre sans peine, et donne, (' étant nul pour Ç = Ço »
(cosÇ — cosÇo)[2C«'icos A sin e -♦- C»*cos*Asin*6(cosÇ — cosÇo)]
o' -4- 6 sin*6
ou encore
dç* C«' cos'a sin"o
dO
6 sîq'o
(cosÇ— cosÇo) : —
\ tfCOSÀsind
cos^
— cosçj
Cette équation rentre encore dans le type de Féquation (11). Il suffit de poser
C«* cos'a sin'e
b sin*e
rw
a cos 1 sin 6
âeosl^o»
d*où Ton tire
?ing V ' ' K ' te '
a ss ucosX sin
^f (a' -♦• 6 8in*6)
Gtf cos X sin 6 (ii — u cos à sin 6 cost^)
Le mouvement, sur le plan X Y, de la projection de Taxe peut donc être regardé comme connu, par le théorème suivant : Lorsque l'axe du gyroscope ne peut se mouvoir que sur un cône de révolution autour de l'axe OZ de l'anneau extérieur^ sa projection sur un plan normal à OZ oscille, par rapport à la projection de la ligne boréale sur ce plan, comme un pendule simple dont le plan tournerait autour de la verticale de suspension avec une vitesse angulaire constante, cett^ vitesse ta' et la longueur r du pendule étant définies par les deux équations (139).
La direction de la pesanteur dans le pendule de comparaison, et par conséquent la position d'équilibre stable de la projection OH de 02; , coïncide avec OX ou avec son prolongement OX', d*après une remarque déjà faite, suivant que r est positif ou négatif, c'est-à-dire suivant que la quantité
n — 6} cos A sin d cos ^0
est négative ou positive.
La discussion du mouvement de l'axe Oz n'ofl^ plus aucune Sculté, puisque nous sommes ramenés k un problème déjà ité. Mais on simplifiera encore en posant
j, = ucosAsins,
A, -^ Al + (A -»- C, — A,) sin'S
l'équalion difTérentielle du mouvement et les rormules(139) réduiront alors respectivement à
a' = o, Vji,
Ita, (n — 4), cosï.)
nous serons ramenés à des formules qui ne diffèrent plus de les du n' 66, qui ae rapportent au problème précédent, que ' la signification des lettres fi et a)|. Dès lors, les consé- ;nces et les formules que nous avons obtenues pour le mounent de l'axe du tore dans son plan directeur s'appliqueront, is autre changement que celui-là, au mouvement de la protion OH de l'axe du tore sur le plan XY, normal i l'axe de ation de l'anneau £. Il est donc inutile de reproduire cette cussion, qui comporterait les mêmes cas et les mêmes eonséences que la précédente. Nous nous bornons à remarquer I* Que si r est positif, ou si l'on a
n — 0, cos Irt < 0,
quantité désignée par f dans la théorie du pendule sera ilei
et que les trois cas
/•— C08Ço>0, ==:0, <0.
correspondront ici encore à
c*est-à-dire aux différents sens de la rotation initiale du tore autour de son axe;
2® Que dans le cas de n < 0, il y aura encore à distinguer les cas où f sera < 1 ou > i, attendu que dans le premier cas l'axe du gyroscope oscillera en restant toujours du même côté de sa position d'équilibre^ tandis que dans le second, il exécutera des oscillations égales de part et d'autre de cette position.
Les formules du mouvement de la projection de OÇ sur le plan XY sont contenues dans les équations des numéros 67 et 68 du § précédent.
Le mouvement de rotation du disque, par rapport à Tanneau intérieur, est déterminé par Téquation (137), que Ton met aisément sous la forme
df dx,
-T- = n — cosd ~ -♦- »[cosri — cosrjo'.
at dt
ou
df rfç
-p. = n — cosd -r- -♦- «1 (cosÇ — cosCo).
at dt
On en déduira par Tintégration, et en posant comme dans les autres problèmes
réquation
(1 40) f> SB ^0 ^ fif — (C — Co) cos 9 4 — / (cosÇ — cosÇo)'/w.
La valeur de cos C — cos ^ est donnée en fonction de Targument u par les formules du mouvement de Taxe (n** 67, 68, 69), la constante p ayant, dans chaque cas du problème, la signification particulière qui ressort de ces formules. Il en résulte que Tintégrale qui figure dans Téquation (140) 8*obtiendra explicitement par les formules des n** 70, 71, 72. Quant au terme
(ç — Ço^cosa,
il peut être regardé comme suffisamment connu, puisque { est une fonction actuellement connue du temps.
QUATRlilEB PARTIS
MtaTunmli «ppareiti > la ■■rhce J'ne fliaète UrM|Be la ^wanlnr iBleniwI.
