I + C09 « COS S
L'ëqualion différemieile du mouvement deviendra
dz pdi= —
l/(i-^«)(l-AV)
et l'on aura, en intégrant el observant que t=mO donne {; ^^ Çq
elz = — 1,
(28) . . . .3 = sii{p( — K) = — sn(pI-4-K).
Celte valeur de z, substituée dans les équations (3S) et (26), les transformera eomme il suit :
COaa -4- COS ^ COS Sa — (cOS « — ces p COS 2a) SB {p( -+• K)
I (cos m -H COS p) — (cos a — cos p) sn (p( -*- K)
(29) (sin' - = sin* « COS f
cosi; — costlo^sinasinSa
(cos a -+- cos P) — (cos a. — COS p) sn (p( + K)
i — SD(p( + K)
(cos« -»-co« p)— (cos«-co«p)8o(p^-K)
I équations (39) est commode pour la disous- |ue, pour
llalioD complète du pendule est donnée par la
8K sio p
«(( -I- COS a COtl jS
Duvcment peut être présentée sous une forme loyen de la relation rappelée plus haut
[26) s'écrivent alors comme II suit :
cos « j" l -] «î [^1 -4- cos s ei (-^
L*aDgIe ( est donc ainsi exprimé en fonction explicite du temps sous des formes variées.
ts. III"* cas. Nous avons ici
/'<C08Ço,
et Tangle ^ est compris entre zéro et Tangle E défini par Téquation (10). Nous avons établi que, dans ce cas, ( varie entre Zo ^^ tine limite supérieure i^i dont le cosinus est égal à f. L*équation (13) devient
,'di — ^
l/(co8 K — C08 Çq) (cos Ci — cos Ç)
dx V^(x -*- 1) (x — cos Ci) (x — cos Ço) (x — i)
X désignant toujours cos (. Un calcul tout semblable à celui du cas (ly a), et dans lequel on posera
donnera
puis
d'où
\-k t^iKo .,, . sinp «=a » dou !:«=-:
i -«- A; tg i Ih sm a
X — cos Ç, sin Ç| i — iE cos Ço — X sin îo 1 ■♦- «
sin « cos a — z sin 6 cos 6 X B= cos Ç «—
sin a cos ^ — z sin p cos «
D^autre part, en posant
p sszfsf sin «9
men l'égaliié ci-duius par ■■ lubsiiiulion de x A x,
dz '
pdt
— donne x^cosÇo ei z •= — 1, on «uni
z ■= an (pi — K) = — sn (p( •*■ K).
xUe valeur de z dans réqiialion ci-dessus, on trouTera sin acasa -t- âap cos ^ sn {ft + K)
cosï-
BJn CE C08 p + Bin ^ cos « sn (p( -i- R)
aussi, comme nous l'avons fait aui n" 9 et 1 0, donner ation les formes suivantes :
1 1; — cos i;, BB — sin ç.
2 ^ î 1 + A sn (p( + K)
1 — sn {ft + K)
cot ^ -f- cot CE sn {ft ■*■ R) cos » a, {ft) ■*■ ^T cos p 8, fpO fMsp9,{ft)-*- l^Tcos > e, {f ()
e d'une oscillation complète du pendule sera 4R 4R
i une analogie évidenle entre les solutions dans le cas ins le cas 111.
14. PitosLàHB II. — On a un gyroscope (Og. Z et i) compote d'un diique ou fore D, d'un anneau intérieur I , d'un anneau extérieur E. L'aw neau E est maintenu en mouvement de rotation umfomte autour de son diamèlre ZOZ', avec une vileste angulaire a. L'anneau I peut pivoter librement autour de wn diamètre XiOXj, perpendiculaire à ZOZ'; te disque D a r«fu, à l'instant initial, une n>tation autour de son axe de figure OÇ maintenu immo- ^'*' *■ bile, ainsi que l'anneau I,
par rapport à l'anneau E. On demande de déterminer le mouvement relatif du système (D, I) par rapport à l'anneau extèriew. L'axe OÇ est porté par l'anneau 1 dont il forme un diamètre perpendiculaireàXiOXj; de même, l'anneau I repose sur des pivots supportée par l'anneau E, et le diamètre X,OX, est la ligne passant par ces pivots. Les axes de rotation ZOZ', X,OX, et Oî se coupent en un même point fisc 0, centre de gravité commun des trois corps, qui sont supposés de révolution, D autour de Oi;, 1 auiour de OY, perpendiculaire à Oi; et
OXi, E autour de OV perpeodieuUire A OXt eli OZ. Pour acun des trois corps D, I, E, nous appeI(His équateur le plan mé par le poiot normalement à l'axe de révolution ; moment nertie axial (C, ou C|, ou C,) le momenl d'inertie relatif à te de révolution; moment d'inertie équatorial (A, ou Af,
A,) celui qui se rapporte k un rayon quelconque de l'équair. Le système de comparaison auquel se rapportent les tuvemenls relatifs est ici le système rectangulaire OX|VZ irnant autour de ZOZ'; le corps mobile S se compose du ique D et de l'anneau I.
Nous appelons Z l'angle ZOi; que fait l'axe de figure du ■e avec la droite fixe OZ, compté positivement de gauche i >lte par rapport à 0X|; 9 l'angle que fait un rayon mobile ' de l'équaleur du tore avec la trace OX^ , angle compté posîement dans le sens X, Y| ou de gauche à droite par rapport h ; n la rotation initiale du tore, prise avec le signe + ou — ivant le sens de cette rotation par rapport à O!;. Nous appliquons les équations (3), (5), (4), (5), (6). Les comsantés de la rotation apparente du disque suivant 0X|, 0Y|,
sont respectivement égales à ('> 0* f' ; on a donc, d'après des iorèmes de mécanique bien connus, pour le tore
4(Aï--.C/'),
G = -(Asin'ç + Ccos';), z
\ = a (AÇ' cos XiZ -^ Cf' cos ÇZ) = C«f' cos ;;
pour l'anneau intérieur, dont le mouvement relatif se réduit ne rotation C autour de l'axe OXf,
G — - (A, cos* Ç + C, sin* E), V -= 0.
On a donc, pour Tensemble des deux corps D, I, en vertu de
régalité (4),
T, = i (A -4- A,) ç" -f- - C/« + C«/ ces ç ^ ^ [(A -»- C,) sin« ç
^(C^ A4)cos'ç],
ouy en posant pour abréger.
A -H A| s= Oy A -♦- C| — A| BB 6,
(57) T, = - aÇ" ^ - C (/ -4- « ces ç)' -h — (A» + 6 sin« Ç).
Le centre de gravité des corps D, I étant fixe, il n*y a pas de force motrice, U est donc nul, et, d autre part, N est nul aussi (n^2). L^équation (2) se réduit donc ici à
d dT, DT, dt df ' dqf
ou, en prenant successivement ^ = cp, 2; et remplaçant Tj par sa valeur (37),
— (f ' -f. « cos ç) = 0,
a h C (f)' + cos Ç) & sin Ç — «'6 sin ( cos I^ == 0.
dt
La première de ces équations s'intègre immédiatement et donne, /| désignant une constante,
ou
f ' -♦- « cos c s /|
et la valeur de /|, déterminée par les données initiales, sera
/i = n -•- tf cosCo)
upposé t^ ^ 0, f esl donc déterminé par l'équa-
/■=n — «(cosÇ — cosï,),
de f ' + u cos t; Hang la seconde des équations donnera
tle équation, déterminons la constante par la ), nous aurons
iC(,B (cos ; — cos Cl) — w'fc (cos' ç — cos* ï,l , rons aussi sous la forme
on (39) fournil immédiatement les conditions nt supposé nul, l'ase 0( du tore garde une inclii ^ sur la droite de OZ.
jfGt, pour cela, que l'on ait
a sin ç„ (C^, — a6 cos (,) = 0.
n ne peut être vérifiée que de deux manières : Ktsant sin Zo^O, c'est-à-dire Ço ^ ** ou it, et isque coïncide, dans sa position initiale, avec l'aie ou avec son prolongement. Il est clair, en effet, onditions l'axe 0^ ne prendrait aucun mouvertà l'anneau E;
3" Soit en posant
C/| — ab cos Co «=» 0,
ou^ diaprés la valeur de /^
(42) n = a ces Ço = y-
Kê ■
Si donc (o ^^^ donnée il suffira dimprimer au tore une vitesse initiale de rotation égale à v, pour que son axe garde une inclinaison constante sur OZ.
il suit d'ailleurs de Féquation (38) que si Z est constant, 9' reste constant et égal k n; la vitesse relative de rotation du disque restera donc invariable.
Il suit encore de Téquation (42) que si le tore n*a reçu aucune
rotation initiale (n = 0), il ne restera cependant pas en repos,
généralement^ par rapport à Tanneau E. Pour que Téquation (42)
soit vérifiée par v =» 0, il faut que cos Çq soit nul, ce qui place
Taxe 0^ du disque à angle droit sur Taxe OZ, à Tépoque ; = ;
ou bien, que Ion ait
c'est-à-dire
C — A = Ci — A|.
Cette condition peut évidemment être réalisée par une construction convenable du gyroscope (*), et, dans ce cas, l'équation (42) donnera v = 0, quel que soit Çq; de plus, <p' sera constamment nul. On peut donc énoncer cette propriété :
Quand l'excès du moment d'inertie axial sur le moment
{*) Si, par exemple, D était un disqae cylindrique de rayon R et d'épaisseur A ; I un anneau cylindrique d'épaisseur h^, dont les rayons interne et externe seraient représentés par Ri et R^, cette condition reviendrait à celle-ci :
ou, approximativement,
R* = Rî— R*.
! équatorial a la même valeur dans le tore et dans t intérieur, »i It tore ett en repos relatif à Piratant il y reliera indéfiniment, quelle que soit l'inclinaison de son axe de figure sur l'axe de rotation du système de lison.
Développons maintenant les conséquences de l'équa-
idenliSer celte équation avec l'égalité (il), il suffit nent de poser
^ «'6 g Cl,»
m a égard aui valeurs des quantités a, b, If,
V A -*- A, CB[n-f-ucosî,)
les gyroscopes tels qu'ils sont habituellement construits, — A| aune valeur nécessairement positive et a est I vertu des formules (43), le problème actuel est donc à celui du n* 5, et l'on peut énoncer ce théorème lable :
ue l'anneau extérieur du gyroscope tourne uniforméitour d'un diamètre OZ, et que le disque a reçu une initiale autour de son axe de figure maintenu en repos port à cet anneau, l'axe de figure du disque oscille, par à l'axe OZ, comme le ferait par rapport à la verticale point de suspension un pendule simple, dont le plan tion tournerait uniformément autour de cette verticale, e angulaire u' de la rotation du plan et la longueur r ule étant données par les égalités (45).
Si la masse de Tanneau intérieur était négligeable, on aurait
On voit qu'il reste simplement à appliquer ici les formules trouvées précédemment pour le mouvement du pendule, ce qui n'offre aucune difficulté. Nous pouvons d'ailleurs supposer u positif; cela revient à prendre la direction OZ du côté* pour lequel la rotation de Tanneau E serait vue se faisant de gauche à droite. Nous supposerons aussi ^o < ^0% puisque Ton choisit à volonté le sens dans lequel est dirigé Taxe de figure 0^.
19. Considérons d abord la valeur de r, qui donne lieu à trois hypothèses distinctes :
A) n -♦- « cos Ço > ;
B) w -4- û) cos Ko < 0;
C) « -♦- » cos ïo = .
Dans rhypoihèse A), r est positif; la solution développée dans les ^ 11 et III s'applique sans modification. D'après ce que nous avons dit au n® 5, nous avons à considérer trois cas, suivant que
/■— cos Ço = 2 ( -^ — cos Ço)
est > 0, = 0, ou < 0, ce qui revient, par la substitution de la valeur de /|, à considérer ces trois cas :
I) « > -— -«cosÇo;
II) n = -— — a cos Ço ;
