II. Lorsque Ton aura

Ca sin L

les équations (1S4) donneront

cos E =* , sin E = -4- 1 ,

la position d'équilibre stable du pendule sera f horizontale OX.

ifin, si l'on suppose

gfti — Cun tin L < 0, ! peut avoir lieu que pour des valeurs positives de n,

cobE<0, srnE>0,

sera compris entre ^ et n, la position d'équilibre stable lie se trouvera dans l'angle XOZ, au-dettt» de l'hori- •X cette position s'approchera, pour des valeurs posidéfiniment croissantes de n, de la direction -limile OIV| r l'équation

mE = — cotLcosa,

qui n'est autre que celle de la projection de la ligne N sur le plan d'oscillation.

>servons que si l'on avait $ = ou f^ >>=■ 0, c'est-à-dire tre de gravité du système mobile coïncidait avec le >n aurait toujours

tgEi= — cotLcosa,

lion d'équilibre de l'axe du tore serait toujours suivant N|OS|, dans le sens OSj ou 0N| suivant que n sérail 1 positif. Ce cas particulier est celui des expériences de et ce résultat s'accorde avec ceux que Foucault a

avait n = ou u ^ 0, en d'autres termes, si le tore : vitesse initiale ou la planète sans rotation, la formule

toujours tg£=3 0, et l'aiguille aurait sa direction e dans la verticale.

noie, pour la terre, la valeur de a est très petite, le msinL aura toujours une valeur très faible, à moins

soit excessivement grand; donc, à moins que le pron'ait lui-même une valeur fort petite, tg E sera très

peljl et l'équation (1S3) pourra èlre remplacée approximatif ment par

Cb» C08 1 ccis s

VI. Nous avons raisonné pour une valeur donnée de comprise entre léro et^; examinons l'influence des diven valeurs de a.

Lorsque l'axe de suspension ab est perpendiculaire au plan < méridien X,OZ, le plan d'oscillation XOZ -coïncide avec dernier, cos «es 1 acquiert sa valeur matimum. D'après la Tr mule (153), la dévialion de l'aiguille par rapport h la verlici acquiert sa plus grande valeur, toutes choses d'ailleurs égal A mesure que l'angle a croit A partir de zéro, ig E diminue, lorsque le plan (l'oscillation XOZ de l'aiguille devient normal plan du méridien, on a, quels que soient n, L, etc., ig E ■= le pendule en équilibre reste donc vertical, quels que soient le se et la valeur de la rotation initiale n.

Si l'on fait croître a au-dessus de ^ , cos a devenant négai Ig E change de signe, la position d'équilibre de raiguille pai donc de l'autre c6té de la verticale, dans le plan d'oscillation, torsqu'enfin a^n, auquel cas le plan d'oscillalion coïncide nouveau avec le plan du méridien, ig E reprend une vale égale, et de signe contraire, è celle qu'il avait pour ix = 0. Mi comme le plan d'oscillatioti a aussi tourné di; 180°, il est cli que l'aiguille se retrouvera dans la même position d'équilit qu'ail premier instant. En résumé, le lieu des positions suco sivet d'équilibre de ["aiguille, pour tous les azimuts du pi d'oscillation du pendule, est un cône dont la verticale OZ' est v génératrice.

St. Revenons à l'équation différentielle du mouvemEni Taiguille, dans le cas général. On stmplilie l'intégration en pi jetant la ligne boréale ON en ON,, sur le plan d'oscillati (ûg. SS). Appelons t l'angle NON| compris entre la lîg boréale et sa projection, £ l'angle NiOX de cette projection b\

le NtOfx que Tait la direciion de l'aiguille avec ONf, compté positivement de 0N| vers OZ' ; nous aurons évidemment

cos « = cos ïIN^ = — cosTCoaÇ,

rf.POSM .

— - — ,= — cos r sin ç, et ré4{uation (151) prendra la forme

Cal, C08 T — Ouiî wn ( . ^ inÇcosÊ jp siqS

éiermine i en fonction de ( el fait con- ; mouvement de l'aiguille dans son plan immédiatement à l'équation (77). Il p Ç et de poser

.T — tf(iii'in( g gi^S cos f "" -^

os' r {gf-S sin e — Co(, cos t)

sciltatoire de l'aiguille rentre dans celui lialion tournant. On pourra, suivant les

^ fJK-; -.

signes et les valeurs des données relatives à Tinstrument, trouver pour r et A des valeurs soit positives, soit négatives. Mais cette dernière ciroonstance ne soulèvera aucune difficulté, puisque nous savons que les valeurs négatives de r s'interprètent par un changement de sens dans la direction de la pesanteur, et les valeurs négatives de A par un changement dans le sens où Ton compte positivement Tangle (. Le problème du mouvement oscillatoire de Taiguille donne donc lieu à cette loi :

Lorsque Fappareil n'est pas dans une position d'équilibre stable (répondant aux valeurs données de n, a, etc), les oscillations de Vaiguille par rapport à la projection de la ligne boréale sur le plan d'oscillation sont les mêmes que les oscillations, par rapport à la verticale, d'un pendule simple dont le plan d'oscilMion tournerait avec une vitesse constante u' autour d'un axe vertical, la vitesse &>', la longueur r du pendule et la distance A de son point de suspension à l'axe de rotation étant données par les équations H&7).

Langle { s'exprimera donc par une fonction elliptique du temps, le mouvement de Taiguille sera périodique, et lorsqu'on aura l'expression de /, on en déduira celle de 9, dont dépend la rotation du tore dans sa chape, par l'équation (149), qui donnera

dt

= 11-4-01 (COS M — CCS Wu) = « — &? ces T (COS Ç — ÇOS Çq »

d'où

(1 58) . . 9 = ç)o •+- w' — « COS T / (cos Ç — cos fo) fit.

Le problème sera alors entièrement résolu.

Les angles r et e que nous venons d'introduire ont avec L et a des relations faciles à trouver. La considération des triangles sphériques NZN|, NY'X^ donne en effet

!sin £ cos r =s sin L, cos s cos T = cos a cos L, sin r = sin a cos L.

On en déduit

fOt « s» cos a eot L,

doù

fg f- -f- f j = — cos (Kcot L,

ce qui vérifie la propriété énoncée (n* 81, 1), savoir que la direction ÔNi fait avec la nadirale OZ' un angle dont la tangente est égale à — cos a cot L.

H9. Dans les mouvements relatifs à la surface de la terre» (ù étant extrêmement petit, les termes de Tordre de g>' sont négligeables. Si donc nous partons de Téquation (15S) où l'on peut alors supprimer le premier terme du second membre, nous aurons

(160) . . .— ,= — [cos(Ç-E) -.cos(2:o-E)].

Cette équation suffit pour montrer que Tangle Ç — E, compris entre la direction de Taiguille en mouvement et celle de sa position d'équilibre stable, s'exprime en fonction du temps comme Tangle d'un pendule simple avec la verticale, la longueur r du pendule étant donnée par l'équation

Si donc l'aiguille est peu écartée de sa position d'équilibre, la durée d'une demi-oscillation aura pour valeur

-Vf'

et les valeurs de H), F sont données par les équations

F =3 l^(Can cos L cos *j* -4- {y/nâ — Can sin L)*.

■ '^'^mS'-:

84. L'appareil qu£ nous venons d'étudier devant fournir des signes sensibles de la rotation terrestre, voici de quelle manière il B été construit et disposé.

Le tore D est en bronze (fig. 26); son axe d'acier a pivote sur des pointes aigufis dans des tourillons coniques, creusés dans les vis V, v', qui traversent une chape GG en acier anglais. Gette chape repose, par les couteaux A et A', sur des surfaces en acier trempé, de forme cylindrique, dont les couteaux occupent le fond. Ge système (D, G) présente une symétrie aussi exacte que possible par rapport au plan passant par l'axe du tore et par les arèies des couteaux, et sa mobilité autour de celles-ci est (elle qu'un souffle léger sulBl h provoquer dos oscillations. En agissant sur les vis v, v', sur les petites masses mobiles u, u', on amène par des làlonnemenls successifs le centre de gravité du tore et de la chape & se trouver sensiblement sur Vaxe'de tus-

pension ou ligne d'arêtes des eouteaui, de façon que le systèine soit aussi voisin que possible d*un état d'équilibre indifférent autour de cet axe. Mais au moyen du petit curseur p, glissant à frottement dur sur Taiguille implantée dans la tète de la vis inférieure v'y on amène Paiguille et Taxe du tore i prendre, lonque le tore D est en repos, une position verticale d'équilibre stable, ce dont on s'assure en faisant osciller le système autour de l'axe de suspension.

Le support S des couteaux est monté sur un pied H, de façon à tourner à frottement gras autour d'un axe vertical; de cette manière, on peut amener successivement dans tous les azimuts le plan vertical passant par l'axe de suspension. Enfin, deux fourchettes F ex F', destinées à recevoir les couteaux et à les déposer exactement à la place qu'ils doivent occuper, sont adaptées au support S (*).

L'axe du tore porte un pignon d'acier E, destiné a être mis en rapport avec un système d'engrenages ou rouage accélérateur de Foucault, qui sert à communiquer au tore une rotation extrë* mement rapide (environ 1 50 tours par seconde).

Après avoir, au moyen des vis calantes V, V, V" et d'un niveau, assuré l'horizontalité de l'axe de suspension, on porte la chape sur le rouage moteur et l'on imprime au tore une rotation rapide, dans un sens déterminé; puis on reporte le système sûr son support en le guidant au moyen des fourchettes, et on l'abandonne à lui-même. D'après la théorie exposée ci-dessus, voici les phénomènes qui doivent se produire :

l"" La position d'équilibre stable du tore et de la chape ne répond plus, généralement, à une direction verticale de l'aiguille, comme lorsque le tore était en repos, et le maximum de déviation de l'aiguille a lieu quand le plan d'oscillation de celle-ci coïncide avec le plan du méridien. L'aiguille se portera, par des

(*) Le constructeur, M. Ducretet, a modifié heureusement la disposition de la figure 96 en manœuvrant ces fourchettes au moyen de leviers reliés ensemble par une tige parallèle k l'arête des couteaux, ce qui maintient ces arêtes au même niveau horizontal et les dépose au même instant sur leurs surfaces d'appui. L'appareil ainsi disposé figure à l'Exposition universelle he 1889 dans la vitrine de la Faculté des sciences de Paris.

oseiUaiions décrohêantes^ vers le nord ou vers le sud^ suivant que le tore tourne de gauche à droite ou de droite à gauche pour Vobservateur qui le regarde d'en haut, la déviation étant, tomes choses d*ailleurs égales, plus faible dans le second cas que dans le premier, car, dans Texpression de tg B (153), le dénominateur est une différence dans le premier cas, une somme dans le second.

2* Mais, si le plan d*oscillation de Taxe du tore est normal au plan du méridien, la position d'équilibre stable de laiguille sera de nouveau verticale comme lorsque le tore était en repos, et cela, quel que soit le sens de la gyration du tore. On réalise ce changement d'azimut du plan d'oscillation, même pendant Texpérience, en faisant tourner le support S sur son pied, mais il faut d'abord soulever les couteaux sur leurs fourchettes et éviter surtout de tourner le support en sens contraire de la rotation du tore, ce qui amènerait instantanément le renversement de tout le système.

3** Dans les azimuts intermédiaires, l'aiguille aura une position d'équilibre plus ou moins inclinée entre les deux exirénies»

4*^ 11 résulte de l'équation (153) que l'inclinaison de l'aiguille dans le plan du méridien sera d'autant plus marquée que le tore tourne plus rapidement, que son diamètre est plus grand, que l'expérience se fait en un lieu plus rapproché de l'équateur ; que la distance 3 est plus petite. On pourrait donc, en profitant de ces circonstances, réaliser une déviation allant jusqu'à l'horizontalité de l'aiguille, si la suspension par couteaux ne s'y opposait.

5** Les formules (i61) fournissent aussi des indications précieuses pour la sensibilité de l'instrument. D'après l'équation (153), la déviation de l'aiguille par rapport à la verticale est indépendante de la masse de la chape, mais la durée des oscillations de l'aiguille de part et d'autre de sa position d'équilibre en est influencée. Or, cette durée doit être abrégée autant que possible, si l'on veut que l'appareil soit très sensible. Il faut donc !• rendre le système très mobile autour de l'axe d'oscillation, ce que la suspension sur couteaux réalise Ip mieux; 2° diminuer

râleur de H,, c'est-à-dire donner à la chape la plus grande treté possible, e( éviter toutes les masses accessoires un peu gnées de l'axe de suspension; 3* augmenter la valeur de F, lonnani au tore un grand diamètre et A la vitesse rotatoirc n ateur maximum que l'on peut employer^ LU reste, les formules permeiient de déterminer d'avance les iltais que l'on obtiendra sur des données choisies, et par suite, nodifier celles-ci de façon i arriver par tâtonnements succesà la disposition la plus avaniageuse. C'est ainsi que nous ns procédé pour fournir au constructeur les dimensions et les aes il réaliser {*).

'instrument, auquel nous avons donné te nom de barogyrole, a été construit avec soin cl intelligence dans les ateliers de . E)> Ducreiet et C", i Paris. Il réalise facilement et de la lière la plus nette tous les phénomènes décriu ci-dessus (**). is le croyons très prc^re à fournir, sans qu'il soit besoin d'une ;ision merveilleuse dans l'exécution, avec des moyens de Lr6)e toujours b la disposition de l'opérateur, e( dans des tes de prix raisonnables, une expérience facile et décisive r la démonstration de la rotation de la terre.

Voici an exemple de ce genre de calcul (le décimèire est pris comme onité de loa- ■) =

lE : RafOD du cercle géDénileur=0,1{ distsnce de son centre i l'axe = 0.3S; épaisle [» plaque cenlriile«> 0,04 1 rayon de l'aie =^0,03; longueur de l'aie ^ci^ 0,6. kPE : Diagonales ~ 0.8; l.ïidimepsioasde la section = 0,01; 0,04. ISEUR : Uiamtlre =0,08; hauteur 0,03. J— 0,5; u » 0.000073; n = 1256,637 ours par seconde); g — 9S,09 ; rapport ^ de U densité de l'acier i celle du bronio 9œ;L = 48"30'39'i.

iutoaw.- E — TÏI'IO"; T— Ma

Ces expériences ont éié réalisées d'abord devant les membres de la Sadéié tcten- ', de Bruxelles el, i Paris, deianl une eonunîssioD composée dea membres ds