AVERTISSEMENT. S

que celle des discours publics, et les personnes dont j'estime le plus les suffrages sont celles que je crains le plus d'avoir pour auditeurs.

» J'aurais préféré de vous rendre compte de vive voix au sujet de la présentation de votre Mémoire, et je profiterai d'une autre occasion pour vous en parler. Je suis présentement retenu par des occupations beaucoup moins agréables.

» Agréez, Mademoiselle, avec Thommage de mes remercîments , celui de mon respect.

» P FOLRIER.

Vendredi matin [la mars i8a4].

» P. "S. — Le procès- verbal que j'ai rédigé contient la mention de la lecture de votre Mémoire, et la lettre, par laquelle je vous informe des noms des commissaires, ne vous est point encore parvenue, parce qu'on n'a coutume de les expédier qu'après que le procès-verbal a été lu et adopté ( ' ). »

( ' ) L'original de cette Lettre se trouve à la Bibliothèque nationale, dans le Manuscrit français 9118 [voir p. aoa du Tome II de Yinpentaire général et méthodique des Manuscrits français de la Bibliothèque nationale , par Léopold Delisle) Paris, H. Ghampion, 1876-1878; 2 vol. in-8^]. Elle a été publiée par M. H. Stupuy dans TOuvrage intitulé OBuvres philosophiques de Sophie Germain, suivies de pensées et de Lettres inédites^ et précédées d^une Notice sur sa vie et ses œuvres. Paris, Paul Ritti, 1879; in- 18.

La Lettre de Fourier porte seulement l'indication vemlredi matin; mais sa date est aisément précisée par le simple rapprochement des faits qu'elle concerne.

Voici la Lettre dont il est question dans ce P.-^S. ; an lieu de Lundi 8 marsy elle indique, par erreur^ Lundi 9 mars,

INSTITUT DE FBANCB. — àCADÉMlE ROYALE DES SCIENCES.

Paris, le i5 mars i8a4* Le Secrétaire perpétuel de l' Académie à Mademoiselle Sophie Germain,

« Mademoiselle,

• L'Académie a reçu l'Ouvrage que vous avez bien voulu lui adresser et qui est intitulé : Mémoire sur l'emploi de l'épaisseur dans la théorie des surfaces élastiques* J'ai l'honneur de vous prévenir que ce Mémoire a été lu dans la séance du lundi g mars, et qu'il a été renvoyé à Texumen d'une Commission composée de MM. de Laplacc, de

DAK8 LA

s. lO AVERTISSEMENT.

st'rie de SCS mémorabUvs travaux sur les vibrations des corps sonores, nous avons voulu contribuer à honorer la mémoire de « cette personne aussi modeste qu*éminente » (* j que Prony a surnommée Tllypatia du XIX* siècle (').

(lEORCC DR COVXCEI..

P» s, — Au moment dr faire paraîlrc ce Mémoire de S4>|>hîe Germa in 9 nous appre* nons que M. Varmy, Minîjitre des Travaux publics, vient d^ordonner U remise du manuv:rit original aux Archives de Plnstitut.

(Juillet i88<>).

( ' ' f'oir le savant et consciencieux Historique abrégé des recherches sur la résisianee et sur f élasticité des corps solides ^ plaa* par M. de Saint- Venant en tète de sa belle «Uition du Résumé des Ijeçons données h l'École des Ponts et Chatusées sur l'appUca» tion de la Mécanique^ par N a vies. Paris» Dunod, 1864» in-S*.

') f'oir Tarticle consacre à M^'* Sophie Germain dans le Tome V 'Supplément) de la Biographie umi%*erseUe et portative des contemporains, Paris, i834; in -8*.

nkss LA

Par M" SOPHIE GERMAIN.

L'influence de l'étendue plus ou moins grande des surfaces élastiques est parfaitement déterminée ; mais les opinions . se partagent à l'égard des effets produits par les différences de leur épaisseur. Si on se borne, comme on l'a fait jusqu'à présent, à considérer le cas où l'épaisseur est supposée constante, il s'agit de savoir quelle puissance de cette dimension doit entrer comme facteur dans un certain coefficient^ dont un autre facteur dépend de l'élasticité naturelle des surfaces. La marche du calcul n'exige pas absolument alors qu'on connaisse la valeur propre de chacun des facteurs, et c'est probablement à la facilité d'éluder leur séparation qu'il faut attribuer le peu d'importance que les géomètres semblent avoir mis à établir quel exposant il convient de donner à l'épaisseur. Quoi qu'il en soit, la théorie des surfaces élastiques renferme essentiellement celle des effets dus à leur épaisseur; et la connaissance de ces effets devient même indispensable lorsqu'on cesse de supposer l'épaisseur égale dans tous les points de la surface

Je me propose aujourd'hui d'examiner et de résoudre cette question .

Après avoir présenté quelques considérations générales sur l'emploi de l'épaisseur, discuté l'opinion des auteurs et rappelé les idées théoriques

s. 12 SOPHIR CERMAIir.

que j'ai déjà publiées, idées qui in*oiit conduite au choix d*uu exposant différent de ceux qui avaient été adoptés, je prouverai que, par rapport au cas où i*épaisseur est supposée constante, mon ex|K>sant founiît la juste mesure des phénomènes.

Envisageant ensuite la question sous un point de vue plus étendu, je chercherai, dans la suppositiond'uneépaisseur variable, quel doit être Texposant de cette dimension, non plus seulement pour que les formules reprc^'utent, dans leur quantité, les eff'els dus aux changements possibles de la dimension, mais encore pour que la nature même de ces effets puisse être exprimée par l'analyse. J'arriverai enfin à ce résultat, que le cas d'une épaisseur constante est le s(*ul où l'inconvénient d'un choix diff*érent se réduise à induire en erreur sur la mesure des phénomènes; mais que dans le cas plus général où on supposerait Tépaisseur variant en raison des distances de chacun des points de la surface aux extrémités, alors l'emploi de tout autre ex|M>sant mettrait la théorie dans une telle contradiction, que la première exprimerait l'impossibilité des phénomènes observés.

1 . lorsqu'on sup[>os(ï l'épaissc^ur constante, son introduction dans le calcul n'entraîne aucune difficulté de plus» par rap|M>rt aux surfaces élastiques, que par rapport aux simples lames; rien n'empêche donc de choisir ici le cas linéaire pour exemple; il en résultera même ce double avantage*, d*é\iter la complication des formules et d'avoir sous les yeux l'objet «lirect des Mémoires qui ont précédé ces derniers temps.

Ia* coefficient du second terme de l'équation différt^ntielle de la lame élastique est une quantité constante; sa vahnir dé|)end nécessairement du choix de la matière dont s<* composent lespic'ces auxquelles on l'applicpie.

On a coutimie de prtMidre une des extrémités |>our origine; l'ordonnée X repn'»s<>nte alors la distance a celte extrémité. L'intégrale, (|U(*lle que soit sa forme, donne lt*s valeurs de z |x>ur chacun des points de la lame; ci*s \aleurs sont exprimées par une fonction de x. L étant la longueur totale de la lame, les valeurs absolues de x, et par conséquent aussi les >aleurs de 5, de|MMident évidemment de celles de L, dont les premièn*s Miut de simpl(*s fr«4Ctions; il s'ensuit que dans la

THÉORIE DES SURFACES ÉLASTIQUES. S. l3

fonction qui exprime les valeurs de z on doit écrire =- . Il n'est pas

moins évident que les mêmes valeurs de z dépendent aussi de l'épaisseur e qu'on attribue à la lame élastique ;/ étant un nombre positif

quelconque, entier ou fractionnaire, on peut donc écrire -p dans l'intégrale.

En supposant toujours l'épaisseur constante, la fonction quatrième de l'intégrale, prise par rapporta x et divisée par dx\ se trouve multipliée par e*'; il devient indifférent alors d'écrire — ou - dans l'intégrale, pourvu que, dans ce dernier cas, le coefficient constant du terme ^ ait la puissance (4^)**''°^ de l'épaisseur pour facteur; ce facteur se trouvant ainsi confondu avec celui qui dépend de l'élasticité naturelle de la lame, le coefficient constant en exprime l'élasticité absolue. La question a toujours été présentée sous ce dernier point de vue.

Euler a tenté plusieurs fois de déterminer la valeur de l'élasticité absolue. On trouve à la fin du Traité de maximis minimisée (*) un Chapitre consacré à la recherche de la courbe élastique (*). L'auteur, après avoir parlé dans un paragraphe précédent de la force des colonnes, cherche, dans le § 40, quels sont les facteurs qui doivent composer la valeur de l'élasticité absolue de la lame élastique. Le premier dépend du choix de la matière, ou, ce qui est la même chose, de l'élasticité naturelle de la pièce ; le second est comme sa largeur, et le troisième est le carré de son épaisseur.

On a lieu de s'étonner de ce que cet illustre auteur a cru devoir faire entrer ici la largeur de la lame en considération; peut-être expliquera-t-on cette singularité en pensant que, dans une matière encore nouvelle, on n'avait pas suffisamment distingué le cas des colonnes de celui des simples lames.

(*) Methodus inveniendi lineas eu/vas maximi minimhe proprietate gaudentes, sive solutio problematis isoperimetrici iatissimo sensu accepti. Auctore Leonhardo Eulero. Lausannae et Genevae, MDCCXLIV; in*4***

( ' ) Additamentum I : De curvis eiasticis, p. 2^5 de l'Ouvrage précité.

s. l4 SOPHIE GERMAIN.

Dans le Mémoire sur la force des colonnes (Berlin, 1757) ('), Etiler parait être fort indécis à IVgard du choix de la puissance de Tépaisseur qu*il convient de faire entrer dans l'expression du moment de roideur; car il termine ainsi le § V consacré à cette recherche :

M Pour celle-ci (U largeur) il est assez évident que ce moment ^de la roideur) lui est pro))ortionncl ; mais pour l'épaisseur, puisqu'elle s'oppose davantage a l'inflexion, il semble que le moment de la roideur en suive la raison doublée ou mùme triplée; d'où l'on pourrait conclure que, si la colonne est un cylindre, son moment de roideur sera proportionnel au cube ou peutt^trc au carrc^arré du diamètre de la base. >»

Plus loin, <î LUI du même Mémoire, on lit le passage suivant :

•< . * . . la matière étant la même, tant la théorie que quelques expériences faites sur la roideur des corps, nous assurent que le moment de la roidetir en chaque endroit est assin^ exactement proportionnel au carré-carré du dia^ mètre de l' épaisseur, ou au carré de la section faite au même endroit. »

I^ force des colonm^ n'est p;is l'objet direct des recherches que je me suis proposées; cependant je ne puis me dispenser de faire remarquer qti'îl fautdistingtier deux cas essentiellement diflerents, selon que la colonne est dans une |)osition verticale ou horizontale. Par rapport au pn^mier, l'effort est égal suivant ladirection de chacun des diamètres; il n'y a donc aucuiu* raison de croire que l'épaisseur s'oppose plus à l'inilexion que la largeur. Le second est le seul qui présente de l'analogie av(*c la question des lames élastiques; mais, si l'on admet, / étant un nombre quelconque, que le moment de la roideur soit pn>portionnel à la puissaïu^e l'""'' du diamètre, je ne vois pas comment on en conclurait que le même moment doive être proportionnel à la puissance (/ - i/**"^ de repaiss(*ur proprement dite. En effet, puisc|u'il s'agit ici d*un cylindre dont un des diamètres représ<Mite la largeur, tandis que le diamètre |><*r{M*ndiculaire au premier est pris |>our l'épaisseur, on voit que les différentes parties de la largeur com*spondent à des épaisseurs

', Sur ia/i^nr tin nUonftrt, par M. Eiilrr, p. l5a de VHt%toirr dt V Actuirnut ro\atetlet Scienvf» et BrUe*'i^tirrt, a non* MIXUXVII. Boiiiii, i75«j; in- 4*.

THÉORIE DES SURFACES ÉLASTIQUES. S. l5

différentes. Les tranches d'égale largeur dans lesquelles on peut concevoir que la colonne soit divisée ne peuvent donc être douées de forces égales; cependant cette condition semble nécessaire pour que, en regardant la force due à l'épaisseur comme proportionnelle à la puissance (/ — i)»^™« du diamètre, la force totale de la colonne soit proportionnelle à la puissance /'"°* du même diamètre.

Quoi qu'il en soit, la seule conclusion qu'on puisse tirer des passages que je viens de rapporter est que l'auteur n'était pas encore parvenu à fixer son opinion sur la question qui nous occupe.

En suivant l'ordre des dates, j'ai consulté le Mémoire de Lagrange sur les ressorts plies (Berlin, 1769) { ' ). L'auteur emploie le coefficient dépendant de l'élasticité absolue de la lame, sans s'arrêter à l'examen des facteurs qui le composent [voir § II) ; plus loin, § VI, il renvoie, à la vérité, au Mémoire d'Euler dont nous venons de parler; mais cette citation est entièrement étrangère à la question des facteurs qui entrent dans la valeur de l'élasticité absolue.

La Mécanique analytique (') ne contient non plus aucune détermination à cet égard .

Euler est encore revenu sur le même sujet dans le beau Mémoire où il examine les différents cas de vibration dont la lame élastique est susceptible (Acta. P. 1 779) (*). On peut voir (p. 107, § IV) que l'auteur y regarde l'élasticité de la lame comme proportionnelle au carré de son épaisseur. Par une singularité remarquable, cette dimension y est représentée, comme dans la suite du Mémoire, par la double lettre ce. Si l'on rapproche cette notation de l'expression carré-carré du diamètre de l'épaisseur^ employée par le même auteur dans un des passages qu'on vient de lire, on sera porté à croire que le mot épaisseur n'a pas toujours désigné, dans ses recherches, une quantité linéaire.

On trouve, dans le Recueil des Mémoires de la Société italienne pour

(*] Sur la force des ressorts plies, par M. de la Grange, p. 167 de V Histoire deVAca^ demie royale des Sciences et Belles-Lettres^ année MDCGLXIX. Berlin, *77' î in-4°*

(') Mécanique analytique, par J.-L. Lagrange. Nouvelle édition, revue et augmentée par l'auteur. Paris, M"* V^* Courcier, 181 1- i8i5; 2 vol. in-4**-

(') Investigatio motuum, quibus laminœ et virgœ elasticœ contremiscunt, auctore L. Eulero, p. io3 de Acta AcadenUœ Scientiarum imperialis Petropolitonœ pro anno MDCCLXXIX. Pars prior, Petropoli, 1782; in-4**.

s. iG SOPHIE GERMAIV.

Tannée 1783, un mémoiro de Giordano Ricali, intitulé Délie vibrazioni sonore dei cilindri (*) ; rauteur^en comparant entre eux deux cylindres diflerents, établit la proportion directe de leur longueur et inverse de leur rigidité naturelle multipliée par le carré de leur diamètre. Ce Mémoire semble avoir été inspiré par la lecture de celui d*Euler, dont il développe tontes les conséquences avec une exactitude scrupuleuse; cependant la pro|K>rtion dont on vient de parler ne serait pas d'accord avec le S€'ns d*Euler si on regardait ré|)aiss(*ur ce comme une quantité linéaire.

M. (^ladni, dans son Traité d'Acoustique (*) (p. ()9, S 'l^) ^ ^^^ ^ conformer au véritable sens d'Euler en adoptant, pour les formules qui expriment les sons, les conséquences de la sup|>osition de la proportionnalité de l'élasticité absolue au carré de Tépaisseur de la lame élastique.

J'avais d'abord admis moi-même cette supposition ; elle m'avait paru conforme à l'opinion d'Euler, et je pensais alors que l'assentiment général l'avait confirmée.

Dans le $ 22 de son Mémoire sur les surfaces élastiques (*), M. Poisson a soin de remarquer que le coeiTicicnt /i^, qui n'est autre chose que la quantité nommée précédemment élasticité absolue, est proportionnelle à l'épaisseur de la surface. Une telle détermination de l'ex- |)08ant dont il est question résulte en effet des sup|K>sitions admises par cet habile géomètre.

Dans la suite, lorsque j'ai cherché à démontrer l'hypothèse qui, pour la première fois, a conduit à trouver l'équation des surfaces élastiques {^), j'ai reconnu, comme je le dirai plus bas, que ce n'est ni la première ni la seconde, mais plutôt la quatrième puissance de l'épaisseur, qui doit entrer dans la valeur du coefficient constant.

( * ) Deiie vibrazioni sombre dei cdimdri de! sig. cimtc Giordano Riocali, p. 444 ^^ Memorie di Matemata a e Ftsica deiia Socirtà italtana, Tomo I. Verona, MDCCLXXXIl ; pet. in-fol.

') Traité d\'écou*ii4fur, |Mr K -F.-F. Chladni. Paris, c-he/. Omrner, 1809; in-8*.

^ * Mémoirr smr les uufiuet éia%iuiue\y |Mir M. P«»i!Wfiny p. 167 des MétmUie» de la Clmise des Sciemes mttthémuttqmes et pk/Uffues de t'iftttttmt de France, annre 181 9, W Partir. Paris, F. Didot, MDCCCXVI; iii-4*.

/ j Reeherches suria throiiedes surfaces éiasti^ues, |Mr M"* S«»pliic Germain. Parts, l|M Y^m o,yix;ier, itfai ; in-4'»

TfllSORIE DCS SURFACES ÉLASTIQUES. S. I7

Vers la même époque, M. Navier choisissait, dans son Mémoire sur la flexion des plans élastiques ( * ), la troisième puissance de l'épaisseur. IjCs Bulletins de la Société philomathique (livraisons de juin et juillet i8a3) contiennent l'extrait d un Mémoire de ce savant auteur sur le même sujet ('); il y persiste dans le choix de la puissance troisième. L'extrait est terminé par l'observation suivante :

(c Les personnes qui se sont occupées de cette matière ne s'accordent pas toutes sur la puissance de l'épaisseur qui entre comme facteur dans le dernier terme de l'équation difierentielle. Mais le résultat obtenuici est conforme à ceux qui ont été admis par Euler et Lagrange dans leurs recherches sur la flexion des lames élastiques et des colonnes, etc. »

(* ) Mémoire sur la flexion des plans élastiques.

Ce Mémoire, lu par Navier à l'Académie des ScienceSy dans la sc^ance du lundi i4 aotkt 1820, fut renvoyé à Texamen d'une Commission composée de MM. de Prony, Poisson, Fourier, Cauchy. Navier y ajouta ensuite une Note explicative, manuscrite, qu'il remit, quelques mois après, aux commissaires.

Le Mémoire de Navier n'a été l'objet d'aucun Rapport.

Navier distribua quelques copies lithographiées de son Mémoire ; Fourier en reçut

un exemplaire et en donna connaissance à M"*" Sophie Germain, ainsi que le montre la

Lettre suivante :

« Mardi soir [i5 août 1820].

» rai l'honneur d'adresser & M"* Germain le dernier numéro des Annales de Phy sique où se trouve le Mémoire de M. Savart sur les vibrations des lames élastiques (' ). J'ai pensé que la lecture de cet écrit pourrait l'intéresser. J'es|)ère lui envoyer demain un Mémoire qui est présente à l'Académie par M. Navier, et qui a pour objet l'analyse des flexions des plans élastiques. L'auteur a fait copier ce manuscrit par les presses lithographiques et m'en a remis un exemplaire.

» Je prie M''" Germain d'agréer l'hommage de mon respect et de vouloir bien ToArir de ma part à madame sa mère. » Fourier ('). »

(•) Extrait des recherches sur la flexion des plans élastiques; par M, Napîer, p. 92 du Bulletin des Sciences, par la Société philomathique de Paris. Année 1823. Paris, in-4'.

(*) Mémoire snr !• Communication des mouvements vibratoires entre les corps solides, par M. Félix Sarart, docteur en Médecine, etc. (Lu à l'Académie des Sciences le i5 novembre 1819); page ii3 des Annales de Cfiimie et de Plijrsiqtte^ par MM. Gay-Lussac et Ara go (a* série), t. XIV, 1830, in-80.

(*) L'original de cette Lettre se trouve à la Bibliothèque nationale, dans le Manuscrit français nouveau 4073 (Libri). Elle a été publiée par M. C. Henry dans le numéro de décembre 1879 do la Revue pfiiiosoptiique dirigée par Th. Ribot.

s. l8 SOPHIE GBEMAIir.

Ainsi la première, la seconde, la troistéme et enfin la quatrième puissance de Tépaisseur ont été successivement proposées comme fecteur de l'élasticité absolue des surfaces.

Il résulte de Texamen auquel nous venons de nous livrer qu*il n'existe encore aucune doctrine solidement établie relativement à l'influence de l'épaisseur sur les phénomènes qui appartiennent aux siu*faces élastiques; si je ne me fais illusion, celle que je vais exposer sera désormais k l'abri de toute objection.

2. En appliquant au cas des surfaces les principes émis par Jacques Bemoulli à l'égard des lames élastiques, j*ai eu occasion de remarquer que le carré de leur épaisseur entre dans l'expression de la puissance qui détermine leur changement de figure. J'ai vu en m('*me temps que la force élastique, qui a pour mesure le même changement de figure qu'elle tend à détruire, introduit nécessairement aussi le carré de l'épaisseur dans l'équation différentielle. J'en ai conclu que les termes qui expriment l'action de la force élastique doivent, dans le cas où l'épaisseur est supposée constante, être multipliés par la quatrième puissance de la même dimension.

Cette remarque a été développée dans le $ 8 de mon Mémoire sur la tliéorie des surfaces élastiques ( * ) ; je me contenterai de rappeler ici le procédé qui introduit le carré de ré|>aisseur dans l'expression du changement de figure de la lame élastique.

l'n tel changement ne peut s'effectuer sans qu^il en résulte à la fois une dilatation et une contraction dans les forces opposées de chacun des éléments de la lame. Ces deux effets sont égaux entre eux, et ils peuvent également fournir la mesure de la force qui les a produits.

Pour plus de simplicité, bomonvnous à considérer l'effet de la dilatation d'une lame droite.

L'épaisseur et la longueur de l'élément de cette lame sont les côtés du parallélogramme que présc^nte sa figure naturelle. I^ lame a acquis un certain degré de courbure, lorsque, par l'action d'une force quelconque, l'élément a été dilaté dans sa partie supérieure; les deux ravons de courbure qui appartiennent aux extrémités de l'élément se

Brrherthet tur At iktorit dei tutfacrt élasùquct^ S 8, p. a 3.

rencontrent alors^ et Fangle qu'ils comprennent appartient au triangle dont les mêmes rayons et la longueur de Télément dilaté sont les cotés. En même temps, Tun des rayons de courbure, pénétrant dans l'épaisseur de la lame, coupe, au milieu de cette épaisseur, la ligne qui lui sert de mesure; il en résulte un second triangle, semblable au premier; deux de ses côtés sont la demi-épaisseur et la quantité linéaire dont la partie supérieure de l'élément a été dilatée. On conclut, de la proportion établie entre les côtés des triangles semblables, que la valeur de la quantité linéaire dont on vient de parler a la demi-épaisseur pour facteur.

Nous avons dit que l'action de la force qui a déterminé le changement de figure de la lame est proportionnelle à la dilatation qu'a éprouvée la partie supérieure de l'élément de cette lame. Il est évident que cette dilatation elle-même est représentée par la surface du petit triangle compris dans la demi-épaisseur de la lame. Pour avoir cette surface, il faut multiplier celui des côtés du triangle qui, suivant ce qu'on vient de voir, a la demi-épaisseur pour facteur, par le second côté du même triangle, qui n'est autre chose que la demi-épaisseur elle-même : la surface du triangle et par conséquent aussi la dilatation de la lame sont donc proportionnelles au carré de l'épaisseur de cette lame.

Pour arriver à conclure que l'action de la force d'élasticité est proportionnelle à la quatrième puissance de l'épaisseur de la lame élastique, il suf&t à présent de rappeler que la force d'élasticité est proportionnelle à l'effet qu'elle tend à produire, c'est-à-dire à la dilatation de l'élément de la lame qu'elle tend à ramènera sa figure naturelle,et que son action a pour mesure le produit de la force elle-même par la quantité sur laquelle elle agit.

Ce qu'on vient de dire relativement à la mesure de l'action des forces d'élasticité est indépendant de la supposition particulière d'une épaisseur constante ; car cette mesiu*e appartient à chacun des éléments de la lame considérés isolément; seulement, lorsque l'épaisseur varie d'un point à l'autre des surfaces, elle ne doit plus fournir de facteur au coefficient constant qui multiplie les termes de l'équation différentielle relatifs à l'action de la force élastique.

3. Le cas d'une épaisseur constante est le seul dont on se soit

s. aO SOPHIE GERMAIN.

occupé jusqu'à présent ; après avoir montré quelles sont^ dans cette supposition, les conséquences du choix de Texposant, je les comparerai aux données de rexpérience.

Selon qu*on fait entrer les puissances première, seconde» troi-sième ou qualrième de l'épaissc-ur dans le coefficient n' des termes

j-J 4- 3 ,^. , -h y-; de Tcquation des plaques élastiques, on trouve que les sons doivent être en raison directe des puissances (-)'^**9 première,

A OU seconde de la même épaisseur. En général, e représentant la

valeur de cette dimension par rapport à la surface, si e^^ est fiaicteur de n'» les sons seront proportionnels à e^' ; on sait d'ailleurs, en prenant pour exemple la plaque carrée dont le coté est L, que les mêmes sons

doivent être proportionnels à -^ : Texpérience peut donc nous faire con-

naître quelle est la valeur de t dans la formule rj*

I^ manière la plus simple de procéder est de comparer des pièces qui, différentes par leur épaisseur, sont, sous tout autre rapport, semblables entre elles. Il est facile de remplir cette condition à l'égard de la forme et de Tétendue des surfaces; mais on a toujours à craindre l'influence des différences d'élasticité naturelle de la matière employée.

Dans la vue d*écarter, autant que possible, cette cause d'erreur, j'ai voulu que les plaques comparées fussent coupées dans un même mor* ceau de verre, mais à des distances assez grandes pour que l'épaisseur, quoique sensiblement égale dans l'étendue de cliacune des surfiaices, fut |K>urtant notablement différente de l'une à l'autre.

J'ai successivement employé plusieurs moyens pour mesurer ces épaisseurs. J'avais d'abord eu recours à Tapplication, sur la tranche des surfaces, d'un tissu dont je comptais les fils, et j'avais déjà obtenu des résultats favorables à la théorie que je veux établir; cependant, malgré la précaution que j'avais prise de ré|)éter les mêmes opérations et de varier les tissus dont je me servais, j'ai craint que le plus ou le moins de tension dont ils étaient susceptibles ne put occasionner quelque errt^ur dans d<*s mesures aussi délicates.

Afin d'obtenir une exactitude plus grande, j'ai fait exécuter en cuivre des rapporteurs de i®, a"*, ... et lo^. Lorsque les épaisseurs de

deux surfaces étaient exactement recouvertes par les cordes de deux angles appartenant au même rayon, j'obtenais immédiatement le rapport cherché. Je le vérifiais ensuite en appliquant, sur les mêmes épaisseurs, les cordes d'un même angle dont le rayon variait en raison des différences de ces épaisseurs. Les rayons étaient mesurés en millimètres et présentaient une sorte de multiplication des différences qu'ils servaient à faire reconnaître. Ce dernier moyen a été employé seul dans les cas où les épaisseurs étaient peu différentes; mais je me suis alors servi successivement de différents angles, de manière qu'il ne me restât plus aucun doute sur l'exactitude des mesures que je soumettais au calcul.

J'ai fait un assez grand nombre d'épreuves; comme elles ont toutes fourni des résultats analogues, je me contenterai d'en rapporter quelques-unes.

Nous avons vu plus haut que le son est proportionnel à la quantité

rj; par conséquent, si Ton compare deux pièces égales d'ailleurs, dont

les épaisseurs soient représentées par e et ^^ la formule ( n\ exprimera

la différence des sons correspondant, dans chacune d'elles, aux mêmes cas de vibration. Suivant la théorie que je cherche à établir, il faut

prendre t = i ; il s'agit donc de vérifier la formule ( -7 j '

Deux pièces pour lesquelles on avait e : e' : : 7 : 6, et par conséquent (^ j = 1^9 ont donné l'intervalle d'a^ kfa égal st | La différence

entre || ^^ I ^^^7w> quantité inappréciable.

Deux autres pièces pour lesquelles on avait e : e' : : 6 : 5, et par conséquent \p\ = ::7' ont donné l'intervalle de mi ksi^y qui ne diffère

de -7 que de la distance entre un demi-ton majeur et un demi-ton

mineur.

Gnq pièces de même forme et de même grandeur^ taillées dans le même morceau de verre, ont donné, toujours pour le même cas de vibration, les sons suivants : ut^ ul^jfa^fa^ et sol *. Dans la première et la dernière, on ne reconnaissait pas la moindre différence d'épaisseur

s. a2 SOPHIB GBmifAIV.

entre les différents points du contour. On avait, pour ces deux pièces, e ; c' ; ; 5 ; 4> et par conséquent [p] = ^» L'intervalle d'ut à io/* est,

en effet, très exactement représenté par la fraction ^*

A l'égard des autres pièces, l'épaisseur était moyenne entre celles dont on vient de parler, et elle n'était pas la même pour leurs différents côtés. C'est ce qui explique, comme nous le verrons plus bas, la différence observée entre les sons.

Les expériences dont on vient de rendre compte prouvent évidem* ment, ainsi que je l'ai supposé, qu'on doit prendre I = i dans la formule (J)''.

On peut encore soumettre la théorie à un autre genre d'épreuve : on peut comparer les sons de deux pièces de même forme dont k la fois la grandeur et Tépaisseur soient différentes. En continuant de désigner les deux épaisseurs par e et e^^ et en représentant par L et L' les longueurs des côtés homologues, on aura a vérifier la formule (^7 ) 9 qui

exprime alors l'intervalle entre les sons correspondant aux mêmes cas de vibration des deux surfaces.

Les expériences faites de cette manière ont offert des résultats également satisfaisants ; je prendrai pour exemple la plus simple d'entre elles.

S'il s'agit de deux pièces dont Tépaisseur et la grandeur des côtés homologues soient proportionnelles, par exemple si l'une d'elles est en même temps deux fois plus épaisse et deux fois plus longue que

Tautre, la formule (tt) deviendra (— r) ; par conséquent elle se

réduira à l'unité; or Tunité représente l'unisson : les deux pièces devront donc, dans les mêmes cas de vibration, faire entendre les mêmes sons.

L'impossibilité de tirer d'un même morceau de verre deux sur&ces de même étendue dont les épaisseurs différassent dans la proportion de I à a m'a forcée d'avoir recours a l'emploi de pièces de cuivre. J*ai mis tous mes soins à obtenir, autant que possible, le même degré d'élasticité naturelle.

Deux plaques carrées dont les côtés et les épaisseurs étaient égale-

THÉORIE DES SURFACES iSlASTIQUES. S. a3

ment dans le rapport de :2 a i ont été comparées , et, pour les différents cas de vibration dont les pièces étaient susceptibles, on a en effet toujours obtenu Tunisson.

Peut-être me serait-il permis de regarder déjà comme suffisamment justifié le choix de l'exposant que j'ai adopté. Les paragraphes suivants seront consacrés à Texamen du cas plus général où l'épaisseur est supposée varier d'un point à l'autre de la surface élastique; j'aurai occasion de faire remarquer qu'il en résulte une nouvelle confirmation de la théorie qui vient d'être exposée.

4. Afin d'arriver à connaître les effets de la variabilité de l'épaisseur, nous choisirons d'abord pour exemple le cas où l'épaisseur d'une lame droite, différente à ses deux extrémités, varie d'un point à l'autre en raison des distances aux mêmes extrémités. Nous commencerons par déterminer, dans cette supposition, l'épaisseur pour chacun des points de la lame et les épaisseurs moyennes des différentes parties comprises entre les mêmes points. Après avoir introduit ces quantités dans les formules, nous comparerons leurs résultats à ceux le l'expérience.

Des opérations du même genre, mais nécessairement beaucoup plus compliquées, nous feront connaître, dans des suppositions analogues, l'épaisseur pour chacun des points d'une plaque carrée et les épaisseurs moyennes des parties comprises entre les mêmes points. Les formules qui en résulteront seront également comparées à Texpérience. Si l'on supposait toute autre forme à la surface inégalement épaisse, on parviendrait sans doute à connaître et l'épaisseur dans chacun de ses points et l'épaisseur moyenne des espaces circonscrits, pris sur la même surface ; mais on se trouverait alors forcé de faire entrer en considération un plus grand nombre de conditions, dépendantes toutes des distances aux points dont les épaisseurs seraient regardées comme données; il en résulterait une multiplicité de formules qui rendrait peut-être la théorie plus difficile à saisir. Les deux exemples auxquels j'ai cru devoir me borner sont certainement les plus simples qu'on puisse choisir; ils m'ont paru suffisants pour mettre la question dans tout son jour et pour faire pressentir les applications dont elle est susceptible.

s. a/| SOPHIC GKKMAIir.

5. Représentons par m et n les épaisseurs aux deux extrémités d'une lame droite dont la longueur est L ; prenons pour origine le point auquel appartient l'épaisseur m, et supposons que l'épaisseur, dans tous les points dont se compose la lame, dépende uniquement de leurs distances à chacune des extrémités, en sorte que ces épaisseurs soient proportionnelles aux mêmes distances.

Les différentes valeurs que l'ordonnée s peut recevoir expriment les distances à l'origine des points auxquels elles appartiennent. Soient # et

/deux de ces valeurs, les formules -'—'^/- — et ^' "^, ^'*'" don-

neront les épaisseurs correspondantes. Dans les mêmes suppositions, la

formule —A.H-iir ^ . JLif l représentera l'épaisseur moyenne de

partie comprise entre les deux points. Ces diverses formules sont évidentes d'elles-mêmes, et les conséquences qu'on en peut tirer ne le sont pas moins.

En effet, si on prend i =:^ ;- L, la première devient ^ et telle est

réellement, dans les suppositions présentes, l'épaisseur du milieu de la lame. Si on fait dans la dernière ï=Jj'' s^ elle représente l'épaisseur moyenne d'une partie, de longueur L — ai» prise k égale distance des

deux extrémités de la même lame, et elle se réduit encore à Il

est facile de voir la raison de cette identité : quelle que soit la distance aux extrémités d'une portion de la lame située au milieu de cette lame, son épaisseur moyenne doit toujours être égale à l'épaisseur moyenne de la lame entière; l'épaisseur dans le point de milieu correspond au

cas où on prendrait à la fois i' = L — f et i = - L, et alors la portion

dont la formule exprimerait l'épaisseur moyenne se réduirait, comme on le voit, i un seul point.

En prenant « = o, la même formule, qui devient ^ ''^' — i

donne l'épaisseur moyenne de la portion de la lame comprise entre l'origine et le point auquel l'ordonnée s appartient.

6. Avant d'entrer dans la discussion des effets dus à la variabilité de l'épaisseur, nous pourrions établir, d'après l'expérience, la propo-

sitîon suivante : Deux lames élastiques d'ailleurs semblables , dont V épaisseur moyenne, égale départ et d'autre, est variable dans l'une et constante dans l'autre, donnent l'unisson pour tous les cas de vibration dont elles sont susceptibles. En remontant plus haut, nous allons voir qu'une lame élastique dont Tépaisseur varierait* suivant la loi que nous venons d'établir ne serait susceptible d'aucune vibration régulière, si la variabilité supposée avait sur les sons que cette lame peut rendre une influence propre, c'est-à-dire qui ne dépendit pas uniquement de l'épaisseur moyenne des différentes parties dans lesquelles on peut concevoir que la même lame soit divisée.

L'Analyse montre, comme j'ai eu occasion de le dire ailleurs, que, dans tous les cas de vibration qui appartiennent à la lame élastique, il existe un ou plusieurs points de limite qui permettent de séparer la même lame en plusieurs portions, sans que le son et la figure dont chacune de ces portions sont susceptibles cessent d'être les mêmes que lorsqu'elles faisaient partie de la lame entière.

Cela posé, afin de rendre notre raisonnement plus simple, considérons le cas où il n'y aurait, sur la lame d'épaisseur variable, qu'un seul point de limite analytique, et fixons la position de ce point d'après la supposition que les parties d'inégales épaisseurs qu'il sépare sont équivalentes à des parties de même étendue et d'épaisseurs constantes égales aux épaisseurs moyennes des mêmes parties. En admettant ensuite que l'inégalité d'épaisseur entre les divers points de la lame détermine le déplacement du point de limite, nous arriverons à ce résultat contradictoire que, entre deux portions de la même lame assujetties à rendre le même son, la variabilité d'épaisseur exigera d'un coté une diminution et de l'autre une augmentation d'étendue dans les parties vibrantes.

7. Cherchons maintenant quel rôle l'épaisseur considérée comme variable doit jouer dans les formules relatives à la lame élastique. Nous avons remarqué ( § 1 ) qu'en supposant l'épaisseur constante il est indifférent d'écrire, dans la fonction de or qui donne les valeurs de l'or-

donnée z, ou -y-» ou simplement^ j pourvu que, dans ce dernier cas, on

prenne c*' pour facteur du coefficient constant qui appartient au dernier terme de l'équation différentielle.

s. a6 SOPHIE GERMàlH.

Quaud Tépaisseur varie d*un point a rautre, il faut considérer û ment chacun des points de la lame, et la première manière d'envisager la question est la seule qui convienne. 2 et i étant les coordonnées d*un point donné, on doit multiplier, dans la fonction qui donne la valeur de z^ la puissance i*^*' de Tépaisscur par la difierentielle de $. Suivant les formules données $ 5, le produit de cette multiplication

Si Ton mettait dans l'intégrale, au lieu de e^Xj comme lorsqu'il est question d'une lame d'épaisseur constante, la quantité difierentielle que nous venons de trouver, alors la fonction qui exprime les valeurs de t ne serait applicable qu'a un seul point; |>our étendre cette fonction à tous les points qui composent la lame, on doit donc écrire

Nous avons vu (§ 6) que le point de limite qui existe dans tous les cas de vibrations régulières est placé, sur la. lame d'épaisseiu* variable, en raison des épaisseiurs moyennes des parties qu'il sépare; la valeur correspondante de l'ordonnée z est donc la même que si la lame était formée de la réunion de deux parties d'épaisseurs constantes» respectivement égales aux épaisseurs moyennes des parties de même longueur, prises sur la lame d'épaisseur variable. Prenons toujours potu* exemple le cas où il n'existe qu'un seul point de limite analytique sur la hune vibrante^ et ne considérons, pour plus de simplicité, que la partie d'épaisseur variable comprise entre l'origine et le point de limite. L' donnée z qui appartient à ce point aura la même valeur que s'il pris au milieu d'une lame d'épaisseur constante égale a l'épaisseur moyenne de la partie dont il s'agit, et d'une longueur double de celle de cette partie. Une telle compensation entre l'épaisseur variable et l'épaisseur moyenne ne peut avoir lieu pour un des points de la lame sans qu'il existe des compensations semblables par rap|)ort à tous les autres points de la même lame. Et, en effet, quel que soit le point de la lame qu'on %'euille considérer» si s représente la distance à l'originci la valeur correspondante de Tordonnée s sera égale k celle qui appar* tiendrait au point semblablement situé sur une lame d'épaisseur coustaute égale à l'épaisseur moyenne de la |Mirtie dont il s'agit.

THiORIE DES SUBFAGES ELASTIQUES. S. 2'J

Il est sans doute inutile de dire que l'épaisseur et la longueur de la lame d'épaisseur constante qui entre ici en comparaison sont différentes relativement à chacune des valeurs de s.

Suivant ce que Ton vient de lire, l'épaisseur moyenne de la partie comprise entre l'origine et le point auquel appartient l'ordonnée s étant

-^ v-^ — ^> on obtiendra les mêmes valeurs de js, soit qu'on écrivéj

dans l'intégrale, ou j — — -/—■ ~ m&, ou '^ — ^^^ — - s. Par

conséquent, ces deux formules doivent être regardées comme deux expressions différentes d'une seule et même quantité. Elles doivent donc satisfaire à l'équation suivante :

J L I J ''"'- L ïL J *•

La différentiation donne

['li^jfl±iîf]'"' ds + ["'(='?^'l±--']'rf,.

Après avoir multiplié par (2 L)' et divisé par ds, cette dernière équation se réduit à

= [/n(2L — 5) -f wj'-*j[/n(aL — (r-f- 1)5] -h /i(/-+- i)5J.

Si on effectue alors les développements et les réductions convenables, on trouve

+ '-^^3-^^-0«I.)'-'.»*.['(«-m)]« / = ! ^4,'iLn^''.nl).(,mL)-'.[.(«-m)]'

s. 38 SOPHIE OKnM4IR.

Otte équation doit avoir lieu pour toutes les valeurs |)ossible8 de l'ordonnée 5; eliarun des tenues du premier membre est donc respectivement égal à relui <jui, dans le second, contient la même puissance de cette ordonnée. Prenons jMnir exemple les (V -r- i/*"^ termes des mêmes <lê\el()ppements; toutes les foiscpfon ne fera |>as n — m = o, c'est-à-dire toutes les fois qu'on ne reviendra pas à supposer l'épaisseur constante, récpiation a"": : \ -i- i de\ra être satisfaite. Cette équation ne peut se Aêrifier que |K)ur deux valeurs de V, savoir zéro et l'unité. I^\s dé\e1()ppements entre lesquels s'établit notre équation ne |K*uvent donc avoir que deux termes, et, par conséquent, l'unité est la seule valeur (|ui puisse être attribuée à l'exposant /.

Pour trouver cette vaU'ur de Texposant, il n'était pas même indis* ])ensable d'étendre l'équivalence entre les épaisseurs variables et lesépaisseurs moxenties à toutes les parties comprises entre l'origine et cbaciui des |)oints de la lame vibrante; il aurait pu suffire de remarquer que les développements do l'un et l'autre membre de l'équation ci-dessus sont composés d'un égal nombre de termes, et que cbacun ne diflere de son ccirrespondant que par le cbangement de a^en V -h 1 . L'i^|uation 2^ -- V -\- i résulterait alors de l'existence de l'équation entre les mêmes développements pour une seule des valeurs de Tordonncvi; et, d'après ce que nous avons dit plus baut, cette existence, par rap|>ort aux points de limite analytiques, a été reconnue nécessaire afin que la lame puisse exécuter des mouvements réguliers.

En pn*nant / r:^ i , on a

2 m L - - Sj -'- Ns] =- m[2L - (i -h i)s] h ni^i -f- 15,

équation identicpie. Ainsi, les conditions nécessaires à l'existence des vibnitions régulières de la lame élastique d'épaisseur variable auront lieu d'elles-mêmes, si on attribue à rex|>osant de l'épaisseur la valeur que* la simple considération de la nature des forcées d'élasticité nous a fait connaître d*a>aiHe [roir^ 2j,

(.baciinedes valeurs de z relative à la lame d'épaisseur variable est, suivant ce qu'on \ieiit de lire, égale à la valeur corres|K>ndante de la même ordonnée prise par rapport à une lame dont TépaisMUir constante

serait représentée par la formule

Si 1/ est la longueur de cette lame fictive, différente pour chacune des valeurs de 5, on devra mettre dans Tinlégrale, au lieu de — » qui se rapporterait au cas où la lame de longueur L aurait une épaisseur constante, la quantité ^^^ — ^^-— — ^ • — > qui lui est, comme on le voit, entièrement analogue.

8. Nous avons déjà eu occasion de faire observer (§ 3), en examinant les conséquences du choix de la puissance de l'épaisseur qui doit entrer comme facteur dans le coefficient du second terme de l'équation de la lame élastique d'épaisseur constante, que, si c*' représente cette puissance et que L soit la longueur de la lame, les sons correspondant aux

différents genres de vibrations seront proportionnels à la quantité y^-

En faisant, comme on le doit, / — i, cette quantité devient — ^ ainsi,

dans tous les cas de vibration, deux lames dont les épaisseurs e et e\ aussi bien que les longueurs respectives L et L', satisferont à Téqua-

tion j-5 = fTj» devront faire entendre les mêmes sons.

la proportion :— -' ::L:L exprime, conformément à ce que nous avons déjà établi, que les longueurs de nos lames fictives sont entre elles comme les épaisseurs correspondantes; il en

//M-f- /?y rw(2L~-x)-4-/i.n"

résulte que l'équation -^ — ~ = ^ — ^,, - a lieu pour cha-

cune d'elles.

Dans tous les cas de vibration, ces différentes lames rendent donc

les mêmes sons que la lame d'épaisseur constante et de longueur L. Remarquons à présent que les sons donnés par les divers points d'un corps sonore doivent être semblables entre eux et que, à défaut de cette condition, le corps dont il s'agit ne pourrait faire entendre qu'un bruit confus; nous en conclurons que, chacun des points d'une lame d'épaisseur variable dont l'épaisseur moyenne est exprimée

par et dont la longueur est L ayant, durant le mouvement, ces

s. 30 SOPHIE GBftlIA».

deux coordonnées égales à celles d*un point pris, sur une des lames fictives que nous avons considérées, et ne pouvant, par conséquent, donner un son diflTéreni de celui qui convient à la même lame, la lame entière d'épaisseur variable rendra les mêmes sons qu'une autre lame de même longueur dont Tépaisseur constante serait égale à l'épaisseur moyenne de la première.

9. S*il ne s'agissait que de justifier le choix du coefficient que nous avons adopté, le seul fait à établir, par rapport aux lames d*inégale épaisseur, serait IVxistence de?^ vibrations régulières. £n effet, nous venons de voir qu'en admettant tout autre coefficient l'analyse exprimerait l'impossibilité de semblables phénomènes ; mais, les conséquences de cette régularité do mouvements dans les lames élastiques d'épaisseur variable nous ayant fait connaître jusqu'aux moindres circonstances des mêmes mouvements, nous nous proposons aussi de comparer, avec quelques détails, les résultats de la théorie à ceux de l'expérience.

Les premiers sont, en adoptant l'exposant convenable, que la lame élastique d'épaisseur variable est susceptible de tous les genres de vibrations qui appartiennent à la lame d'épaisseur constante; que l'inégalité d'épaisseur entre les différents points de la lame vibrante donne lieu au changement de la figure que cette lame affecte durant ton mouvement ; en sorte que, par rapport à tous les cas de vibrations, la figure dont il s'agit ne peut appartenir à aucune lame uniformément épaisse, quelle que soit d'ailleurs l'épaisseur qu'on veuille lui attribuer. Une telle conclusion paraîtra évidente si Ton se rappelle qu'aucune des lames fictives à la considération desquelles on a eu recours ne peut avoir deux valeurs de l'ordonnée s égales à celles qui, sur la lame d'épaisseur variable, se rapportent à deux points consécutifs. Enfin la théorie annonce encore que l'inégale répartition d'une même épaisseur variable entre les différents points de la lame élastique n'a aucune influence sur les sons corres|>ondant à chaque cas de vibration. Ainsi, tandis que les différences d*épaisseurs moyennes, constantes ou va* riables, déterminent le changement des sons, sans que les figures corres|>ondantes éprouvent la moindre altération, au contraire, selon qu'on répartit entre les points de la lame une épaisseur moyenne

THEORIE DBS SURVACES ÉLASTIQUES. S. 'if

donnée, il arrive que la production d'un son identique se trouve accompagnée de figures différentes.

Voyons maintenant quels sont les faits observés.

Les divers cas de vibrations que présente la lame élastique d* épais* seur constante ont également lieu sur la lame d'épaisseur variable. De part et d'autre, Tintervalie des sons est le même, et chacun d'eux se trouve accompagné de figures nodales composées d'un égal nombre de points de repos. Si, dans chaque cas de vibration, on compare la position des nœuds sur la lame d'épaisseur constante à celle des mêmes nœuds sur la lame d'épaisseur variable, on observe des différences d'intervalles d'autant plus sensibles que celle des épaisseurs extrêmes est plus considérable.

La disposition des lignes de repos sur les pièces dont l'épaisseur varie d'un point à l'autre avait depuis longtemps fixé mon attention; elle m'avait donné lieu de reniarquer (t?oir la note, p. 35 de mes Recherches sur la théorie des surfaces élastiques) que Texposant attribué jusqu'à présent à l'épaisseur ne semblait pas devoir fournir, à cet égard, une explication suffisante. J'étais loin de soupçonner alors que le choix de cet exposant dut entraîner d'autres conséquences qu'une inégalité de compensation entre des changements d'épaisseurs moyennes, propor^ tionnels à ceux des longueurs respectives. J'ai fait un grand nombre d'expériences pour vérifier la parfaite égalité de cette compensation, et j'ai mis d'autant plus de soin à mesurer, sur les lames d'épaisseur variable, les distances des lignes nodales, qu'elles étaient d'abord le seul moyen de vérification que j'eusse imaginé.

L'accord le plus satisfaisant entre la théorie et l'expérience s'est constamment manifesté. En effet, les lignes nodales étaient toujours plus distantes de l'extrémité où l'épaisseur était plus considérable que de l'autre extrémité, et dans une telle proportion qu'elle aurait pu suffire pour faire rejeter tout autre exposant que celui que j'avais déjà adopté. Il est sans doute inutile d'ajouter que la position du point de limite, dont l'existence nécessaire nous a conduits à la connaissance des effets de la variabilité de l'épaisseur, était aussi plus distante de celle des extrémités où l'épaisseur se trouvait la plus grande. Plusieurs lames de verre ont été coupées en ce point; les parties séparées ont continué de rendre les mêmes sons, et elles se sont prêtées à tous les

s. 3a SOPHIK CBRMAIR.

cas de vibration qui ont lieu dans les deux moitiés d'une lame d'épaisseur constante.

Non seulement les lames d'épaissrur variable se prêtent à tous les cas de vibration qui appartiennent proprement à la lame d'c^paisseur constante, mais aussi, lorsqu'elles ont une largeur suffisante, elles s<mt susceptibles, comme ces dernières, de vibrer à la manière des plaques. Alors les ûgun^ mnlales présentent, de part et d'autre, une ligne longitudinale au milieu de sa largeur et un nombn» de lignes transver* sales plus ou moins grand, suivant que les sons correspondants sont plus ou moins aigus. Dans ce genre de vibrations, la position des lignes nodales sur la lame d*ê|>aisseur constante est facile à reconnaître, car rint«*rvalle entre deux de ces lignes est toujours exactement double de celui qu on observe entre une des extrémités de la ligne la plus voisine. Dans les autres cas de vibration, la dis|>osition des nœuds est sans doute conforme a la tbéorie, mais on ne pourrait plus s*en assurer sans recourir à la discussion drs formules. Je me suis convaincue qu'à l'aide d'une analyse semblable à celle qui détermine alors la |K>siti<m des lignes nodales sur la lame d'épaisseur constante, on obtiendrait en effet la mc^sure du déplacement des mêmes lignes sur la lame d'é|)aisseur variable. Afin d'éviter des longueurs inutiles, je me bornerai à rapporter un seul exemple. Je cboisirai l'expérience où, en même temps que la figure nodale com|>osée du plus |K^tit nombre possible de lignes offrait, sur la lame d*épaisseur constante, une disposition dont le moindre dérangement fût devenu sensible, la différence entre les é|>aisseurs extrêmes donnait lieu, sur la lame d'épaisseur variable, à un déplacement considérable.

Une lame dt; cuivre, dont la longueur était de o"',a/|:> et la largeur d(* o"*«oa8, les épaisseurs extrêmes comme i et a, a pn*senté la figure com|>osée d'une ligne longitudinale et de deux lignes transvcrsal(*s;les distances entre les lignt*s\oisinesdes extrémités et les mêmes extr(*mités éLiient de o*",o4r> et o*",o75; Tintc^rvalle entre les deux lignes s'est donc trouvé M*nsiblement égal à cequ*il eût été sur la bme d*épaisM*ur const;uite.

Il est donc facile de se* n*ndrc* compte de cette dernière circonstance, car nous avons vu li 5 que, quelle que soit l'étendue d'une partie pris4» au milieu de notre lame, son épaisseur moyenne est toujours

égale à celle de la lame entière ; il en résulte que la longueur des parties vibrantes ainsi situées doit être la même que sur la lame d'épaisseur constante. A la vérité, ce résultat exigerait, pour être parfaitement exact, que le milieu de la partie vibrante fût en même temps celui de la lame; mais, sous Tinfluence des causes d'erreur impossibles a éviter, il est difficile que des différences aussi petites deviennent sensibles.

Pour expliquer la position de nos deux lignes nodales par rapport aux extrémités voisines respectives, nous ne pouvons éviter l'emploi

des formules. Suivant ce qu'on a vu § 5, la quantité ' ~""~~l ~ ^^^

l'épaisseur moyenne d'une partie de longueur s, comprise entre l'extrémité d'épaisseur m, d'une lame dont la longueur totale est L, et le point dont s est l'ordonnée, l'épaisseur de l'autre extrémité étant n. Nous avons ici m = 2, /i = i , L = 245, ^ = 76 : l'épaisseur moyenne

devient donc ^ -*9^7-^-^ — 1- =l 22-. Afin d'appliquer la même formule

à l'intervalle compris entre l'autre extrémité de la ligne nodnle voisine,

nous changerons m en w, et réciproquement, et nous mettrons 45 à la

place de 75. Nous aurons amsi — — > = 7 — pour 1 épaisseur

moyenne correspondante.

Les épaisseurs moyennes des deux parties que nous avons à comparer sont donc entre elles comme qoS est à 535 ou comme 181 est à 107. Suivant la théorie, les épaisseurs doivent être proportionnelles aux longueurs respectives; il en résulterait ici la proportion 181 ; 107 ; : 75 :45 : : 5 :3, et l'on serait conduit à la condition 535 = 543. La différence entre les deux membres de cette équation paraîtra bien petite si l'on tient compte de toutes les causes d'erreur inévitables dans de telles expériences. En effet, le moindre changement dans la loi de la variation d'épaisseur influe sur les distances des lignes voisines, et, pour que des différences d'élasticité naturelle viennent compliquer les effets dus à la variation de l'épaisseur, il peut même suffire qu'un des points de la lame ait reçu un coup de marteau plus fort que ceux qui auraient frappé les points voisins.

Dans les nombreuses expériences que j'ai faites, les différences que j'ai observées se sont trouvées tantôt en plus, tantôt en moins; en

s. 34 SOPHIE CEftHAIV.

ftorie que, à défaut de rexactitude parfaite que Icxpérience ne peut tou* jours atteindre, et dont ce|)endant j*ai remarqué quelques exemples, ces différences mêmes peuvent servir a confirmer la théorie. Au surplus, la m€*mc chose n lieu par rapport à la position des lignes nodales sur les lames d'épaisseur C(mstante, et les petites irrégularités qu'on aperçoit alors sont du même ordre que celles que nous trouvons ici.

Ix>rsque, à Texemple de M. Wheatstone, on fait vihrer une lame couv«»rte d'eau, les ondes dont Tamplitude est égale sur la lame d'épaisseur constante manifestent, sur la lame d'épaisseur variable, rinégalité que nous avons reconnue entre les différentes valeurs de Tordonnée z. Deux ondes \oisinessont st*nsiblement égales; mais on remarque une dégnidation évidente lorsqu'on observe, comparativement, les plus proches et les plus éloignées de Textrémité où l'épaisseur est la plus gnuide. Ainsi que je l'ai expliqué ailleurs ( * ), les expériences de ce genre doivent être regafdét's comme une contre-épreuve de celles de M. Chladni; elles prouvent également que la figure d'aucune lame vibrante d'épaisseur constante ne p<*ut être semblable à celle qui appar* tient, dan;> les mêmes circonstanceS| à la lame d'é|)aisseur variable.

H nous reste à faire connaître les résultats de Tcxpérience à l'égard de l'influence qu'a sur les sons l'inégale répartition de l'épaisseur entre les différents points de la lame vibrante.

lin grand nombre de faits analogues m'ont prouvé que ré|)aisseur moyenne détermine, seule, l'inégalité des sons entre deux lames égales d'ailleurs : je n'ai jamais remarqué la plus petite exception à cette loi. l'our rendre Texperience plus concluante, je me suis procuré une lame de cuivre fabriquée en même temps que celle dont j'ai {larié plus haut et a\ec les plus grands soins |)our que la différence de ces deux pièces fut uniquement, d*une |iart, Tégalité d'épaisseur et, de l'autre, la va« riation de la même é|)aisseur dans la pro|iortion de 1 à 3, fiour les points extrêmes.

Dans tou% les cas |>ossibles de vibration, la différence des sons s'est trouvée aunlessou» d'un demi-ton : elle était, \vàr conséquent, au«des* sous de la limite des erreurs qui ont été regardées comme inévitableS| dans lc*s cas même où la possibilité demployer des pièces de verre

( * , Voir U Moir A, a U fia du Mrtnnire,

prises dans le même morceau permet d'écarter l'influence des différences d'élasticité naturelle.

Je ferai observer que ce dernier résultat suffirait seul pour justifier la théorie qui vient d'être exposée, qu'il ne saurait exister dans toute autre supposition et qu'il est une conséquence immédiate de la considération des épaisseurs moyennes.

Nous verrons, dans les paragraphes suivants, qu'une théorie semblable s'applique également aux surfaces d'épaisseur variable.

10. Par rapport aux surfaces, le cas le plus simple qu'on puisse imaginer est celui d'une plaque carrée dont l'épaisseur varierait d'un point à l'autre en raison des distances aux quatre angles de la même plaque, qui présenteraient tous des épaisseurs différentes.

Nous commencerons par déterminer» dans cette hypothèse, l'épaisseur pour chacun des points de la plaque et les épaisseurs moyennes des espaces carrés dont quatre des mêmes points termineraient les angles.

Désignons à la fois par les lettres m, m\ n et n' les quatre épaisseurs extrêmes et les angles auxquels elles appartiennent. Soit A la grandeur du côté de la plaque; prenons le point m pour origine; la position des différents points de la surface sera déterminée par leur distance aux deux côtés adjacents mn et mm% qui seront les axes des coordonnées; désignons-les par les lettres s et /*.

En opérant ici comme nous l'avons fait § 5, à Toccasion de la lame

d'épaisseur variable, les formules ^^--"-*^ — ^', — ^ .rzJJ^J^I représenteront les épaisseurs de la plaque dans deux points; le premier placé sur Taxe des 5 à la distance s de l'origine, le second appartenant au côré parallèle m'n' et distant de la quantité s de l'angle m'.

Quelle que soit la position d'un point pris sur la surface, on peut toujours trouver une valeur de s telle que le point dont on cherche Tépaisseur appartienne à la ligne qui joint les deux points dont les formules précédentes font connaître les épaisseurs.

Supposons qu'il s'agisse d'un point placé aux distances r et ^ des côtés mn et /n/n'; l'épaisseur correspondante sera donnée par la for-

S.-ÏG

SOPHIE GERMAIff.

On voit en eflel que les épaisseurs extrcwes de la lîpie à laquelle appartient le point dont il est question sont employées ici de la même manièn* que l'ont été les quantités analop^ues dans les formules précédentes.

En efTectuant les développements convenables, nous aurons

. . r /II' A f • /i'»n

fn A' — mKr — /«A < -•■ mfr ~i- n Km — nsr -^ m' Kr — m'sr -+- n*%r

/M A' — m\ r • \ -♦- A iit'\-tnt x m — - n '^ m* -^ n r.t

Supposons ensuite qui* Tépaisseur

wi A* — m K r -4- f -4- A ft% i- m' r - m -- n — m* * //" f\

appartienne au point de la surface situé à Tuu des angles d'un es|)ace carré pris sur la même surface ; si i est le coté de ce carré, les épaisst»urs correspondantes aux trois autres angles seront

/« A* — m A r -* t * .c ' 4- A ' /i« -f- m' r -4- / -h m — /i - - m* -4>- //'Vf r -u /

et

/Il A'-- /»/ A '/ 4-f -^- *-*- / -4- A // *~l-/ * m' r-^t -*- m - ft -^ m* ♦- //' « * f r-^e

(cherchons à prissent quelle est Tépiiisseur moyenne île r«»space carré terminé par les lignes «pii joignent les quatre angles.

Soit qu'il s'agisse d'une ligne ou d'une surface matérielle d'épaiss<*ur variable, il est clair qu'on trouverait Tépaisseur moyenne cou* \enable à cliaquecas si, après avoir pris la scmune des épaissiuirs de tous les |M>ints qui appartiennent soit à la lame, soit à la surface, on diviv'iit cette somme p;ir le nombre des mêmes points.

A l'égard de la lame, les épaissinirs des «lifférents points qu'on parcourt en allant d'une extrémité à l'autre étant en progression arithmétique, si Ton prend la somme drs épaisseurs de deux d'entre eux, semblablement pl«ic<'»s par rapport aux <*xtrémités respectives, cette somme,

divisée par 3, donnera également répaisseur moyenne de la ligne entière, et c'est ce que nous avons pratiqué § 5. On voit, au reste, que la première opération n'est autre chose que la somme de celles qu*on peut lui substituer; car on épuiserait toute la ligne en prenant successivement, deux à deux, tous les points qui la composent.

Des remarques semblables peuvent s'appliquer à la plaque carrée d'épaisseur variable. Conformément à ce que nous avons établi plus haut, les épaisseurs des différents points qu'on parcourt en allant d'une extrémité à l'autre des côtés sont en progression arithmétique, et les épaisseurs extrêmes appartiennent aux quatre angles. Il en résulte qu'on aura l'épaisseur moyenne de la plaque entière si, après avoir pris la somme des épaisseurs qui conviennent à quatre points placés semblablement par rapport aux quatre angles, on divise cette somme p.ir /| . La même opération, répétée successivement à toutes les distances possibles des angles, prises sur les cotés, épuisera les lignes matérielles qui appartiennent au contour. La surface restante sera terminée par de nouveaux cotés plus petits que les premiers; on n'aura plus qu'à continuer des opérations du même genre pour arriver enfin au centre de la plaque, et l'épaisseur en ce point sera aussi exprimée par la même formule.

Ce qu'on vient de lire est également applicable à tout espace de même forme pris sur la plaque carrée. Il est évident en effet, d'après la loi de variation à laquelle sont assujettis les différents points de cette surface, qu'il est permis de la diviser par un nombre égal de lignes parallèles à chacun des côtés sans que les résultats précédents reçoivent la moindre modification.

Nous venons de voir que chacune des opérations indiquées conduirait à la même formule et que cette formule exprimerait Tépaisseur moyenne de la surface carrée. On peut en conclure que les différents espaces de même forme, dont le centre se confond avec celui de la plaque et dont les côtés sont plus ou moins distants de ce point, ont tous la même épaisseur moyenne, et que cette épaisseur est égale à celle du centn» même qui sert ici de limite.

Observons que cette conclusion est parfaitement analogue à ce que nous avons trouvé § 5, relativement à la lame d'épaisseur variable.

L'expression de l'épaisseur moyenne soit de la plaque entière, soit

s 38 SOPHIE GERMAI9.

d'une de ses parties carrées, se présentera sous la forme la plus simple qu'elle puisse recevoir si les quatre épaisseurs qui doivent y entrer sont prises aux angles mêmes de la surfiice.

En faisant usage des formules ci-dessus, nous aurons ainsi, pour Tépaissour moyenne de la |)etite surface carrée dont le coté est I,

Si la surface dont nous parlons a un angle commun avec la plaque entière, la formule (A', deviendra elle-même Ix'aucoup plus simple. En effet, quand on prend successivement r = o, i = o; r = o, j s A; r = A, 1 =r o» et r=: A, 1 s= A, en avant toutefois soin d*érrire ^ A — / au lieu de a A 4- 1, pour satisfaire aux changements supposés dans les situations relatives ii Torigine, cette formule donne, après les réductions convenables,

' 4'" A* — 4 '''A/ -h a A ni-hm'i -+- iw -- /t — «/ ^- i,' /»

4«A' — 4''Ar 4- t».A;m/-+- /»'/ 4 /i — w — /i' -4- m' /' ÎÂ^ •

^ ' » 4w'A«-~ ^m'Af-l-aA m/4- «'/ -♦- 'm'-^n'—iw-hJf /»

4» A» — ^w'Af 4--» K'ni^m't' 4-'m — « — m'4-/i' /»

liCS formules (R) expriment les épaisseurs moyennes de quatre espaces carrés de grandeurs égales, pris aux angles de la surface.

liorsque Ton fait / --• A, h*s quatre |)etiteH surfaces se réduisent à une seule, qui n'est autre chose que celle de la plaque entière. T^'s

formule?! Jl) deviennentalors identiques, etellesdonnent " ''

pour rexpn*ssîon de Tépaisseur moyenne de cette surface. Indépendamment de touti» supposition |)articuliére sur la valeur de /, on arriverait, comme il est facile de le voir, au même résultat en prenant la somme des quatre formules (B) et en di\'isant cette formule par 4- Pour se rendre raison de cette identité de résultats, il suffira, après

THÉORIE DES SUBFâCES ELASTIQUES. S. 39

ce que nous avons vu plus haut, de remarquer que les quatre espaces dont les épaisseurs moyennes servent en dernier lieu à trouver celle de la plaque entière sont occupés par autant de groupes composés d'un égal nombre de points matériels semblablement placés par rapport aux angles respectifs de cette surface.

Les épaisseurs moyennes de deux côtés opposés étant et 1

leur somme, divisée par 3, donnera aussi la même formule : ces deux côtés peuvent en effet être considérés aussi conune deux groupes composés d'un égal nombre de points matériels également situés par rapport au centre de la plaque. Cette dernière opération, comparée à celles qui nous ont donné les épaisseurs moyennes des simples lignes matérielles, montrent que les côtés remplacent ici les points extrêmes relatifs au cas linéaire. La même opération peut donc être regardée comme la somme de celles qui seraient pratiquées sur toutes les lignes matérielles perpendiculaires aux côtés dont il s'agit.

Sous ce point de vue, il devient clair que le rapport entre la grandeur des côtés et leur distance ne peut entraîner aucun changement dans le procédé qui doit faire connaître l'épaisseur moyenne du parailélogramme auquel ils appartiennent.

Il ne Test pas moins que les épaisseurs aux quatre angles entrent toutes également dans la formule qu'on obtient. Nous en conclurons que , quel que soit le rapport entre les différents côtés d'un espace parallélo* granmie pris sur notre siu'face carréoi des formules analogues aux précédentes nous feront connaître les épaisseurs moyennes correspondantes.

Soient / et ^ les grandeurs des côtés adjacents à l'angle du parallélogramme dont les coordonnées sont r et^; les épaisseurs aux quatre angles seront exprimées par les formules suivantes :

mA" — - mA(r-+- x) -f- A(wjr-4- m'r) -+- (m — n — m' -4- n')rg : , ,

mA* — mA{r-i-t-^-t]+ A [«(«-H /) -f- «'ri -+■ (nt — <i — «'-«-«')(* 4-<1r ,

^ ' mA* — mA{r^ t" -h t)-i- A[nii -^m' (r + t)]-*-(m — n — m' -\- n'){r-4- l'it

s. 4o SOPHIE GERMAIN.

Leur somnu*! clivistV |>ar /|, se réduit a

Olte formule représente l'êpaisM^ur moyenne clans l'espace parallélogrammcy et, pour la rendre identique à la formule (K\ il suffira de faire/ = /'.

I^rs(|u*on prend sucressivemtnit /* i- o, s -- o; r r- A, * :^ i>; r— o, 1 ^ A et r- : A, 5 ~ A, en a\ant soin d écrire a A - - /, a A /'au Heu de a A i /, a A -t t\ cette formule donne, après les réductions convenableSf

4wA* --■ a/»iA / *• /' * -y A ne -f- m' t ■+- m — /# - /«' t //' //'

* 4 /«'A* — -w/i'A / 1 f' * •> A w/' -*- «'/ -h m' - ft' -^ /« -f- // //'

{«'A*- l/i'A'/- f' 4-?A nl-*-m'l' ■+■ u' — m' — n-i-m II'

Olles-ci expriment les épaisseurs moyennes de quatre surfaces parallélogrammes, prisi's aux angles de la plaque et égales entre elles.

Si Ton voulait avoir les épaisseurs moyennes des deux diagonales du parai lélognunme à Tun des angles duquel appartiennent les coordonnées ret i, il faudrait prendre les sommes <le celles des formules f D) qui se rapportent aux angles opiK>sés et les divis<T par a ; il en résulteniit les formules suivantes :

' •» m \* m K ^ r-^ t* i '>«-u/ -» A «»«-»-/ +- tu' i r -i- /' -i- »$» — n — m' -I- «' i '«-*-'■►- / « -^ r '

Il existe* un cas fort remarcpiable dans lequel les diflen*ntes formuU^s auxcpielles on \ient d*étrc* conduit n*coivent tine grande simplification ; c'est celui où les épaisM*urs extrêmes m, w, m' et n sont en progression

arithmétique. En prenant alors in = rf-i-3î, n = rf-f-3(>, m' = rf-f-^ et n! = dj il est visible que les termes dont m — n — m' -h n' est facteur disparaissent d'eux-mêmes. Les deux formules (F) sont donc semblables entre elles, et la formule (D) leur est identique. Dans les suppositions présentes, les épaisseurs moyennes des deux lignes matérielles diagonales d'un parallélogramme quelconque pris sur la surface carrée sont, par conséquent, égales entre elles, et elles sont aussi égales à l'épaisseur moyenne du même parallélogramme.

Si l'épaisseur variait dans un seul sens, c'est-à-dire si l'on avait m == m', n = n'y le facteur m — /i — m' -f- n' se réduirait encore à zéro ; et, par conséquent, les épaisseurs moyennes des deux diagonales et du parallélogramme auquel elles appartiennent seraient aussi égales entre elles.

Les formules précédentes vont nous servir à trouver les conditions du mouvement régulier par rapport à la plaque élastique d*épaisseur variable.

11. En traitant du cas linéaire, nous avons déterminé, par la considération des conditions nécessaires à l'existence des mouvements réguliers, l'exposant de la puissance de l'épaisseur qui multiplie la variable dans l'intégrale. Il serait facile de suivre ici la même marche, mais elle entraînerait de longs calculs; il sera plus simple de regarder d'abord l'exposant de l'épaisseur comme étant connu et de montrer ensuite que les résultats obtenus ne pourraient avoir lieu dans aucune autre supposition. Observons que cette manière de procéder est d'autant plus naturelle, qu'on ne saurait admettre que la puissance de l'épaisseur soit différente par rapport aux surfaces de ce qu'on l'a trouvée par rapport aux simples lames #

Lorsqu'il s'agit d'une surface d'épaisseur constante, l'intégrale qui fournit les différentes valeurs de l'ordonnée z est fonction des deux autres coordonnées x et /.

Par rapport à la plaque carrée dont le côté et l'épaisseur sont A et e,

on peut indifféremment écrire, dans l'intégrale, ou --> -^ ou -» ^»

pourvu que, dans ce dernier cas, la quantité e* se retrouve comme facteur dans le coefficient des derniers termes de l'équation différen-

s. 4^ SOPHIB GERWAIH.

lielle. Lorsque l'épaisseur varie d'un point k l'autre de la surface, celle dernière manière d'envisager la question cesse d*étre applicable. Nous allons chercher quelles sont alors les formules qui doivent remplacer les quantités --i -- dans la fonction qui exprime les différentes

valeurs de z.

Il règne la plus grande analogie entre le cas présent et celui que nous avons déjà examiné. Quand il était question d'une simple lame, l'épaisseur variait d'un point à Tautre» en raison seulement des changements des distances aux extrémités linéaires.

Par rapport à un point donné, il a sufH de multiplier, sous le signe intégi*al, la difrérentielle de Tordonnée qui mesurait la distance de ce point à l'extrémité prise pour origine, ]>ar l'épaisseur de la lame au même point. En prenant ensuite la somme de ce produit, on a obtenu une formule applicable à tous les points de la lame, formule parfaitement analogue à celle qu'on peut employer lorsque l'épaisseur est supposée constante.

Nous allons nous occuper, non plus seulement d'une ligne matérielle élastique, mais d'une surface carrée. Chacun des points qui la composent appartient également aux deux lignes matérielles parallèles aux côtés, qui se crois€*nt au même point, et l'épaisseur varie en raison des distances aux deux axes des coordonnées, axes que nous avons déjà désignés par les lettres s et r, pour les distinguer de ceux qui appartiennent à la plaque d'épaisseur constante.

Si ef représente l'épaisseur d'un des points, en le considérant d'abord comme appartenant à une ligne parallèle à l'axe des r, on aura la formule Je'dr^ semblable à celle qui convient au cas linéaire. Le même point appartient en même temps à une ligne parallèle à l'axe des #; en le prenant isolément, on doit multiplier l'épaisseur qui lui convient par la différentielle de s. Observons que la formule fe^dr remplace ici le produit ey de l'épaisseur par Tordonnée et que ce produit, divisé par 7*, donne ré|>aisseur e : nous verrons alors que la formule ftfdr. divisé<' par r, donnera Tépaisseur du |)oint dont il s'agit, en tant qu*il est regardé comme appartenant déjà à la ligne parallèle à l'axe des r, que la formule ^- ^ ^ </i conviendra au même point et que la somme / ( - '^ j ds , applicable à tous les points de la plaque d'épaisseur vanablo. rcmpla-

cera la quantité ex. qui convient à la plaque d'épaisseur constante. Par des raisonnements semblables on trouvera que, dans l'intégrale

relative à la plaque d'épaisseur variable, la formule / f*^-— ) ^^ doit

remplacer la quantité ey, qui appartient au cas où l'épaisseur de la surface est supposée constante.

Le point auquel nous avons attribué l'épaisseur e' est celui dont les coordonnées sont ret s; par conséquent, les formules (C) donnent

On en conclut

fe'dr mA* — mA(-^r-|- 5)4- A(/îj -4- m'|r) -4-(/7i — « — m '4-V)J^

amA* — mA{r -his)-h A[7Lns-h m'r)-h[m — « — m' -4- /i')ry

r f p y a/nA* — /wA(r-4-5)-f- A(«J-*-m'r)-l-(/?i — n — m'-4-/iM —

r J 'xA}

4/nA* — 2/wA(r-4-j) -\-^\[ns-\-m* r) -4-{/w — n — m! -\-n']rs

4A« On conclut également de la même valeur de ef

Je* ds 2/w A* — mA(2 r -+- s) -f- A(/?^ -f- 2 m* r\ -f- (m — n — m'-+- /i') /»

S^^\j 4''*^'"" '2'wA(r-+-*)-f- 2A(/ïf -h/w'r) -4- (m — « — m'-^ /i')rj

Suivant les formules (E), la valeur qu'on vient de trouver pour les

deux quantités / y——] às^ j y- — -j dr, divisées respectivement par 5

et par r, exprime l'épaisseur moyenne de l'espace parallélogramme dont un des angles est commun avec l'angle m de la surface et dont les cotés J et r sont les coordonnées de l'angle opposé au premier.

Il est clair qu'à chaque nouvelle valeur de r et de j correspond un parallélogramme différent, et par conséquent aussi une épaisseur moyenne différente. En continuant de désigner par c et A l'épaisseur et le côté de la plaque carrée dont l'épaisseur constante est égale à l'épaisseur moyenne de la surface qui fait l'objet de nos recherches,

s. 44 SOPHIE GERMAIN.

nous nommerons E Tépaisscur moyenne correspondant à une valeur donnée de x et r; la longueur A', qui sera le quatrième terme de la propoilion f : A :; E : A'; appartiendra au côté d'une plaque carrée dont Tépaisseur constante serait E.

Dans la fonction qui donne les valeurs de z relatives à la plaque

d*épaisseur variable, on devra écrire -^j - >• Chacune de ces valeurs

appartiendra en même temps à autant de plaques fictives dont les cotés et les épaisseurs seront A' et E.

De ce que nous avons dit plus haut il résulte que les sons correspondant à chacim des cas de vibration dont une plaque carrée est susceptible sont en raison directe de Tépaisseur et en raison inverse du carré du coté de la même plaque.

La proportion e : A ; : E : A' donne lieu à Téquation -j = - - ; dans

tous les cas de vibration^ les sons rendus par chacune des plaques fictives dont nous venons de parler sont donc les mêmes que ceux qui appartiennent, sous les mêmes conditions, à la plaque carrée dont Tc^paisseur et le côté sont e et A.

Lorsqu*un corps sonore est susceptible de vibrations régulières, le son rendu par chacun de ses points ne saurait être différent de celui que fait entendre le cor|)s entier; cliacun des points de la plaque d'épaisseur variable qui exécute les mêmes mouvements que s'il appar* tenait à une de nos plaques fictives doit donc rendre les mêmes sons (pie ces plaques, et par conséquent aussi les mêmes sons que la |)laque dont l'épaisseur constante et le côté sont e et A. Il s'ensuit que deux |>laques carrées dont les côtés sont égaux et dont les épaisseurs moyennes sont égales aussi donnent, dans les mêmes cas de vibration, des sons semblabl'^s, quoique ré|>aisseur soit constante dans l'une et variable dans l'autre.

De* ce qu'on vient de voir on |ieut encore conclure que, si l'inégale distribution de l'épaisseur entre les différents points d'une plaque carrt*e ne donne lieu à aucun changement |)ar rapport aux phénomènes «mores, elle cliange au contraire tellement les figures que la surface affecte durant ses divers mouvements, qu'aucune plaque d'épaisseur constante ne pourrait se ployer aux mêmes figures.

12. En se bornant à la loi cie variation qui sert de base aux recherches précédentes, les résultats que nous venons d'exposer renferment la théorie de la plaque d'épaisseur variable.

Dans les formules j f*^-— ) ^i I [——j^'^f nous avons pris, comme

on le doit, ^ = i, et cette valeur, dont l'exactitude nous était déjà connue, nous a conduits à la considération des épaisseurs moyennes.

Ainsi que nous avons déjà eu occasion de le dire, la compensation qui s'établit, durant le mouvement de la plaque d'épaisseur variable, entre les épaisseurs moyennes des parties qui la composent et l'étendue des mêmes parties, aurait pu être présentée comme une condition indispensable de la possibilité des mouvements réguliers de la surface, et nous serions également parvenus à en conclure la nécessité de l'équation t = i.

En effet, l'existence des lignes de limite, dan^ tous les cas de vibrations régulières, aurait servi à prouver la compensation entre l'épaisseur moyenne et l'étendue des parties que ces lignes séparent.

Si on eût voulu remonter plus haut, il eût été facile de se passer de la considération des lignes de limite : il eût suffi d'admettre qu'un même cas de vibration, considéré dans deux surfaces d'épaisseur et d'étendue différentes, donne lieu à l'existence du même nombre de valeurs homologues de l'ordonnée z; chacune de ces valeurs aurait pu alors être employée avec autant d'avantage que les lignes de limite pour déterminer, dans le cas d'une épaisseur variable, quel est le point de la surface auquel elles appartiennent, et la compensation que nous avons en vue n'aurait pas semblé moins nécessaire.

Remarquons que les expériences imaginées par M. Wheatstone rendent sensible l'existence des valeurs homologues de l'ordonnée z. Le nombre des ondes qui se manifestent dépend de celui de ces valeurs, et l'amplitude des mêmes ondes fait connaître la distance des points auxquels elles appartiennent.

Cette manière d'envisager la question est donc appuyée sur la nature intime des mouvements de vibration, et, en ayant recours à la considération des lignes de limites, on ne fait autre chose que de choisir pour exemple des valeurs particulières de l'ordonnée z.

Les compensations nécessaires à l'existence des mouvements réguliers

s. 4^ SOPHIE CB1IMA15.

de la plaque dVpaisseur variabie une fois admises conduiraient ensuite

à déterminer la valeur do / dans les formules / r- — -j dSf I r Wr.

En se ctmtenUint même d'observer que de telles compensations exigent qu'on puisse satisfaire aux équations suivantes,

m A* —- m A '• r -^ s] -h A[ns -hm'r' -+- (w — it — m'-4- «Mr» V

dr\

- 3- -- -rL

f4««A*— imA.'r-+-/^ -H lA^/fJ-h m'r^-h^m — n — m'-hii'lrfy

on verra clairement que Tunité est la seule valeur qui puisse être attribuée à Tex posant /. On conclura donc ici, comme on Ta fait dans le cas linéaire, que, en adoptant toute autre valeur, Tanalyse exprimerait, à regard des plaques d'épaisseur variable, l'impossibilité des phénomènes sonores.

Quand l'épaisseur varie seulement dans le sens d'un des axes, c'està-dire quand on a à la fois m = m\ n = n\ les formules qui sont propres à la surface deviennent applicables soit à la lame d'épaisseur ccmstante, soit à la lame d'épaisseur variable, selon qu'on reganie comme constante l'une ou l'autre des ordonnées s et r. Ce qui arrive alors est entièrement analogue à ce qui a lieu entre les plaques et les lames d'épaisseur constante. Aucun rapport semblable ne saurait exister entre les formules qui ap|)artiennent à la surface dont l'épaisseur varie en raison des distances de chacun de si^s points aux quatre angles sup- |K)sés d*épaissetu*s difTérentc^s et celles d(^ lames auxquelles la même surface se tnmverait rc*iluite si l'on faisait abstraction d'une de ses dimensions. En elTet, la loi de la variation sup|K)se alors l'existence d(*s quatre angles de la surface; il y aurait donc une contradiction manif<*ste si l'on voulait ensuite faire al)straction de deux d'entre eux. Ix'S coMM'quences de la théorie que nous venons d'établir sont : Que les plaques d'épaisseur variable doivent être susceptibles de

tous les genres de vibrations qui appartiennent aux plaques d'épaisseur constante ;

Que deux plaques, d'ailleurs semblables, dont l'épaisseur moyenne, égale de part et d'autre, est constante dans l'une et variable dans Tautre, doivent, dans les mêmes cas de vibration, faire entendre les mêmes

sons;

Enfin que les figures correspondantes qu'affectent les deux surfaces, et par conséquent aussi les figures nodales qui servent à faire distiniguer les premières, doivent présenter des différences propres à faire reconnaître la compensation qui s'établit, pendant le mouvement, entre les épaisseurs moyennes des différentes parties de la plaque d'épaisseur variable et l'étendue des mêmes parties.

Il reste à rendre compte des résultats de l'expérience.

13. Il m'a été très difficile de me procurer des plaques où l'épaisseur fut répartie selon la loi qui fait l'objet de mes recherches; et, quoique j'aie borné ma demande au cas le plus simple qui y est compris, l'exécution en paraissait impossible. Je dois à l'obligeance de M. d'Arcet ( * )

( ^ ] D*Arcet ëtait très lié avec la famille de Sophie Germain. Il nous a semblé à propos de reproduire ici la Lettre suivante :

 Monsieur d'Arcety à la Monnaie^ Paris.

• MOHSIKUR,

» J'ai lu avec intérêt le petit Mémoire que vous avez Joint au joli ëchantillon que TOUS avez eu la bonté de m'envoyer (']. J'admire toujours avec quelle sagacité vous faites servir vos nombreuses connaissances à tous les genres d'utilitcs. Combien sont rares et précieux les hommes qui savent faire de leur talent un bienfait pour la société !

> Je prends la liberté de vous adresser un exemplaire de mon petit Mémoire. Je n'espère guère qu'il puisse vous intéresser; aussi trouverai-je fort bon que vous le mettiez derrière le feu s'il vous embarrasse.

M J'aurai peut-être recours à votre complaisance pour savoir si je pourrais trouver quelque ouvrier qui sût donner au verre les différentes courbures qui seraient nécessaires aux expériences que je veux faire. J'ai dépensé loo'*' l'année dernière sans pou-

(*) n s'agit du Mémoîro de MM. d'Arcet et Thenard, intitulé De V emploi des corps gras comme hydrofuge d«ms la peinture sur pierre et sur plâtre et dans fassainissement des lieux bas et humides. Ce Mémoire, publié pour la première fois dans les Annales de Chimie et de Physique^ t. XXXIl. p. a4 (1S36), a depuis été réimprimé plusieurs fois.

s. 48 SOPUfK GERlfAIlf.

de Di^aToir fait connaître un mécanicien habile, M. Moulfarine, qui a bien voulu se cliargor de ce Iravail.

Apn's une attente de trois mois, j'ai obtenu dix pièces dans lesquelles la même épaisseur moyenne était répartie de trois manières différentes. Dans les premières l'épaisseur aux quatre angles était comme /|, a» a et

I ; l'épaisseur moyenne était donc comme 7* Dans les secondes, l'épaisseur aux quatre angles était comme a, a, 1 et i. Enfin, dans les troisièmes, répaisseur constante était aussi comme ^«

Toutes ces pièces ont été usées à la lime, pour être amenées aux épaisseurs exigées. Malgré l'exactitude sur laquelle je comptais, j'avais prévu Timpossibililé de reconnaître, par rapport aux points intérieurs, si la loi était scnipuhuisement obser\'ée, et, comme je ne doutais pas que les moindres différences n'amenassent des distorsions dans les figures nodales, j'ai désiré avoir un nombre plus grand de plaques d'épaisseur constante que de plaques d'épaisseur variable.

Par cette précaution, les chances d'imperfection étant égales entn* toutes les surfaces, soit d'épaisseur constante, soit d'épaisseur variable, j'ai acquis le moyen de distinguer les effets dus à la loi qui est l'objet de nos expériences de ceux que pouvait produire le défaut des pièces.

Dans les dix plaques, la grandeur du côté était très exactemeni de o'",ioo; je n'ai remarqué que de faibles différences entre leurs poids, et les é|>aisseurs aux quatre angles étaient aussi telles que je les avais demandées.

Ja^s ex|>ériences dont je vais rendre compte ont été faites sur trois pièces dont les poids étaient |)arfaitement égaux et où les épaisseurs élaiont réparties suivant les trois moiles que je viens d'appliquer. Ainsi, dans la première, l'épaisseur variait suivant deux directions; dans la seconde, suivant une seule ; et dans la troisième ce genre d(* variation était nul. Ces pièces seront désignéi*s à l'avenir par les trois lettres \V, \ et C.

voir c»blriiir aatre ch4»S4* que âvs fragniciiU informes et d'un verre tellement recuit, qu'il i*tiit (l«*\enu iinp4»'^%il>le de le cou|>er au dianijut sans le ca&MT en d*atttn>» cndniit^. • A^nvx, Mou sieur, ini*s rcniercîmeou et mes très hunihlf^ rfiroplimenls.

• S. GCRMAI^.

• C« i<^ juillet. •

I^ théorie veut que les plaques d'épaisseur variable soient susceptibles de tous les genres de vibrations qui appartiennent aux plaques d'épaisseur constante.

L'expérience n'a présenté aucune exception à ce fait; les intervalles entre les sons correspondant à chaque cas de vibration des plaques d'épaisseur variable ont toujours été les mêmes qu'avec les plaques d'épaisseur constante, et, si les figures nodales ont montré des distorsions sur les premières, des distorsions analogues ont été observées sur les secondes.

Non seulement les plaques d'épaisseur variable doivent se prêter aux différents genres de vibrations qui ont lieu par rapport à celles dont l'épaisseur est constante, mais même, toutes les fois que l'épaisseur moyenne est égale de part et d'autre, les sons produits par ces vibrations doivent être les mêmes.

Cette indication de la théorie a été également confirmée par l'expérience.

Dans tous les cas de vibration auxquels elles se sont prêtées, les plaques W et C ont fait entendre exactement les mêmes sons. Il n*y a eu qu'une seule exception correspondant à la fig. 67 de Chladni : alors le son rendu par la plaque W était d'un demi-ton plus bas que celui qui appartenait aux deux autres plaques. Dans les deux premiers cas de vibration, la plaque Y, comparée aux précédentes, a donné un ton et demi et un ton d'intervalle ; ces deux sons étaient alors plus élevés qu'avec les pièces W et C. Dans les cas suivants, les trois pièces étaient à l'unisson.

J'ai comparé sous le même rapport trois plaques d'épaisseur constante, choisies parmi celles qui avaient exactement le même poids. Deux de ces pièces ont donné, dans le premier cas de vibration, l'intervalle d'un demi-ton ; la troisième a présenté, toujours dans les deux premiers cas de vibration, la différence de deux tons et demi et deux tons. Dans les cas suivants, les sons se sont rapprochés ; mais j'ai observé plusieurs fois des différences qui n'avaient pas eu lieu avec les pièces où l'épaisseur était diversement répartie. A la vérité» l'inspection des figures nodales m'a donné lieu de penser que, parmi les pièces qui étaient à ma disposition, celles que j'ai désignées par les lettres W, Y et C étaient les plus parfaites.

s. 5o SOPaiE GERMAIN.

Malgré cette raison de préférence^ ces pièces ont encore montré, dans pn-sque tous les cas de vibration, des distorsions très sensibles; aussi n*espérais-je pas d'abord obtenir des résultats aussi satisfaisants par leur constance et par leur exactitude.

Après avoir prouvé que Tinégale répartition de l'épuisseur n*a aucune influence sur les sons, il nous reste à examiner si, conformément à la théorie, les figures nodales qui accompagnent les mêmes sons sur la plaque d'épaisseur variable et sur celle d'épaisseur constante présentent en effet des différences propres à faire reconnaître la compensation qui sVtablity pendant le mouvement, entre les épaisseurs moyennes des difl*érentes parties de la plaque d'épaisseur variable et Tétendue des mêmes parties.

Nous avons vu dans le paragraphe précédent que les valeurs des coordonnées z^ s et r et les sons correspondants, considérés sur la plaque d'épaisseur variable dont l'épaisseur moyenne et le côté sont tf et A, se trouvent nécessairement les mêmes que s'ils appartenaient à une plaque fictive dont l'épaisseur constante et le coté seraient £ et A.

Il s'ensuit que les grandeurs réelles de deux valeurs homologues, l'mie de x et l'autre de Sj sont entre elles comme celles des côtés A et A'.

Cela posé, l'épaisseur en un point de la plaque d'épaisseur variable pouvant être considérée comme constante, rien n'empêche de déterminer toutes les circonstances du mouvement de ce point en lui appliquant les formules qui conviennent à la plaque fictive dont l'épaisseur constante et le côté sont E et A.

Prenons pour exemple les figures nodales qui appartiennent aux premiers cas de vibration contenus dans les formules

p,isjr o.ffV