Gela posé, supposons que Ton ait n équations
«I=f« (?l>-?„> Pm-pJ,
dans lesquelles a i9 ... a„, sont des constantes arbitraires. Ces équations pourront servir à déterminer les n quantités p { , ... p n , en fonction de q { , .., q n et des constantes, et nous nous proposons de démontrer que la condition d'intégrabililè de l'expression
p { dq t -+- ... h- p n dq n , c'est-à-dire
dp, dp k
dq k dq {
n'est autre chose que (a„ a k ) = 0, oti (<p,-, <p*) = (*). En effet, si dans l'expression
on remplace p t , . . . p n , par leurs valeurs en fonction de q { , . . . q n , a { , . . . a n , on aura une identité ; par suite , en la différentiant par rapport à q i9 il viendra
dau. dau dp t dau. dp n 1^ — — i ^. #### | — . — t — — o»
dq t dpi dq { "" dp n dq { de même
da v da v dp { da v dp n
An Ait
Multipliant la première par j* f la seconde par ^ 9 et soustrayant, on trouve
dûfi daj day. da., ^T dp k [da^. da v dây, da v
dq { dpi dp { dq {
yj 1 dp k [da^ da v da^. da u \ S dqt \ dpt dp k dp k dq> I
O Don k in, On a clas8 of differential équations, Philosophickl Transactions, 1854, p. 84.
ou, d'après la notation de M. Donkin,
rf(a^, a v ) ^xi d Pk d(a M a v ) d(q i9 p^ 5 rfj, rf(p„ p k )
Maintenant, faisons la somme des expressions analogues obtenues en donnant à i toutes les valeurs 1, 2, ... n; le coefficient de JJE- étant le même que celui de ^ en signe contraire, nous aurons
fc=n fca
a â \dq t dqj tf(p„ p k )
De cette formule on conclut déjà :
La condition nécessaire pour avoir
dp k dp t dq { dq k
pour toutes les valeurs de t et de k, égales à 1, 2, 3, ... n, . c'est que les ^~^ équations
soient vérifiées pour les mêmes valeurs de /x et de v .
13. Cette condition est suffisante : pour le prouver, multiplions les deux membres de l'équation (12) par j |^ *| , et prenons la somme pour toutes les valeurs 1, 2, 3, ... n, de /x et de v ; il viendra
\ H \( /M)^fv rf (f^') vv(^ dpA dja^a,,)
Z Z ^> a * d{a ^ ay) . Z Z d{a ^ ay) Z Z \ dqi dq J d{pi9 pk y
or, dans le second membre , le coefficient de £ — ^ est
^ *S (dap da v dajL da^X jdp r dp, dp r dp, \ jet* yâ \dp r dp, dp, dp r l \da^ da v da v da^ 1 '
ce coefficient est égal à l'unité, tandis que les autres sont nuls.
En remplaçant donc r et s par k et «, nous aurons
«9, dq k jSi ,S » («/* > «W
par conséquent, pour avoir, la condition
dp k __ dpt
dq { dq k il suffit que l'équation
(ap., a y ) = 0,
soit vérifiée pour les valeurs de p et de v égales à 1 , 2, ... n. 14. Ce théorème démontré, revenons au problème de l'intégration des équations (7) qui ont pour type
dpi dH
dt~~ dqdq i dtt i {
dt ~ dpi i
Il est d abord facile de vérifier que l'intégrale des forces
vives
est une intégrale de ces équations (*).
En effet, comme H ne renferme pas explicitement le temps, sa dérivée par rapport à t sera
dH dH dq { dH dq n dH dp t dH dp n
dt dq { dt dq n dt dp { dt dp n dt
(*) On appelle intégrale des équations (7) une équation
a étant une constante, et ç une'fonclion de t, q t , ... q n , p 4 , .. p„, telle que sa dérivée totale par rapport à t, soit identiquement nulle en vertu des équations (7).
ou, en vertu des équations (7),
rfH __ dH dH dH dH dH dH dH dH
dt dq i dp l '" dq n dp n dp t dq { '"" dp n dq n
La dérivée -^ étant identiquement nulle, \\ en résulte que H = const. = h, est une intégrale des équations (7). Gela posé , démontrons la proposition suivante :
15. Théorème. — Si, par un moyen quelconque, on parvient à déterminer n — : 1 autres intégrales de ces équations,
et si les premiers membres (f { , cp 2 , ...<pn— { de ces équations sont des fonctions' de p l9 p 2 , ... p n , qi, q*, ... q n > w£ contenant pas explicitement le temps , et satisfaisant à la condition
/e problème sera résolu.
Il suffira alors de résoudre les n équations
H = ft, ?fl = d|,.... ?„i = a a ,, ~ (44)
par rapport à \> { , p 2 , ... p n , et de substituer ces valeurs dans l'expression^
d\' = p i da i -+- Pidq t -+- ... ■+- />„d9 ft — Hdt, (15)
laquelle est une différentielle exacte; on intégrera celte fonction, et Von obtiendra les n autres intégrales du problème en égalant à des constantes les dérivées de la fonction V, prises par rapport aux n premières constantes.
