Actuellement, si nous posons
nous aurons , puisque U ne renferme pas p { , ... p„ ,
d¥L dT dU dq t dq t dq/ effl dT dp, dp/
et, par suite, les équations (6) deviennent
dpi dU \
~dl = ~dq; (
dq t dH ' V '
Telle est la forme quHamilton a donnée, dans ses mémoires , aux équations de la Dynamique (*).
8. Remarque. — Il est facile de conclure de là que H reste constante pendant toute la durée du mouvement.
En effet, H étant fonction de p i9 ... p„ f q { , .. q n , on a, en vertu des équations (7),
^ = ff^^H-^^)=0; (8)
dt S \dpi dt dq t dl I
donc, H reste constante pendant tout le mouvement.
(*)~On a gênerai metliod, etc., Philosophical Transac., 1834 et 1855.
9. Le système (7), de 2n équations différentielles ordinaires, a reçu le nom de Système hamiltonien : observons que, dans ce système, la fonction H , comme précédemment la fonction T, ne contient pas explicitement le temps. Ce sont les équations d'un problème quelconque de mécanique auquel le principe des forces vives est applicable ; en les intégrant, nous aurons 2n intégrales distinctes contenant 2n constantes arbitraires. Les 2n équations ainsi obtenues serviront à déterminer p i9 ...p«, q i9 ... q a , en fonction de t et des 2n constantes arbitraires.
10. Avant de traiter de l'intégration de ces équations , nous devons exposer un théorème dû à M+Liouville, d'un usage fréquent dans la théorie de l'intégration des équations de la Dynamique, et des équations aux dérivées partielles du premier ordre. Mais nous allons d'abord rappeler les notations dont nous nous servirons dans la démonstration et dans les numéros suivants. -
11. Si l'on suppose que a, (3 sont des fonctions des quantités p 4 , ...p„, q i9 ... q n , on doit à Poisson la notation suivante :
da. dp da, dp da dp da dp
* rfqrt dp t dp { dq { "* dq a dp n dp n dq n '
ou
, v ^l Ida dô dit dô\ .
M. Donkin, de son côté, introduit une notation symbolique pour représenter la quantité renfermée entre parenthèses
(/(a, (3) ' da dp d<t dp à{qnPi) dqt rfp, dp t dq/
de sorte que l'on a
