XVII
' PKNDULB CTROSCOPlQUe.
It. Problémi XI. — Considérons encore un pendule OA (fig. 33) composé d'un tore D tournant autour de son axe de figure Ai; et d'une chape E qui porte ret axe el qui est ellemême suspendue par une tige A un axe horizontal ab fixe par rapport à la planète, autour duquel elle peut osciller librement. Ce pendule satisfait aux mêmes conditions de construction qu'au n* i\ ; seulement, la planète représente ici le bàli tournant £,adésigner8ngte que fait le plan d*oscillation XOZ' du pendule avec le plan X|OZ' du méridien, angle que l'on peut faire varier d'une expérience h une autre ; L — NOX, est la latitude du lieu de l'observation, Ç l'angle Z'OA compris entre la nadirale OZ' du milieu de l'axe oA et l'axe OA du pendule : cet angle est compté positivement de OZ' vers OX. Conservant d'ailleurs les mêmes notations qu'au n* il, nous aurons encore ici les égalités
M = H) -i- m,, Mp ^= ma ■*• m,a, , H, = inn' -•- m,oJ -t- A -t- A|,
H| étant toujours le moment d'inertie du pendule complet (tore, chape, tige) par rapport à son axe de suspension ab ou OY.
Supposons que, la chape étant maintenue immobile sous une inclinaison quelconque ^^ on imprime au tore une rotation initiale n autour de Taxe Ai;, dans un sens déterminé par le signe de Hf puis, que Ton abandonne le pendule è lui-même. Cherchons le mouvement apparent que prendra le système.
Nous devons ici faire usage de Téquation
(98) . «< MT-^V) MT-hV) a.pcosT?
L'expression de T se calcule sans difficulté, comme au o* 41,
et Ton trouve
Pour déterminer Y, nous désignerons par u Tangle (N que fait Taxe AC du tore avec la ligne boréale ON, et nous observerons que le mouvement relatif du tore D se compose d'une rotation 9' autour de Taxe principal A^ par rapport auquel son moment d'inertie est C, et d'une rotation Ç autour du prolonge^ ment OY' de OY, par rapport auquel son moment est 711a' -è- A. Donc, l'axe instantané du système de comparaison étant OS» prolongement de ON, on a, pour le tore seul,
V «= (ù\{ma^ H- A) x; cos YN — Cf ' cos m] .
Pour la chape, qui tourne autour de OY' avec une vitesse C on a
V «= « (Wjoî ^ A,) Ç' cos YN ,
donc, pour le pendule tout entier,
V « » (H,ç' cos YN — Cf»' cos 11), d'où, remplaçant cos YN par sa valeur qui est évidemment
cosYN«* — cosLsina.
on tire
(141 ) T -*- V « i (H.?'* + Cf '«) — « (H|Ç' C08 L sin « -*. Cf ' cos ii).
On trouve sans peine
(i4â) . . . costi B=s8in LsinC -I- cosLcosACOsÇ,
et, en désignant par v Tangle que fait l*axe OA du pendule avec ON,
(445) . . cos V •« — sin L cos C -^ cos L cos « sin ^ , d*où résulte cette relation utile
ces t; «s —
d.costi
dK
D*ailleurSy
il est évident que
' cosÇ;
donc, en appliquant I équation (9Î) el faisant successivement ç c= q?, g s= 2;, nous obtiendrons
C^(y'.PCOStl)a:.0,
al
d d.eosu
H, -j- (Ç' — a cos L sin «) -♦- C«f ' — —— «= — Mg^ sin Ç.
La première équation donne, par Tintégration,
(444) f'as/i -f- «costi,
/i étant une constante qui s^exprime, au moyen de la vitesse initiale n du tore, par Téquation
(445) /|«=n — «dcosu.
^ 1«8 - La seconde se réduit^ comme on le voit facilemeni, à
(446) . . H, -T-*" C« (/| -4- « cosk) C08 V — Mgo «in t,y
équation que nous intégrerons plus loin, après avoir établi les conditions de Féquilibre apparent du pendule.
76. Pour que la droite OA conserve son inclinaison initiale ^^q» il faut que ^soit nul pour / «» ou ( »» ^.
Comme on a, à cet instant,
/i -4- » cos 1/0 «» n , cos Vq^^ — sin L cos (o -^ cos L cos « sin ^o^
si Ton fait ces substitutions dans Téquation (146) et si Ton désigne par E la valeur de 1^ qui correspond k une position d*équilibre du pendule, on a, pour déterminer Fangle E, régalité
G»^i (cos L cos a sin B — sin L cos Ë) — Myp sin E = 0,
d'où Ton déduit
/.,»x « CwiisinL
(147) . . • . tgE«
Con cos L cos a — Mg^
Il résulte de cette équation que le pendule admet seulement deux positions* d'équilibre, diamétralement opposées Tune à Tautre, comme répondant k une même valeur de tg E. L'une de ces positions donne l'équilibre stable, Taùtre l'équilibre instable, et la distinction en est facile; mais comme nous discuterons en détail cette question dans l'étude du problème suivant, qui offre un plus grand intérêt, nous nous bornerons à indiquer ici les résultats les plus saillants de cette discussion, pour le cas des mouvements à la surface de la terre.
1"* Lorsque ns=»0, tg £ s'évanouit, l'axe OA du pendule est donc en équilibre relatif dans la position verticale.
2* Lorsque y au contraire, i» a uue valeur assez considérabie» une rotation énergique ayant été imprimée au tore dans un sens ou dans Tautre, Tangle £ ne sera plus égal à zéro (sauf à Téquateur où Ton a sin L «> 0); mais comme la vitesse angulaire «> a une valeur très petite (0,000073) pour le globe terrestre, le produit fi6i> restera nécessairement très petit, et vis-à-vis de M^p les termes Oan cos L cos a, Ccon sin L auront des valeurs très faibles; la valeur de tg E différera donc très peu de celle que donne Téquation
Cun sin L
la position d*équilibre stable étant d*ailleurs celle qui fait un angle aigu avec OZ'.
Il en^ résulte que, si n est négatifs ou si la rotation initiale est dexirogyre relativement à AÇ, Tangle E sera positif, le pendule déviera de la verticale ytrs la direction OX pour que Téquilibre ait lieu. Si n est positif ou la rotation initiale lévogyre. par rapport à A2;, le pendule s*écariera de la verticale dans le sens contraire, vers OX'.
Dans les deux cas, Técart sera d'un très petit angle, mesuré sensiblement par le second membre de Téquation ci-dessus.
Un pendule gyroscopique de M. Sire^ monté comme nous r avons indiqué d^dessusy et dont le tore aurait reçu une rotation initiale extrêmement rapide, manifesterait donc la rotation terrestre par ce phénomène curieux, que sa position d'équilibre stable ferait un petit angle avec la verticale, dans un sens ou dans l'autre, suivant le sens de la rotation initiale imprimée au tore,
3"* Si Ton conçoit que la valeur n devienne excessivement considérable, ou que la rotation tù de la planète acquière une valeur notablement supérieure à celle qui convient au globe terrestre, ou encore que la tige A de la chape porte au delà de. O un prolongement muni d'un contre-poids II, à Taide duquel on puisse déplacer le centre de gravité du pendule et Tamener dans le voisinage du point 0, de façon que p devienne une
qoantilé très petite, le» iroia lermea qui enirent dtoa l'eipreMioD de ig E (éq. 147) pourront acquérir des valeurs compirables, et il faudra, dans ce cas, faire porter la discassïon sur l'équation (li7) elle-même. On aura i considérer les trots cas
C(MicoiLco>> — Mgf < 0, C«ii coa L cas (t — Hjp a= , Cet) COI L cos u — Mgf > ,
le premier cas -ayant toujours lieu si n est négatif et «c inférieur à f . Dans le deuxième cas, tg E serait infini et la position d'équilibre du pendule serait fiorizonliUe. Si p est nul, ce qui aura lieu si le centre de gravité du pendule est amené exactement au point 0, on aura
coa >
et la position d'équilibre sera perpendiculaire i, la projection de la ligne boréale ON sur le plan d'oscillation XOZ'. Mais ces différents cas seront discutés plus en détail dans le problème suivant.
VV. Pour effectuer commodément l'intégration de l'équalion (146), projetons le ligne boréale ON sur le plan d'oscillation en ON, (fig. 33), et nommons { l'angle que fait avec 0N| une parallèle Of h l'axe Aç, menée par le point : Of est donc perpendiculaire à OA, et l'angle { sera compté positivement de 0N| vers OX. Soient, en outre, t l'angle NON,, t l'inclinaison N,OX de la droite ON, sur l'horizontale. On a évidemment les relations
i:e-«, «-NÏ, !;' = -e',
Fif. M, cosa— cosTCOSÊ, wi» — — cosTSÎnE,
et réquation (146) devient
H| — = C» (/, -4- û) cos r cosÇ) cos r sin S + Mg^ sin (ê — f),
OU, en développant,
d^ Cw'cos'r . ^ ^ Ctt/|CO8r-^Mo0CO8f . ^ Mop sine
•77 « — r; — sinÇcosf -h — ^ sm ê ^7; cos f .
a* tii H| H,
L'intégration de cette équation est facile, mais inutile, car il suffit, pour identifier cette équation avec Téquation (77) dû mouvement d'un point pesant sur un cercle vertical tournant, de remplacer { par Ç et de poser
C«' cos*T
Ccd, cosT ■+■ M,9p cosc
«'*A M^psiuf
d'où Ton déduira, pour les éléments du pendule de comparaison,
» =. «ces T Y/ =-»
ÎTH,
Coti cos 7 -4- M^p cos s ^'MHip sin £
C«' cos't (M^p cose -♦- CoU^ cos t)
La question du mouvement du pendule, lorsqu'il n'est pas dans une position d'équilibre relatif, est donc résolue par ce théorème : Si le pendule gyroscopique est écarté dune position d'équilibre stable, à la surface d'une plaiiète en rotation uniforme,
perpendiculaire à Paxe OA du pendule oteillera, par rapport lapri^ection de ta ligne boréale mut le plan d'otcitlalion, comme
ferait par rapport à la verticale un pendule simple, dont le an d'oscillation tournerait avec une viteue constante u' autour un axe vertical ST iitué dans ce plan, la longueur r du pendule,
vitesse u' et la distance A du point de suspension à faxe ST ant déterminées par les formules (liS).
La valeur de |, et par conséquent de t^, étant connue en fonc- Dn du temps, on en déduirait celle de 9 au moyen de l'équaon 1,1 W).
