XVIII
BAROGYaOSCOPE.
ÏS. Dans te pendule gyroscopique décrit ci-dessus, les coodions expérimentales sont défavorables, et une vitesse rotatoire norme aérait nécessaire pour que la rotation terrestre s'accusfti 'une façon appréciable. La valeur de tgË, donnée par l'équaon (147), ne saurait être en effet que très petite, dm étant très etit par rapporta ^gp; la position d'équilibre du pendule ne irait avec la verticale qu'un angle de quelques minutes, dans ts conditions ordinaires. En cuire, h cause de ta valeur consiérable de H|,les oscillations du pendule de pari et d'autre de sa osiiion d'équilibre seraient excessivement lentes, et par suite, la irce directrice serait masquée par les plus faibles résistances.
Il convient donc de chercher une disposition plus favorable our rendre sensible l'influence de la rotation terrestre sur la osiiion d'équilibre d'un pendule gyroscopique, el la suivante ous paraît satisfaire h cette condition.
19. Problème XH. — Supposonê (flg. 34) gu'tin tore D aume rapidement sur son axe O^, porté par une chape E wbile autour de la ligne horizontale ab perpendiculaire à Oç. „e centre de gravité commun dti tore et de la chape est en 0,
milieit de xh. La chape porte, mr une aiguille formant le prolongement inférieur de C(aee OZ, un petit curseur fi, moyennant lequel, le tore étant au repos, l'appareil sera en équilibre stable lorsque l'axe OZ sera verticaC Déterminer, pour une vitesse de rotation initiale n donnée au tore 1 * quelle serait la position d'équilibre relatif de raiguille Oft; 2* quel serait le wouvement du système entier, sur une planète en rofa- '■ *'■ (ion uniforme.
Soient ZOZ' la verticale du centre <le ligure O du tore, X,OZ le plati du méridien, ON la ligne boréale; XOZ' le plan d'oscillation du pendule O^t-, a l'angle (moindre que 180°) que ce plan fail avce X(OZ', cet angle compté positivement i partir de 0X| , de gnitcbe k droite par rapport ô OZ ; OX l'horizontale dans le plan d'oscillation; OY ou 6a la direction normale à XOZ; Z l'angle pOZ' du pendule avec la nadirale OZ', compté positivement de OZ' vers OX; C et A les moments d'inertie axial et équalorial du tore, relatifs au point 0; A| le moment d'inertie de la ehape par rapport à ab, et nous supposons que la chape satisfasse h cette condition, que ab soit un axe principal d'inertie pour le point 0. Soient enfin 9 l'angle qui mesure la rotation du tore par rapport h la chape, (i. la masse du curseur, à la distance de son centre de gravité au point O.
Nous devons appliquer encore l'équation (92). Le mouvement relatif du tore se compose de deux rotations, l'une dont la vitesse est f' autour de Oç, l'autre de vitesse Ç' autour du prolongement de OY; on a donc, pour le tore seul, u désignant l'angle que OÇ fait avec ON,
T=i(Aï"-t.Cf").
V = o [\Ç cos YN — Cf ' cos (/),
et pour la chape avec le petit pendule, qui n*ont qu'une simple rotation 2;' autour du prolongement de OY,
é V c= « (A, ^ Atr?*) cos YN
Soit donc
li, = A -h A, -♦- /iJ*
le moment d'inertie du système mobile entier par rapport à Taxe de suspension ab ; comme Ton a
ces YN = — sin a cos L, ces u es sin L cos K — cos à cos L sin ( ,
on aura pour le système mobile tout entier
T ^ V « 4 (H.Ç" H- C/*) - « (H,Ç' 008 L sin a -t- C/ cos w).
D ailleurs, le centre de gravité du tore et de la chape étant en 0, on a simplenient ici .
Mp cosp^ = fiSco^^.
L'équation (92) nous donnera donc, successivement,
-y (Cf ' — C« cos U) «= 0,
dt
d'où
(449) y' =/,-*- w cos tt,
la valeur de la constante l^ étant donnée par l'équation
(150) /j =» w -^ » cos Mo.
Ensuite
d rf.COSM
— (HjÇ' — Hiûî COS L sm a) -4- Cwp' — - — = — /xg^syn ç, dt d^
ou, en remplaçant <f' par sa valeur ci-desBUS,
lit' d .cas u (151) H,-i c»(/. + «cosH— ^ ^gisini:,
équation dans laquelle on observera que
d.cosu (153)
»•. Désignons par E la valeur de l'angle ^ qui répond à une position d'équilibre de l'aiguille Oit. Il faut qu'en faisant dans l'équation (151) 1 = 0, t;^E, on ail
Observant que l'on a d'ailleurs
/, ■*■ u cns Vd o= n
et ayant égard à l'équation (153), on trouvera l'équation de condition
Can (siii L sin E + cos I. cas a cos £) — gui sin E — 0,
de laquelle on lire
(f/»J — Can sin L
Cette équation détermine deux valeurs de l'angle E, différant l'une de l'autre de ISQ", auxquelles correspondent deux positions d'équilibre relatif de l'aiguille. Pour reconnaître celle qui donne l'équilibre stable, il convient d'intégrer l'équation (1S1), mise, au moyen des équations (lïSO) et (1S3), sous la forme
f/Ç' H, — - ^ Cmh {sin L. sin C -i- cos se cos L cos ï)
- iffC —
posons, en vertu de l'équaiion (tS3),
I gfti — Cunsin Lz= t'cns E, ' ■ ' ' } C«/ieosLo»s«= Fsiii B.
<* désignant une quantité po«i/it>e. Ces relations détermineront l'une manière complète la conslanle F et l'angle Ë. L'équau'on :i-dessiis deviendra, par ces substitutions,
-Fsin(ç-E).
l'où, intégrant et observant tjue pour ( = on a Z = W "=«0. ;' = 0, nous trouverons
IBS) H, — =— Cm^cobm— c(ttKB)'-<-ii'[cos(Ç-E) — cos{ï,-E)|.
Le premier membre étant nécessairement positif et le premier erme du second négatif, il faut évidemment que, dans tous les »8, F étant > 0, on ait
cos(ï— E) — C06(<<,— E)> 0,
;'est-à-dîre que l'angle ^ — E sera toujours plus rapproché de léro que l'angle Z^ — E. Or, ^ — E est l'angle que fait l'aiguille !)|^ avec la position d'équilibre définie par les équations (154). !)n en conclut donc que, quelles que soient les dunnées initiales, a position d'équilibre stable du petit pendule est toujours celle fui répond à l'angle E défini par les équations (l S4). Examinons maintenant les dilTérents cas.
§1. I. L'angle a ayant une valeur donnée, que nous suppo- «rons comprise entre zéro et ^ , de façon que cos a soit > 0, upposons d'ahord que l'on ait
ÇfipJ — Can sin L > 0,
condition qui sera remplie pour toutes les valeurs négatives de n depuis — 00 jusqu*à zéro, et pour toutes ses valeurs positives jusqu'à
fff*^
Cm sin L
D après les relations (1S4), cos E sera positif, raiguille en équilibre stable fera donc un angle aigu avec la nadirale OZ', et comme sin E sera de même signe que n, cet angle sera négatif, nul ou positif suivant que n sera négatif, nul ou positif. Il variera depuis Tangle donné par Téquation
tg E s: — cot L cos a
jusqu'à zéro, pendant que n variera de — oo à zéro ; et depuis E »= jusqu'à E »=: I , n variant de zéro à
Ccj sin L
En d'autres termes, pour ces valeurs successives de n, la position d'équilibre stable de l'aiguille variera depuis la projection de la ligne australe OS sur le plan d'oscillation jusqu'à l'horizontale OX, en passant par la nadirale OZ'. Elle s'inclinera sur la nadirale dans le sens 0\' ou dans le sens OX, suivant que la rotation initiale du tore sera de droite à gauche ou de gauche à droite par rapport à l'axe OÇ.
